中考一轮复习数学几何专题：四边形压轴训练（二）

中考一轮复习数学几何专题：四边形压轴训练（二）1．【实验操作】如图1是一张矩形纸片，点E在边AB上，把△BCE沿着直线CE对折，点B恰好落在对角线AC上的点F处．【性质探究】如图2，连接DF，若点E，F，D在同一直线上．（1）请写出图中与边DC相等的线段并说明理由．（2）若AE＝2，求EF的长．【迁移应用】（3）如图3，延长EF交边AD于点G，若DG：AG＝n，且AE＝2，求BE的长（请用含n的代数式来表示）．2．（1）问题提出如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，线段AD，BE之间的数量关系为，∠AEB的度数为；（2）问题探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）问题解决如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．3．定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．【问题探索】问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．【问题推广】已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝k⋅BC，tan∠ACB＝．（1）如图2，当k＝1时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．（2）如图3，当AD＝，BD＝，DC＝5时，则k的值为；【灵活运用】如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝．4．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（﹣2，0），连接AB，点C是线段OA上一点，以OC为边作正方形OCDE，如图1．（1）问题发现图1中，线段BE与AC的数量关系是，位置关系是．（2）问题探究如图2，将正方形OCDE绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AC，BE，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展应用若OC＝1，将正方形OCDE绕点O旋转，当B，E，C三点共线时，请直接写出线段AC的长．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．6．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．7．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；（2）连接DE，①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；②如图3，若AB＝15，CF＝3，试求DE的长．8．在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OEFG，E（2，0），B（0，2）．（Ⅰ）如图①，求BE的长；（Ⅱ）将正方形OBCD绕点O逆时针旋转，得正方形OB′C′D′．①如图②，当点B′恰好落在线段D'G上时，求B'E的长；②将正方形OB'C'D'绕点O继续逆时针旋转，线段D'G与线段B'E的交点为H，求△GHE与△B'HD'面积之和的最大值，并求出此时点H的坐标（直接写出结果）．9．已知，如图①将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．（Ⅰ）如图①，填空：若AD＝3，则ED的长为；（Ⅱ）如图②，连接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（Ⅲ）如图②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接写出结果即可）10．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，请直接写出DE的长．11．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，求PC的长．12．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为；最小值为．13．如图，点E是正方形ABCD的边BA延长线上一点，连接DE，过点A作AH∥DE交CD于点H，交BC延长线于点F，点M、N分别是DE、AH的中点，连接AM、DN．（1）求证：四边形AMDN是菱形；（2）若S菱形MADN：S正方形ABCD＝1：3，求CF：AB的值．14．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题．（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；（4）如果△COQ是等腰三角形，请直接写出所有符合题意的时刻：．15．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．概念理解：（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形