中考数学一轮复习 二次函数中特殊三角形的存在性问题 专题讲义

让每一个孩子都能学有所得！二次函数与三角形11/11二次函数中特殊三角形的存在性问题题型一、直角三角形的存在性1、直角三角形存在性问题的设问方式 已知A、B为定点，是否存在动点C，使△ABC为直角三角形。解题的关键：确定点C的运动轨迹。2、直角三角形存在性问题的处理方法几何作图：（分别以A、B、C为直角顶点，分三种情况讨论，简称：“一圆两垂直”）❶若∠A=90°，过点A作AB的垂线，垂线❷若∠B=90°，过点B作AB的垂线，垂线❸若∠C=90°3、Rt△ABC动顶点C的求法①“一线三垂直”模型 过锐角顶点向直角顶点所在的直线作垂线，构造相似或全等的直角三角形。 ②勾股定理在Rt△ABC中：abc例1如图，线段AB在直线l上方，在直线l上是否存在一点P，使△PAB是直角三角形？请在图中画出所有符合条件要求的点P，并说明画图依据例2如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是3,0，0,4。点P为y轴上一点，使例3如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为3,0。在直线x=1上有一点Q，使△QBC例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3例5、（2020年徐州中考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．题型二、等腰三角形存在性以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）。AAB图1ABCD图2解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论。通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算。如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题。（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验。有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好。例6、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点、、抛物线过A、C两点。（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作交AC于点E。 ①过点E作于点F，交抛物线于点当t为何值时，线段EG最长？ ②连接在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的t值。例7、抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）。（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标。例8、在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D。（1）求线段AC的长度；（2）P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；（3）将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度。课后巩固练习1、（2020年12月苏州新区一中九年级第二次月考，28题，12分） 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点（点P不与B、C重合），当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点在x轴的正半轴上，点M0，m是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=①求m与n之间的函数关系式；①当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？备用图 备用图2、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A0,3、B（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使得△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像过点1,8，且与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为−（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上，是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。4、如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x