平面向量的正交分解及坐标表示【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习

平面向量的正交分解及坐标表示练习一、单选题已知ABCD为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(    )A.(−7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,−6)已知向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，则b=

A.(1,−2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0)如图，我们在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|=2，θ=45°，则向量a的坐标为

(

)A.(1,1)

B.22,22

C.在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，AD=(−1,2)，则AC+BD=

A.(−2,4) B.(4,6) C.(−6,−2) D.(−1,9)如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为(    )A.2i+3j B.4i+2j若{i,j}为正交基底，设a=(x2+x+1)i−(A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么AB可以表示为(    )A.2i+3j B.4i+2j如果将OA=32,12绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则A.−12,32 B.32已知向量AB=(1,1)，BC=(−2,1)，DC=(0,3)，则AD=

(A.(−1,5) B.(−1,−1) C.(3,3) D.(1,1)设向量a=(4,−12)，b=(−8,18)，若表示向量a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于

(

)A.(1,−1) B.(−1,1) C.(−4,6) D.(4,−6)设向量a的始点坐标为(3,1)，终点坐标为(−1,−3)，则向量a的坐标为(

)A.(−1,−3) B.(4,4) C.(−4,−2) D.(−4,−4)二、单空题已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(−4,−3)，则向量BC=

作用于原点的两个力F1=(1,1)，F2=(2,3)，为使它们平衡，需加力F已知点A(1,−2)，若向量AB=(6,9)，则点B的坐标为_______．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB=(2,4)，AC=(1,3)，则______．已知向量a=(2m,m)，b=(n,−2n)，若a+b=(9,−8)(m,n∈R)三、解答题已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ+2,7λ+3)，若第三象限的点P满足AP=AB+AC，求实数λ的取值范围．

已知向量AB=(4,3)，AD=(−3,−1)，点(1)求点B和点D的坐标；(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R)，求y与λ的值．

已知点A(3,−4)与B(−1,2)，点P在直线AB上，且|AP|=|PB|，求点P的坐标．

已知点O(0,0)，A(1,2)，B(1+3t,2+3t)，OP=OA+(1)点P在x轴上？(2)点P在y轴上？(3)点P在第二象限？

答案和解析1.【答案】D【解答】解：设D(x,y)，因为AD=所以(x−5,y+1)=(2,−5)，所以x=7，y=−6．

2.【答案】A

【解答】

解：因为向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，

则b=a+b−a=(3,2)−(2,4)=(1,−2)．

故选A．

3.【答案】C

【解答】

解：设向量a=(x,y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ，

由三角函数的定义，可知x=|a|cos【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，由A(1,2)，B(3,5)，AB=(2,3)，AD=(−1,2)，

∴AC+BD=AB+AD+AD−AB=2AD=(−2,4)．

5.【答案】C

【解答】解：记O为坐标原点，则OA=2i+3j，OB=4i+2j，

所以AB=OB−OA=2i−j．

故选C．

6.【答案】D

【解答】

解：因为{i,j}为正交基底，且a=(x2+x+1)i−(x2−x+1)j(其中x∈R)，

所以x2+x+1=x+122+34>0,x2−x+1=x−122+34>0，

故向量a对应的坐标位于第四象限，

7.【答案】C

【解答】解：记O为坐标原点，则OA=2i+3j，OB=4i+2j，

所以AB=OB−OA=2i−j．

8.【答案】D

【解答】解：因为OA=32,12所在直线的倾斜角为30°，

绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB所在直线的倾斜角为150°，

所以A【解答】解：设C(x,y)，

∵点A(0,1)，B(3,2)，向量AC=(−4,−3)，∴AC=(x,y−1)=(−4,−3)，

解得x=−4，y=−2，∴C(−4,−2)，

∴BC=(−7,−4)．

故答案为(−7,−4)．

13.【解答】解：∵F1+F2=(1,1)+(2,3)=(3,4)，

∴为使它们平衡则F1+F2+F3=解：记O为坐标原点，因为A(1,−2)，AB=(6,9)，

所以OB=OA+AB=(1,−2)+(6,9)=(7,7)，

15.【答案】34

【解答】

解：平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB=(2,4)，AC=(1,3)，

∴AD=BC=AC−AB=(1,3)−(2,4)=(−1,−1)，

∴BD=AD−AB=(−1,−1)−(2,4)=(−3,−5)，

则|BD|=(−3)2+(−5)2=34，

16.【答案】−3

【解答】

解：∵a+b=(2m+n,m−2n)=(9,−8)，

∴2m+n=9,m−2n=−8,∴m=2,n=5,

∴m−n=2−5=−3．

故答案为−3．

17.【答案】

解：设P(x,y)，则AP=(x−2,y−3)，

又AP=AB+AC=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)，

所以(x−2,y−3)=(3+5λ,1+7λ)，

得x−2=3+5λ,y−3=1+7λ,即x=5λ+5,y=7λ+4.

因为点P在第三象限，所以5λ+5<0,7λ+4<0,解得λ<−1，

故所求实数λ的取值范围是(−∞,−1)．

18.【答案】解：(1)设B(x,y).∵A(−1,−2)，

∴AB=(x+1,y+2)=(4,3)，

∴x+1=4y+2=3，解得x=3y=1

∴B(3,1)．

同理可得D(−4,−3)．

(2)∵PB=(1,1−y)，BD=(−7,−