复数练习2022年高一下学期数学北师大版必修

复数1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i2．如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝()A．0B．2＋iC．－2－iD．－1＋2i3．如果复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则()A．|z|＝2 B．z的实部为1C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i4．“复数z是实数”的充分不必要条件为()A．|z|＝z B．z＝eq\x\to(z)C．z2是实数 D．z＋eq\x\to(z)是实数5．在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，i为虚数单位，那么eq\o(BC,\s\up7(→))对应的复数为()A．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6i6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\o(z,\s\up7(－))2是实数，则实数t＝________.7．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，i为虚数单位，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.8．已知i是虚数单位，若eq\f(a＋3i,i)＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．9．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足eq\x\to(z)1·z2是实数，求z2.10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求实数a，b的值．11．已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的实部为－3，则|z|＝()A．eq\r(10) B．2eq\r(3)C．eq\r(13) D．512．(多选)设z是复数，则下列命题中的真命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<013．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.14．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.15．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.答案1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3iA[由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.]2．如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝()A．0B．2＋iC．－2－iD．－1＋2iC[由图可得：z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋2i))·i＝－2－i.]3．如果复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则()A．|z|＝2 B．z的实部为1C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋iC[因为z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C．]4．“复数z是实数”的充分不必要条件为()A．|z|＝z B．z＝eq\x\to(z)C．z2是实数 D．z＋eq\x\to(z)是实数A[由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．]5．在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，i为虚数单位，那么eq\o(BC,\s\up7(→))对应的复数为()A．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6iC[因为eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))，所以eq\o(BC,\s\up7(→))对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.]6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\o(z,\s\up7(－))2是实数，则实数t＝________.eq\f(3,4)[已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，则z1·eq\o(z,\s\up7(－))＝(3t＋4)＋(4t－3)i，∵z1·eq\o(z,\s\up7(－))是实数，∴4t－3＝0，即t＝eq\f(3,4).]7．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，i为虚数单位，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.eq\f(1,4)[z＝－eq\f(1,4)(eq\r(3)－i)，|z|＝eq\f(1,2)，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(1,4).]8．已知i是虚数单位，若eq\f(a＋3i,i)＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．－3[∵eq\f(a＋3i,i)＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，则a＋3i＝－1＋bi，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，))∴ab＝－3.]9．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足eq\x\to(z)1·z2是实数，求z2.[解]由z1＝2＋i，得eq\x\to(z)1＝2－i，由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，则eq\x\to(z)1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.又eq\x\to(z)1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝eq\f(1,2).所以z2＝1＋eq\f(1,2)i.10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求实数a，b的值．[解]z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵eq\x\to(z)＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))∴a＝－3，b＝4.11．已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的实部为－3，则|z|＝()A．eq\r(10) B．2eq\r(3)C．eq\r(13) D．5D[∵z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)的实部为－3，∴eq\f(1－a,2)＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，则|z|＝5.故选D．]12．(多选)设z是复数，则下列命题中的真命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0ABD[设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))则z2＝－b2<0，正确．]13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.－2＋3i[∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.]14．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.2eq\r(5)[由纯虚数的定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2m2－3m－3＝0，,log2m－2≠0，,m－2>0，))解得m＝4，所以z＝4＋ni.因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.所以z＝4－2i，所以|z|＝eq\r(42＋－22)＝2eq\r(5).]15．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z.[解]设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|