复数的几何意义

第十章复数复数及其几何意义复数的几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.复数z=1-4i的共轭复数是()+4i +i +4i 解析复数z=1-4i的共轭复数是z=1+4i.故选A.答案A2.复数z=3+i3对应的点在复平面第几象限()A.一 B.二 C.三 D.四解析由i2=-1,z=3-i,对应点坐标为(3,-1).答案D3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是()A.直线 B.线段C.圆 D.单位圆以及圆内的部分解析∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,∴点z的轨迹是在以原点为圆心,1为半径的圆及其内部,故选D.答案D4.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB对应的复数为() +i+2i +2i解析∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量OB对应的复数为-2+i.答案B5.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称解析在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于y轴对称.答案B6.当23<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析∵23<m<∴3m-2>0,m-1<0,∴点(3m-2,m-1)在第四象限.答案D7.已知复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复平面内的点z的轨迹是()A.实轴 B.虚轴C.原点 D.虚轴除去原点解析a=0时,z=bi,复平面内的点z的轨迹是虚轴.答案B8.已知复数z=x-2+yi的模是22,则点(x,y)的轨迹方程是.

解析由模的计算公式得(x-2)∴(x-2)2+y2=8.答案(x-2)2+y2=89.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为.

解析由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.答案5为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=.

解析∵z1=2-3i,∴z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3).∴z2=-2+3i.答案-2+3i11.设z=(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tanθ的值为,若θ∈0,π2,则z=解析由题意,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,∴tanθ=12若θ∈(0,π2则sinθ=55,cosθ=2则z=(1+i)55-(1+255i)=55-1答案1255-12.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-12+mi(m∈R所以a=(-3,0),b=-1又a,b的夹角为60°,所以cos60°=(-3即12解得m=±32能力提升1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()+8i +2i +4i +i解析A(6,5),B(-2,3),∵C为AB的中点,∴C(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.答案C2.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,3) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,5)解析|z|=a2+1,∵0∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,5).答案B3.已知复数z=a+3i在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于()+3i +3i+3i或1+3i +3i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0,由|z|=2知,a2+解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+3i.答案A4.若复数x=sinθ-35+cosθ-45i(θ∈R)是纯虚数,则cosθ+A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析∵复数x=sinθ-35+cosθ-45∴sin即sinθ=35,cosθ=-4则cos2θ=1-2sin2θ=1-2×35∴cosθ+icos2θ共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.答案C5.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosB-tanA)+itanB对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>π2即A>π2-B,sinA>cosBcosB-tanA=cosB-sinAcosA<cosB-sin又tanB>0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限,故选B.答案B6.已知复数z1=cosx+2f(x)i,z2=(3sinx+cosx)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为()14 B.14 12解析由题意,Z1(cosx,2f(x)),Z2(3sinx+cosx,1),∴∠Z1OZ2=90°,∴3sinxcosx+cos2x+2f(x)=0,即2f(x)=-32sin2x-1+cos2x2=-32sin2x-12cos∴f(x)=-12sin2则函数f(x)的最大值为14.故选B答案B7.复平面内长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C所对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,则D点对应的复数为.

解析由题意可知A(2,3),B(3,2),C(-2,-3),设D(x,y),则AD=BC,即(x-2,y-3)=(-5,解得x故D点对应的复数为-3-2i.答案-3-2i8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的值是.

解析由复数的几何意义可知,OC=xOA+yOB,即(3,-2)=x(-1,2)+y(1,1),∴y解得x=1,y=4答案59.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.解∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R且a≠0),又|-1+i|=2,由|z-1|=|-1+i|,得a2解得a=±1.∴z=±i.10.已知复数z对应