基本不等式同步练习（含解析）

2.2基本不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（）A． B．C． D．2．若正实数，满足，则的最小值为（）A．2 B． C．5 D．3．若，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．4．设恒成立，则实数的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A．3年 B．4年C．5年 D．6年6．已知实数，，，则的最小值是（）A． B． C．3 D．27．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元 B．120元C．160元 D．240元8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．二、填空题9．正实数满足：，则的最小值为_____.10．若一块矩形运动场地的面积为，则该场地一条对角线长度的最小值为________.11．若实数满足，则的最小值为______．12．设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为_________.三、解答题13．已知.（1）已知x＞0，求y的最小值；（2）已知x＜0，求y的最大值．14．已知a，，求证：．15．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？16．已知a，b，c为任意实数，求证：．参考答案1．A解析：根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出的值，故不等式即为，从而可求其解，从而得到正确的选项．详解：∵不等式的解集是，∴是方程的两根，∴，解得.∴不等式为，解得，∴不等式的解集为.故选：A.点睛：本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与轴交点的横坐标.本题属于基础题．2．C解析：化简，然后利用基本不等式求解即可详解：根据题意，若正实数，满足，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为5；故选：C点睛：此题考查基本不等式的应用，属于基础题3．B解析：对于，，所以该选项错误；对于，,所以该选项正确；对于，，所以该选项错误；对于，，所以该选项错误，即得解.详解：对于，因为，所以，所以该选项错误；对于，,所以该选项正确；对于，因为所以所以，所以该选项错误；对于，因为所以所以，所以所以，所以该选项错误.故选：B.点睛：本题主要考查不等式的性质，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．B解析：将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得的最大值.详解：由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为.故选B.点睛：本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题.5．C解析：可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11∴a=－1．即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号.故选C．6．B解析：根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值.详解：∵，∴，当且仅当，即，时取等号.故选：B点睛：本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题.7．C解析：详解：设长方体底面边长分别为，则，所以容器总造价为，由基本不等式得，，当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.考点：函数的应用，基本不等式的应用.8．D解析：由图形可知，，在直角中，由勾股定理可求，结合即可得出．详解：由图形可知：，，在直角中，由勾股定理可得：，，，．故选：D点睛：本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．9解析：根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.详解：，当且仅当时取等号．故答案为：9．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．10．解析：先设矩形场地的长与宽为，再根据题意结合基本不等式求解即可得答案.详解：解：设矩形场地的长与宽为，则根据题意得，则场地的一条对角线的长度为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以.故答案为：点睛：本题考查基本不等式的应用求最值问题，是基础题.11．4解析：运用重要不等式（当且仅当取得等号），计算可得所求最小值．详解：解：若实数，满足，则，当且仅当时，上式取得最小值4．故答案为：4．点睛：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．12．9解析：将分式展开，利用基本不等式求解即可详解：又x＋2y＝4即，当且仅当等号成立，故原式故填9点睛：本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件13．（1）2；（2）－2.解析：（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可详解：（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.点睛：此题考查基本不等式的应用，属于基础题.14．见解析解析：展开并运用基本不等式即可得证.详解：，当且仅当即时等号成立.点睛：本题考查基本不等式的应用，属于基础题.15．矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.解析：设矩形菜园的长为，宽为，可得出，利用基本不等式可求得篱笆长的最小值，利用等号成立的条件可求得矩形菜园的长和宽，由此可得出结论.详解：设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.