基本不等式 教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式【2.2基本不等式】基础闯关务实基础达标检测题型一对基本不等式的理解1、已知，且，那么下列结论一定成立的是A．B．C．D．【解析】因为，且，所以．当且仅当时取等号，故选C．2、下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确；B.，即恒成立，故B正确；C.当时，不等式不成立，故C不正确；D.当时，不等式不成立，故D不正确.3、“为正数”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2,则“a,b为正数”不是“a+b>2”的充分条件;若a+b>2,取a=1,b=0,则b不是正数,则“a,b为正数”不是“a+b>2”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2”的既不充分也不必要条件,故选D.4、不等式成立的前提条件为()A． B．C．D．解析：因为不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.题型二利用基本不等式比较大小5、设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b解析：因为0<a<b，所以由基本不等式得<，且<＝b，又a＝<，故a<<<b，故选B.6、设、、，，，，则、、三数（）A．都小于B．至少有一个不大于C．都大于D．至少有一个不小于解析：由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，故选D.7、已知，则与的大小关系是()A．a2+b2≥2|ab| B．a2+b2=2|ab|C．a2+b2≤2|ab| D．a2+b2>2|ab|解析：∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).故选A8、设0<a<b，且a+b=1，则下列四个数中最大的是()A． B．a2+b2C．2ab D．a解析：因为0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<.又因为a2+b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>，所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>,故选B.题型三利用基本不等式求最值8、已知实数，满足，则的最大值是（）A．1B．C．D．【解析】解：因为，所以，得.故选D9、已知正实数x，y满足.则的最小值为（）A．4B．C．D．【解析】解：由，得，因为x，y为正实数，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D10、下列命题中：①若，则的最大值为；②当时，；③的最小值为；④当且仅当均为正数时，恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)【解析】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③的最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②11、(1)已知，求的最大值；(2)已知，求的最大值．解析：(1)因为，所以，所以，所以当且仅当，即，函数的最大值为.(2)因为，所以，所以，当且仅当，即时，的最大值为12、已知，则的最小值是_______.【解析】因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立）.题型四利用基本不等式证明不等式13、已知均为正数不全相等.求证:解析：证明∵∴+≥=+≥=+≥=2b.当且仅当a=b=c时上式等号均成立,又不全相等,故上述等号至少有一个不成立.∴.14、已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数，∴（1）（1）（1）8．∴（1）（1）（1）＞815、已知a，b都是正数，求证：．【解析】∵，∵由均值不等式得，．由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．题型五利用基本不等式解决实际问题16、已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？【解析】设总费用为则当时等号成立，满足条件故最经济的车速是，总费用为280.17、某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.（1）用含的表达式表示池壁面积；（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米（2）设总造价为元，则：化简得：因为，当且仅当，即时取等号即当米时，最低造价是元能力提升思维拓展探究重点1、已知，若不等式恒成立，则的最大值为A．9B．12C．16D．20【解析】因为，所以，，（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故选A．2、已知正实数满足，则的最小值是（）A．B．5C．D．【解析】解：，当且仅当时取等号，即，时等号成立，故选：．3、（1）证明：；（2）正数，满足，求的最小值.解析：（1）证明：要证，只需证，即证.由于，所以成立，即成立.（2）解：当，即，时，取最小值.4、已知a，b，c均为正数,求证:++≥3.解析：证明∵a，b，c均为正数,∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),以上三式相加,得+++++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),∴（+-1）+（+-1）+（+-1）≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),即++≥3.(当且仅当a=2b=3c时等号成立).5、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.