湛江市2020届高三数学模拟测试试题一理含解析

广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题一理含解析广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题一理含解析PAGE29-广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题一理含解析广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题（一)理（含解析)注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。设集合，,则（）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，再求出，根据交集定义即可求得.【详解】由,解得或,或．由，解得，．．．故选:D．【点睛】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，是基础题。2。已知复数满足(是虚数单位），则的最大值为(）A。2 B。3 C。4 D.5【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义可知对应的轨迹,从而得到的最大值.【详解】由复数的模的几何意义可知，复数在复平面内对应的点的轨迹为：以为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周）．而表示点到点的距离，所以当点为时,最大,故的最大值是。故选:B．【点睛】本题主要考查的是复数模的求法,考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题。3.已知,，，则，，的大小关系是（）．A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】∵，，，∴．∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。4.已知直线，平面，则是的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B。5。已知，，则向量在方向上的投影为(）．A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】求得的坐标，利用向量的坐标即可求得结果。【详解】∵，，∴．∴，．∴向量在方向上的投影为．故选:D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.6.已知，，则（）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】根据已知条件以及,解得，再利用二倍角公式即可化简求得结果。【详解】，且,，解得．又，．，，．故选：D．【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,是基础题。7.已知函数，若在为增函数,则实数的取值范围是（)A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性可知在在上为增函数,且，从而列出不等式组，即可得实数的取值范围。【详解】在上为增函数,且函数在上为增函数，在上为增函数，且．当时，在上为减函数,不符合题意，故。当时,，解得．故选：C．【点睛】本题主要考查的是对数函数，二次函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法，要注意先考虑函数的定义域，是中档题.8.“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初,山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作,则不同的安排方案共有（)A.105种 B.210种 C。630种 D。1260种【答案】C【解析】【分析】利用分步计数原理，先将7人按照3人、2人、2人分成了三个小组，再安排到不同的病房，【详解】7人分成三个小组并安排到不同病房工作，有种方法.故选：C．【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用,以及平均分组的问题，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.9.点的坐标满足直线经过点，则实数的最大值为(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应平面区域，利用实数的几何意义即可得到实数的最大值.【详解】根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域．直线的方程可化为，当直线在轴上的截距最小时,实数取得最大值．在图中作出直线并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，且在轴上的截距最小．由图可知，当直线过点时，截距最小．由，求得,代入到中，解得，即．故选：B．【点睛】本题主要考查的是线性规划的应用,解题的关键是画出不等式组对应可行域,以及实数的几何意义,是基础题。10.如图，，是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线左、右两支分别交于点,．若，为的中点,且，则双曲线的离心率为（）．A. B。 C. D。2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边,由余弦定理即可求得结果.【详解】连接,,设，则由已知可得．∵，为双曲线上的点，∴,．∵为的中点,且，∴．∴．∴．∴，，．∵在直角中，．∴．∴．∴．故选：A．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题。11。在三棱柱中，平面，，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（)A。 B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】根据题意求出三棱柱的外接球半径，从而得出球的体积，再求出三棱柱的体积，即可得出它们的比。【详解】如图，为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，连接，则为三棱柱外接球的球心，为外接球半径．在直角中，易求得，，．．又，．故选：C．【点睛】本题主要考查的是空间几何体的结构和空间几何体的体积，解题的关键是根据外接球性质找到外接球的球心，是中档题。12。已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：①函数的图象关于原点对称；②在区间上，的最大值为；③是的一条对称轴；④将的图象向左平移个单位,得到的图象，若为两个函数图象的交点,则面积的最小值为．其中正确的结论个数为()A.1 B.2 C。3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意求出函数的表达式，再根据选项要求一一判断即可。【详解】，．将代入，得．又,．．不是奇函数．的图象不关于原点对称，①错；当时，，由的单调性可知：，即的最大值为，②对；由，得的对称轴方程为，不是的对称轴，③错；,由,得，,相邻两个交点的横坐标之差为，将代入，得到交点的纵坐标为，面积的最小值为，④对．故选：B．【点睛】本题主要考查的是三角函数模型的性质和应用,以及三角函数图像平移问题，解题的关键是熟练掌握三角函数模型的性质，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13。一组样本数据10,23，12，5,9,，21，，22平均数为16，中位数为21，则________．【答案】0【解析】【分析】由平均数的求解，即可求得的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得,则问题得解.【详解】∵数据的平均数为16，∴．∴．∵，且数据的中位数为21，∴，．∴．∴．故答案为:。【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.14.2019国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜制(先获得四局胜利的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是,且前五局比赛甲领先，则甲获得冠军的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据题意甲要获得冠军，则甲要么以夺冠,要么以夺冠，分别求出，即可得甲获得冠军的概率。【详解】每局比赛甲选手获胜概率是,且前五局比赛甲领先，甲以夺冠的概率为,甲以夺冠的概率为．甲最终夺冠的概率为．故答案为:。【点睛】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘法公式的应用,体现了分类讨论的数学思想，是基础题.15。已知分别为三个内角的对边，，且．若分别为边的中点，且为的重心，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，余弦定理求得，可得面积的最大值,再根据题意及平面几何知识可得，从而得到面积的最大值.【详解】由,根据正弦定理，可得，．由余弦定理可知，，分别为边的中点，且为的重心,由平面几何知识可知，．面积的最大值为．故答案为：.【点睛】本题主要考查的是解三角形中的正余弦定理，三角形面积公式，牢记三角形面积公式以及在实际中的应用，是中档题。16.在平面直角坐标系中，为坐标原点,是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据题意,设出直线的方程，联立抛物线方程,由焦点弦公式即可容易求得，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.【详解】由已知，不妨设，,，．若直线斜率不存在,，与已知矛盾；则直线斜率存在，设,与抛物线联立，得，则，．由抛物线的定义，焦点弦长．∴，∴点到直线的距离为,∴．故答案为:。【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题。三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17.已知为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；(2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）根据，,,求得；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求得数列的前项和．【详解】（1)，．．数列是以为首项，以为公比的等比数列．．（2），．．①．②，得．【点睛】本题主要考查是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法,错位相减法求和的方法的应用，考查学生的分析和计算能力，是中档题。18.如图1,在中，，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．(1)求证：平面平面;（2）设分别为的中点,求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过计算证明出二面角为直二面角，即可证明平面平面;（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量数量积可得二面角的余弦值.【详解】(1）证明：在中，,为的中点，．又，．．，．二面角为直二面角，平面平面．平面．又平面，平面平面．（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可求得，，，．分别为的中点，，．，，设平面的法向量为，由得令，则．设平面的法向量为，由得令,则．，二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定，利用向量法求二面角的余弦值，解题时要认真审题,注意向量法的合理运用，考查学生的计算能力，是中档题。19.我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图)．为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分为9组,每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：年龄区间有意愿数808187868483837066（1)设每个年龄区间的中间值为，有意愿数为，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数(结果保留两位小数）;（2)从,，，，这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．（参考数据和公式：，，，，，）【答案】（1)．—0。63（2）【解析】【分析】（1）根据题意,结合参考数据和公式，代值计算即可求得结果;（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】解：（1)由题意可求得：，，，，，∴．又∵,,∴．∴．∴．∴回归直线方程为．∴．（2）由题意可知，在，,年龄段中，超过半数的夫要有生育二孩意愿，在,年龄段中,超过半数的夫妻没有生育二孩意愿．设从，，年龄段中选出的夫妻分别为,，,从，年龄段中选出的夫妻分别为，．则从中选出2对夫妻的所有可能结果为，，，,，，，，，，共10种情况．其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有，，，，，，共6种．∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，计算量相对较大，需认真计算即可.20.已知原点到动直线的距离为2，点到,的距离分别与到直线的距离相等．（1）证明为定值，并求点的轨迹方程；（2)是否存在过点的直线，与点的轨迹交于两点,为线段的中点，且?若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析，．（2）见解析,或．【解析】【分析】（1）根据题意易证为定值,由，判定的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得椭圆方程；（2）根据题意知直线的斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，由得出的取值范围，再由推得，有韦达定理即可得出直线的方程。【详解】（1）设点到直线的距离分别为．由已知,，，又为的中点，．由椭圆定义可知,点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆．，．．点的轨迹方程为．（2）假设直线存在，当的斜率不存在时，显然不成立设，，．由得，或．，．，．．．．解得或．，且，存在直线满足条件，直线的方程为或，即或．【点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用，直线与椭圆联立,利用韦达定理是解题的关键,是中档题。21.已知函数．（1）设,当时，求函数的单调减区间及极大值；（2）设函数有两个极值点,①求实数的取值范围;②求证：．【答案】(1)单调减区间为，,．（2）①．②见解析【解析】【分析】（1）求出函数，再求出其导函数,令，解出，根据单调性和极值求法即可求解。(2）①函数有两个极值点,即方程有两个不等实根．分离参数,转化成图像有两个交点，利用导数判定函数的单调性，即可得到实数的取值范围；②不妨设，由①知，且有，可得，将可化．再构造函数,利用导数证出,即可证明.【详解】(1)，．当时,．令，解得，当时，，为单调减函数;当时，，为单调增函数;当时，，为单调减函数,函数的单调减区间为，,．(2)①函数有两个极值点，方程有两个不等实根．由，显然时方程无根，．设,则．令，得．当时，,为单调递增函数;当时,,单调递减函数．且当时，；当时，,．．实数的取值范围是．②证明：不妨设，由①知，且有可化为．又．即证,即证，即．设，即证当时成立．设，,在上为增函数．，即成立．成立．【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数极值点问题，构造函数是解决本题的