基本立体图形【新教材】2022年人教A版高中数学必修讲义

第八章立体几何初步基本立体图形第八章立体几何初步基本立体图形学习目标学习目标1、了解简单几何体的结构特征2、掌握简单几何体与求的综合问题探索新知3、理解空间几何体探索新知一、基本立体图形1棱柱的结构特征一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.如图在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱锥的结构特征如图

一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;

3.圆柱的结构特征

如图

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

4.圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图

圆锥也有轴、底面、侧面和母线.

5.棱台于圆台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台(如图.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点.

用一个平行于圆锥底面的平面曲截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体概念辨析(如图叫做圆台.

6.球的结构

如图，以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.简称球.半圆的圆心叫做球的球心.半圆的半径叫做球的半径.半圆的直径叫做球的直径.

概念辨析思考思考11.已知圆台上、下底面的底面积分别为16π，81π，且母线长为13（1）求圆台的高；（2）求圆台的侧面积．【答案】（1）解：依题意，圆台的上底面半径r1=4，下底面半径r2故圆台的高h=（2）解：圆台的侧面积S=【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）利用已知条件结合圆的面积公式，进而求出圆台的上底面半径和下底面半径，再利用勾股定理求出圆台的高。

（2）再根据（1）求出的圆台的高和已知条件，再结合圆台的侧面积公式，进而求出圆台的侧面积。思考思考22.如图所示，正四棱台AC'的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm【答案】解：设棱台两底面的中心分别是点O和O'，B'C'，BC的中点分别是E'，E.连接O'O，E'E，O'B'，OB，O'正方形ABCD中，∵BC=16cm∴OB=82cm，在正方形A'B'C'D∴O'B'=22在直角梯形O'OBBB在直角梯形O'OEEEE故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为513【考点】棱台的结构特征思考3【解析】思考33.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90∘，∠ADC=135∘，AB=5，CD=22，AD【答案】解：可得四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，∵∠ADC=135∘，则△DECBC=4∴S表面=π=(60+42)V=【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）思考4【解析】利用平面图形旋转一圈所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再利用组合体的表面积和体积公式求解方法，从而求出四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积。思考4

4.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，N为棱CC1（1）求点A,B,C,（2）求点N的坐标.【答案】（1）解：由已知，得A(0,0,0)由于点B在x轴的正半轴上，|AB|=4，故同理可得，D(0,3,0)，A由于点C在坐标平面xOy内，BC⊥AB，CD⊥AD同理可得，B1(4,0,5)，与点C的坐标相比，点C1|CC1|=|A（2）解：由（1）知，知C(4,3,0)，C1(4,3,5)则C1C的中点为(4+42,【考点】棱柱的结构特征，空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）根据点所在位置，结合几何体的棱长，即可容易求得点的坐标；（2）由中点坐标公式即可容易求得结果.1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，A.

4

B.

3

C.

42

D.

2.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（

）A.

32-223π

B.

48-12π

C.

28-3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，PA.

DC1⊥PC

B.

异面直线AD与PC不可能垂直

C.

∠D1PC不可能是直角或者钝角4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=2，AB=22，AC=4，∠BAC=45°A.

14π

B.

16π

C.

18π

D.

20π参考答案1.【答案】D【解析】解：因为∠ABC=π2，所以将直三棱柱ABC-A1设球的半径为R，则4πR2=16π设直三棱柱的高为h，则4R2=22+解得h=22，所以直三棱柱的高为22.【答案】A【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，其体积为23-4小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为π，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为(4×2-2π)×3=24-6则小球不能到达的空间的体积为(8-433.【答案】D【解析】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知DC1⊥平面A1BCD1，P为线段A1B上的动点，则PC⊂平面因为异面直线AD与PC所成的角即为BC与PC所成的角，在Rt△PBC中不可能BC与PC垂直，所以异面直线AD与PC不可能垂直，由正方体棱长为2，则D1P所以由余弦定理知cos∠D1PC>0，即设A1P=x(0≤x≤22)由余弦定理，cos∠AP当x<2时，cos∠APD1<0，所以4.【答案】D【解析】在△BAC中，