圆柱圆锥圆台的表面积和体积【新教材】2022年人教A版高中数学必修同步练习

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积同步练习学校:__________姓名：___________班级：___________学号：___________一．选择题已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为(

)A.27π B.93π C.9π 圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(    )A.233π B.23π 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(    )A.1+2π2π B.1+4π4π C.1+2ππ我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平均降雨量是(    )(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.6寸圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(    )A.母线长是20 B.表面积是1100π

C.高是102 D.体积是已知一直角三角形的两直角边分别为3和4.以直角边所在直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体的体积可能为(    )A.12π B.16π C.6π D.36π半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(

)．A.324πR3 B.38π若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为3的等边三角形，则该圆锥的体积为

(

)A.3π B.33π C.3π一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(    )A.2 B.22 C.4 D.将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的表面积最小值为(    )A.16π B.(16+162)π C.16 一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等，那么圆柱与圆锥的底面积之比是(

)A.1:1 B.1:3 C.3:1 D.2:1如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(    )

5π B.6π C.20π D.10π二．填空题已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P-ABCD侧面积为

．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1：4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为______．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为

，表面积等于

．三．解答题如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．

如图为一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底面半径为6 cm，高为2 cm，连杆圆柱的底面半径为2 cm，高为8 cm．

(1)求该健身哑铃的体积；(2)求该健身哑铃的表面积．

如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC=34π，AB=52，CD=4，AD=22，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．

根据勾股定理得出圆锥的底面半径与高，代入圆锥体积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，

∴圆锥的底面半径为3，高为33．

圆锥的体积为：13×π×9×33

2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查圆台的体积，是基础题．

通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，

S=6π=π(r+R)l，∴l=2，∴h=3．

3.【答案】A【解析】【分析】

本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．

设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．

【解答】

解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，

全面积：侧面积=[(2πr)2+2πr2]：(2πr)2

=2π+1【解析】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

∵积水深9寸，

∴水面半径为12(14+6)=10寸，

则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸)．

∴平地降雨量等于588ππ×142=3(寸)【解析】【分析】本题主要考查圆台侧面积、表面积、体积和高的计算，难度一般．

圆台展开图为扇环，利用圆台展开图和立体图的几何性质即可求出其侧面积、表面积、体积和高．【解答】解：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，

所以C=π· SA，又C=10×2π，所以SA=20，

同理SB=40，

故圆台的母线AB=SB- SA=20，A正确；

表面积，B正确；

高h=AB2-(20-10)2=103，C错误；

体积V=1

6.【答案】AB【解析】【分析】

本题主要考查旋转体圆锥体积的计算，属于基础题．

以不同直角边所在直线旋转一周所得到的圆锥不一样，若以其中一条为轴，则其为圆锥的高，另一条则为半径，再根据圆锥的体积公式即可算出圆锥体积．

【解答】

解：①以边长为3的直角边为旋转轴得到的几何体的体积为13×π×42×3=16π；

②以边长为4的直角边为旋转轴得到的几何体体积为13×π×32【解析】【分析】

求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．本题是基础题．

考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力．

【解答】

解：设圆锥半径为r，高为h，由题意得2πr=πR，

所以r=R2，h=R2-r2=3R2，

【解析】【分析】

本题考求查圆锥的体积，属于基础题．

设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为h，体积为V，则h=3r，根据轴截面面积为3，可得r=1，再利用圆锥的体积公式可得．

【解答】

解：设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为h，体积为V，

则h=3r，∵12×2r×3r=3r2=3【解析】【分析】

本题考查圆台的结构特征和侧面积公式，属于基础题．

设未知量，利用条件得方程组，即可求出母线长．

【解答】

解：设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2，母线长为l，

则

故选C．

【解析】【分析】

本题考查正方体与圆柱的组合体结构特征，求圆柱的表面积，属于基础题．

当正方体为圆柱的内接正方体时，由此计算圆柱的表面积最小值．

【解答】

解：由题意，当正方体为圆柱的内接正方体时，圆柱表面积最小，

所以圆柱的底面半径为正方体底面对角线的一半为22，圆柱高为正方体的棱长，

所以圆柱的表面积最小值为．

故选B．

11.【答案】B【解析】【分析】此题考查圆柱和圆锥的体积，属于基础题．

根据圆柱和圆锥体积公式进行分析即可．【解答】解：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的13，

所以当一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，

即圆柱与圆锥的底面积之比是1:3．

故选B

12.【答案】D【解析】【分析】

本题考查圆柱的体积，属于基础题．

用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，根据圆柱的体积公式即可求解．

【解答】解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，

如图，则圆柱的体积为π×22×5=20π故所求几何体的体积为10π．

故选D．

13.【答案】655【分析】本题考查四棱锥侧面积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，是中档题．

设底面半径为r，则高为2r，母线长l=5r，圆锥的侧面积S=πrl=π×r×5r=π，从而r=1【解答】解：∵圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，

∴设底面半径为r，则高为2r，母线长l=r2+4r2=5r，

∴圆锥的侧面积S=πrl=π×r×5r=π，

解得r=15，l=5×15=45，

∵正方形ABCD

14.【答案】2【解析】解：设截得的圆台母线长为x，

因为截得的圆台的上、下底面面积之比是1：4，

所以截得的圆台的上、下底面半径之比是1：2；

因为截去的小圆锥母线长为2，

所以2x+2=12，

解得x=2，

所以截得的圆台母线长为2．

故答案为：2．

根据相似图形的面积比等于对应边长比的平方，列方程求出对应的值．

本题考查了圆锥与圆台的结构特征与应用问题，是基础题．【解析】【分析】本题考查圆柱的结构和表面积，属基础题，难度不大．

根据条件解得圆柱的高和底面直径，即可得圆柱的表面积．

16.【答案】20cm224π(c【解析】【分析】

本题主要考查旋转体圆锥的结构特征，属于中档题．

圆锥绕顶点旋转所得到的图形为以圆锥顶点为原心，母线长为半径的圆，据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周可得圆的周长为圆锥底面圆周长的2.5倍，从而计算出母线和表面积．

【解答】

设圆锥的母线长为l，如图，

以S为圆心，SA为半径的圆的面积S=πl2.

又∵S圆锥侧=πrl=8πl，

根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，

∴πl2=2.5×8πl，

∴l=20(cm)，

圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底易知圆锥的高h=42-22=23∴r2=h-h'h=12，∴r=1．

故圆柱的体积V=πr【解析】本题考查圆柱的体积与表面积的求法，属于基础题．

设圆柱的底面半径为r，高为h'，利用三角形相似得到r和h'，代入体积和表面积公式即可求解．

18.【答案】解：(1)设该健身哑铃的体积为V，V=2V大圆柱+V连杆=π⋅2(2)设该健身哑铃的表面积为S，S=2S2S大圆柱=π⋅62⋅4+2π⋅6⋅2⋅2则S=π⋅6

【解析】本题考查组合体表面积与体积的计算，解题关键就是要弄清组合体的构成，考查空间想象能力，属于中档题．

(1)哑铃的体积等于两个大圆柱和一个连杆圆柱(位于中间部分)的体积之和，即可得出结果；(2)哑铃的表面积等于两个大圆柱的表面积与连杆圆柱(位于中间部分)侧面积之和减去连杆圆柱两个底面积，即可得出结果．

19.【