第2章交流异步电动机的数学模型

第２章交流异步电动机数学模型

2.1

a—b—c坐标系中的电机方程式“理想化”的电机模型:（１）气隙均匀；（２）磁路线性；（３）定子各相绕组结构相同，其导体在空间的分部规律使的能产生正弦分布的磁势波，定子三相绕组对称，在三相平衡定子电流作用下，产生单一转向的圆形旋转磁场；（４）转子线圈或导条的布置方式，使得感应出的转子磁势也在空间作正弦分布，且具有和定子磁势波相同的极数。“理想化”电机只是一种假定和抽象，但它提供了一种能对多种类型运行方式进行分析和对运行性能进行预测的电机模型。图２－1三相二极理想异步电机示意图

三个定子绕组或三个转子绕组之间互差1200电角度，而定、转子间的相对位置则由对应相轴线间的夹角表示，对于旋转的电机而言，是时间的函数。2.1.1电压方程式

为了便于建立电机的电压方程式，将定、转子每相绕组表示成电阻、电感串联电路形式，则异步电机绕组布置示意图如图2-2所示。图2－２异步电机绕组布置示意图

：定子电阻；：转子电阻；λ：与每相绕组相链的总磁链。

各绕组均以正向电流所产生的最大磁势方向为等效绕组的轴线正方向。

定子各相绕组电压平衡方程式转子各相绕组电压平衡方程式其中，λ：各自下标决定的那个绕组的总磁链，例如，a相定、转子总磁链为：为了能根据各相电流来计算各项磁链，必须确定定、转子的各项电感值。

2.1.2绕组电感的计算１．定子相绕组的自感定子相绕组的自感可分为漏电感（由绕组端部漏磁，槽漏磁以及其它漏磁产生）和主电感两部分，即根据对称关系，as、bs、cs相自感可表示为２．定子相间互感根据对称关系as、bs、cs相互感可表示为３．转子相绕组的自感、互感４．定、转子互感

由于电机旋转时，定子、转子间相对位置变化，故定、转子间互感是一个与定、转子间相互位置有关的函数。定、转子间互感为５．磁链方程式定义出电机的各项电感之后，将电机的电压、磁链方程式用矩阵形式表示如下其中６．电磁转矩方程式

从磁场能量的观点出发，利用虚位移原理可导出电磁转矩方程式如下７．电机运动方程式

按电动机惯例，设负载转矩为ＴL，则根据转动方程有

Ｊ:转子及被拖动设备的转动惯量，为电机转子的机械角位移，与的关系为

至此，描述异步电机状态特性所需要的方程以全部建立，这些方程构成了a—b—c坐标系中交流异步电动机的数学模型。2.2坐标变换概述由于定、转子间互感是一个与定、转子间相互位置有关的函数。最终获得的描述异步电动机的将是一个具有时变系数的矩阵微分方程。解这种方程的解析解相当困难。因此，早期的交流电机的暂态过程的研究，多半是首先运用“坐标变换”或“变量变换”对将参考坐标设置在定子三相轴线上的基本方程进行处理，然后再求解。以后又出现了将参考坐标仍设置在定子上的坐标变换。自上世纪20年代以来，先后建立的坐标系统主要有以下四种。（1）运用双反馈原理，并将参考坐标设置在转子上的dq0坐标系统。这一坐标系统派克（R.H.Park）首先使用，因而这种坐标变换常称为派克变换，相应的变换后的变量称为派克分量或dq0分量。（2）运用双反馈原理，并将参考坐标设置在定子上的坐标系统。这一坐标系统克拉克（E.Clarke）首先使用，因而这种坐标变换常称为克拉克变换，相应的变换后的变量称为克拉克分量或分量。（3）运用旋转磁场原理，并将参考坐标设置在转子上的FB0坐标系统。这一坐标系统顾毓绣首先使用，因而这种坐标变换常称为顾氏变换，相应的变换后的变量称为顾氏分量或FB0分量。（4）运用旋转磁场原理，并将参考坐标设置在定子上的120坐标系统。这一坐标系统莱昂（W.V.Lyon）首先使用，因而这种坐标变换常称为莱昂变换，相应的变换后的变量称为莱昂分量或120分量。这些坐标变换又有守恒和不守恒之分，所谓守恒变换指变换前后电磁功率守恒，即用变换前后电压、电流分量书写的电磁功率表达式具有相似的形式。不守恒变换则不然。这些坐标系统的使用，因所研究问题的性质、所要求的精度、所使用的工具而异。坐标系统一般选用原则：（1）分析对称运行方式时，选用参考坐标设置在转子上的坐标系统。（2）分析不对称运行方式时，选用参考坐标设置在定子上的坐标系统。（3）分析稳态运行方式时，选用按旋转磁场原理建立的坐标系统。（4）分析暂态过程时，选用按双反馈原理原理建立的坐标系统2.3派克变换派克变换是最广泛的坐标变换之一。它的基础是“任何一组三相平衡定子电流产生的合成磁场，总可以由两个轴线相互垂直的磁场所替代”的双反应原理。将两个轴线的方向选择与转子正、交轴方向一致，使三相定子电流产生的电枢反应磁场，由位于这两轴方向的等值定子绕组电流产生的电枢反应磁场所替代。派克变换最常用于三相对称运行方式的分析。2.3派克变换的数学描述以电流为例P——派克变换矩阵采用不守恒变换派克逆变换派克逆变换矩阵：采用守恒变换派克逆变换派克逆变换矩阵：2.4任意速d—q—n坐标系中异步电机数学模型

上述建立了异步电动机所需的全部方程式，即异步电机的数学模型。然而，由于电机转字的旋转运动，使得定子、转子之间的互感成为定子、转子相对位置角的余弦函数。使得电机在a—b—c中的数学模型变成一组非线性时变系数微分方程式，因而难于直接求解。为此，通过变量替代，将a—b—c真实变量表示的电机方程式变换到以d—q—n替代变量描述的电机方程式，以解脱定子、转子间的非线性耦合关系。即进行方程式的坐标变换。2.4.1

d—q—n坐标系的确定

d—q—n坐标系的确定原则如下以方向为q轴方向，方向为d轴方向在as—bs—cs坐标系中有取的方向为n轴方向。在d—q—n坐标系下，对电机数学模型进行变换，则有如下结果。2.4.2电压方程式

利用坐标变换矩阵将as—bs—cs坐标系中定子、转子电压方程式变换到任意速d—q—n坐标系中，则有其中2.4.3磁链方程式经过变换后，定子、转子磁链方程式为2.4.4电磁转矩方程式和机电运动方程式电磁转矩方程式和机电运动方程式也要经过从as—bs—cs变量到d—q—n变量的坐标变换，利用坐标变换矩阵可得电磁转矩方程式和机电运动方程式分别为2.4.5任意速d—q—n坐标系中异步电机方程式

将电机方程式用空间矢量形式可表示为其中2.4.6折算后任意速d—q—n坐标系中异步电机方程式上述电机方程式是建立在有关变量实际大小基础上。由于定子、转子绕组匝数不同，在一个方程中定子及转子变量数值的大小可能相差很大，将给分析、计算带来困难。为此，将转子各变量的大小折算到定子绕组的基础上进行分析，这就是匝数比变换问题。又称为转子的折算。

设想把实际电动机的转子抽出，换上一个新转子，它的相数、每相串联的匝数以及绕组系数都分别和定子的一样（新转子也是三相、W1、kW1）。这时在新换的转子中，每相的感应电动势为、电流为、转子漏阻抗为，但产生的转子旋转磁通势却和原转子产生的一样。虽然换成了新转子，但转子旋转磁通势并没有改变，所以不影响定子边，这就是进行折合的依据。根据定、转子磁通势的关系可以写成令这样可得简化为

至于电流与原来电流的关系为式中——电流比——定、转子每相的电动势折合后转子漏阻抗与折合前转子漏阻抗的关系为阻抗角折合前后漏阻抗的阻抗角不变。虽然经过折合后，转子绕组的物理量发生改变，但折算前后转子绕组中各种功率关系不变。有关匝数比的变换过程不再一一叙述，下面直接给出经过过匝数比的变换以后的异步电机方程式。经过匝数比的变换以后的异步电机方程式可表示为其中2.5考虑端电压约束条件后的异步电机方程式

2.5.1端电压的约束条件为了利用异步电机方程式对电机进行分析，必须考虑电机外部端电压的约束条件，即异步电机相电压的大小问题。为了简单起见，设电机是定子、转子双馈形式。定子边电源电压为eag、ebg、ecg；转子边电源电压为eam、ebm、ecm；定子中点与定子边电源中点间电压为usg，转子中点与转子边电源中点间电压为umr。则根据定子侧电压平衡式，可得到在a—b—c坐标系中电机外部端电压的约束条件，将定子各相电压用矩阵形式表示为变换到任意速d—q—n坐标系中则有对于采用折算后的转子电源电压e’am、e’bm、e’cm表示的d—q—n变量形式的转子电压u’qr、u’dr、u’nr