向量应用【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：009课题:§向量的应用目标要求1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．4、理解并掌握向量在物理中的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量在平面几何计算问题中的应用；难点：向量在物理中的应用．教学过程基础知识点1.用向量方法解决平面几何问题(1)“三步曲”:①建立平面几何与向量的联系,用____________表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_________________;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__________、___________等问题;③把运算结果“翻译”成_______________.(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.(3)应用(其中):①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:;②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:;③求夹角问题,用夹角公式:(θ为与的夹角);④计算线段长度,常用模长公式:.【思考】联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有_____________________等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的___________和___________中.(3)动量mv是向量的____________运算.(4)功是__________与____________的数量积.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.若△ABC是直角三角形,则有.B.若，则直线AB与CD平行.C.求力和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.D.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形.题2.若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是()A.直角梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形题3.在平面直角坐标系中,力作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力对物体作的功为________.关键能力·合作学习类型一向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】题4.已知点O,P在△ABC所在平面内,且，则点O,P依次是△ABC的 ()A.重心,垂心 B.重心,内心C.外心,垂心 D.外心,内心题5.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.【变式探究】题6.若O是△ABC内一点,，则O为△ABC的 ()A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;②利用向量的模证明线段相等;③利用向量的数量积为0证明线段垂直.(2)常用的两个方法.①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.【跟踪训练】题7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.【补偿训练】题8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.类型二向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)【典例】题9.如图所示,在矩形ABCD中,,垂足为E,求ED的长.【解题策略】1.用向量方法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式求解;(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.【跟踪训练】题10.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.【补偿训练】题11.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.类型三向量在物理中的应用(数学建模)角度1矢量分解合成问题【典例】题12.如图,用两根分别长5米和10米的绳子,将100N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).角度2做功问题【典例】题13.已知力(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50N,一个质量为8kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=的水平面上运动了20m.问力和摩擦力所做的功分别为多少?(g=10m/s2)【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)结果还原为物理问题.【题组训练】题14.若物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功W为 ()2 5 题15.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为,水速为,则船行到B处时,行驶速度的大小为 ()A.B.C.D.【补偿训练】题16.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m,其中N,方向为北偏东30°;,方向为北偏东60°;,方向为北偏西30°,求合力所做的功.课堂检测·素养达标题17.如图所示,一力作用在小车上,其中力的大小为10N,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米,则力做的功为 ()焦耳 焦耳C.焦耳 焦耳题18.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形题19.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ()A.B.C.D.题20.某人从点O向正东走30m到达点A,再向正北走m到达点B,则此人的位移的大小是________m,方向是北偏东________.题21.如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.编号：009课题:§向量的应用目标要求1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．4、理解并掌握向量在物理中的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量在平面几何计算问题中的应用；难点：向量在物理中的应用．教学过程基础知识点1.用向量方法解决平面几何问题(1)“三步曲”:①建立平面几何与向量的联系,用__向量___表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为___向量问题______;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__距离___、__夹角___等问题;③把运算结果“翻译”成____几何关系_____.(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.(3)应用(其中):①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:;②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:;③求夹角问题,用夹角公式:(θ为与的夹角);④计算线段长度,常用模长公式:.【思考】联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?提示:两种思路:一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有______力、速度、位移_________等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的__合成___和__分解___中.(3)动量mv是向量的___数乘__运算.(4)功是__力__与__位移__的数量积.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.若△ABC是直角三角形,则有.B.若，则直线AB与CD平行.C.求力和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.D.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形.【答案】选CD提示:A×.因为△ABC为直角三角形,B并不一定是直角,有可能是A或C为直角.B×.向量时,直线AB∥CD或AB与CD重合.C√.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.D√.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),所以，即，且，所以此四边形为梯形.题2.若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是()A.直角梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形【解析】选C.由，得平面四边形ABCD是平行四边形,由，得，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,则该四边形一定是菱形.题3.在平面直角坐标系中,力作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力对物体作的功为________.【解析】根据题意,力对物体作的功.答案:4关键能力·合作学习类型一向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】题4.已知点O,P在△ABC所在平面内,且，则点O,P依次是△ABC的 ()A.重心,垂心 B.重心,内心C.外心,垂心 D.外心,内心【思路导引】注意三角形的外心到三个顶点距离相等、内心到三边距离相等、垂心是高所在直线的交点、重心是中线的交点.【解析】选C.由，知点O为△ABC的外心.因为，所以，所以,所以,所以CA⊥PB.同理,PA⊥CB,所以点P为△ABC的垂心.题5.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.【思路导引】建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算证明.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP=λ(0<λ<),则A(0,1),【变式探究】题6.若O是△ABC内一点,，则O为△ABC的 ()A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接OE,则，又，所以，又O为公共点,所以O,C,E三点共线,且，所以O为△ABC的重心.【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;②利用向量的模证明线段相等;③利用向量的数量积为0证明线段垂直.(2)常用的两个方法.①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.【跟踪训练】题7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.【证明】方法一:因为∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,故可设,则.所以.而.所以，即.方法二:如图,建立平面直角坐标系,设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).所以(-1,1),(1,1).所以(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.所以AC⊥BC.【补偿训练】题8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.【证明】如图所示,以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,所以，所以，所以AD⊥CE.类型二向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)【典例】题9.如图所示,在矩形ABCD中,,垂足为E,求ED的长.【解题策略】1.用向量方法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式求解;(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.【跟踪训练】题10.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),所以,不妨设的夹角为θ,则.故所求钝角的余弦值为.【补偿训练】题11.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.【解析】设，，而，所以，所以，又，所以，即.类型三向量在物理中的应用(数学建模)角度1矢量分解合成问题【典例】题12.如图,用两根分别长5米和10米的绳子,将100N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【思路导引】画图分析A处所受力,B处所受力,物体的重力这三个力的关系.【解析】如图,由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角,BG与铅垂方向成60°角.设A处所受力为处所受力为,物体的重力为G,因为∠EGC=60°,∠EGD=45°,则有，且由①②解得,所以A处所受力的大小为.角度2做功问题【典例】题13.已知力(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50N,一个质量为8kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=的水平面上运动了20m.问力和摩擦力所做的功分别为多少?(g=10m/s2)【思路导引】解答本题首先要确定摩擦力f的大小及其与位移所成的角,然后利用向量数量积运算求值.【解析】如图所示,设木块的位移为,(J).将力分解,它在铅垂方向上的分力的大小为,所以摩擦力的大小为(N),因此(J).即和所做的功分别为J和-22J.【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)结果还原为物理问题.【题组训练】题14.若物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功W为 ()2 5 【解析】选D..题15.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为,水速为,则船行到B处时,行驶速度的大小为 ()A.B.C.D.【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得,所以.【补偿训练】题16.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力的作用,沿北偏东45°的方向