向量平行的坐标表示【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：008课题:§向量平行的坐标表示目标要求1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量平行的坐标表示及应用；难点：向量平行在平面几何中的应用．教学过程基础知识点向量平行的坐标表示(1)坐标表示条件,其中结论向量()平行的充要条件是_______(2)本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系.(3)应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标.【思考】若,且,则向量共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示?【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.已知向量,则.B.已知,其中,且,则.C.已知A(-6,10),B(0,2),则线段AB的中点坐标为(-3,6).D.若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.题2.已知向量,且,则x= () 题3.已知A(1,2),B(4,5),若,则点P的坐标为________.关键能力·合作学习类型一向量平行的坐标表示及应用(逻辑推理、数学运算)【典例】题4.下列四组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.题5.已知平面向量,若,则tanθ= ()A.B.C.D.题6.已知向量,若，则λ=________.【解题策略】1.向量共线的判定方法2.利用向量共线求参数值的方法【跟踪训练】题7.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量共线的单位向量是 ()A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.类型二向量平行在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)角度1三点共线问题【典例】题8.已知O为坐标原点,.(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.(2)若,求点C的坐标.【变式探究】题9.已知向量,求当k为何值时,A,B,C三点共线.角度2求点的坐标【典例】题10.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),，AD与BC相交于点M,求点M的坐标.【解题策略】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤【题组训练】题11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)题12.设.(1)当m=8时,将用和表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.【拓展延伸】题13.如图所示,若点P是线段上不同于的点,且满足,即，证明点P的坐标为.【拓展训练】题14.已知A(2,1),B(3,-1),点P(x,y)在直线AB上,且满足4x-y-5=0,求P点分的比λ.【补偿训练】题15.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.课堂检测·素养达标题16.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.题17.已知向量,且,则m等于 ()或3或-2题18.已知点A(-1,-5)和向量,若,则点B的坐标为________.题19.向量与共线且方向相同,则n=________.题21.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且与共线,求非零实数m的值.【补偿训练】题22.已知,当k为何值时,与平行?平行时它们是同向还是反向?编号：008课题:§向量平行的坐标表示目标要求1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量平行的坐标表示及应用；难点：向量平行在平面几何中的应用．教学过程基础知识点向量平行的坐标表示(1)坐标表示条件,其中结论向量()平行的充要条件是___0____(2)本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系.(3)应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标.【思考】若,且,则向量共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示?提示:可以表示为【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.已知向量,则.B.已知,其中,且,则.C.已知A(-6,10),B(0,2),则线段AB的中点坐标为(-3,6).D.若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.【答案】选AC提示:A√.因为b=(1,-2),所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.B×.平面向量共线的坐标表示的特点是两个向量的坐标“纵横交错积相减”.C√.由中点坐标公式可知线段AB的中点坐标为，即(-3,6).D×.当两个向量方向相同时,它们的夹角θ=0°满足cosθ=1>0.题2.已知向量,且,则x= () 【解析】选B.因为,所以4×3-2x=0,解得x=6.题3.已知A(1,2),B(4,5),若,则点P的坐标为________.【解析】设P(x,y),则,又，所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即解得所以点P的坐标为(3,4).答案:(3,4)关键能力·合作学习类型一向量平行的坐标表示及应用(逻辑推理、数学运算)【典例】题4.下列四组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.【思路导引】可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,由此关系对四个选项作出判断,得出正确选项.【解析】选B.对于A,因为1×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于B,因为3×3-4×4=-7≠0,所以可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于C,因为2×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于D,因为3×10-5×6=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底.题5.已知平面向量,若,则tanθ= ()A.B.C.D.【思路导引】利用向量共线的充要条件列出等量关系,结合同角三角函数关系式求值.

【解析】选A.因为平面向量,，所以

2021sinθ-2020cosθ=0,所以，所以.

题6.已知向量,若，则λ=________.【思路导引】利用向量共线的充要条件列出关于λ的方程,求λ.

【解析】,因为，所以(λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=±.答案:【解题策略】1.向量共线的判定方法2.利用向量共线求参数值的方法【跟踪训练】题7.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量共线的单位向量是 ()A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.【解析】选B.因为(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选项中的向量均与共线,但A,C中向量不是单位向量,所以B选项正确.类型二向量平行在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)角度1三点共线问题【典例】题8.已知O为坐标原点,.(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.(2)若,求点C的坐标.【思路导引】(1)由题意利用两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算法则,求得a,b的关系.(2)由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,求出点C的坐标.【解析】(1)因为已知,若A,B,C三点共线,则,即,即(a-1,b-1)=λ(2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.(2)若,所以a=5,b=-3,所以点C的坐标为(5,-3).【变式探究】题9.已知向量,求当k为何值时,A,B,C三点共线.【解析】方法一:因为A,B,C三点共线,即与共线,所以存在实数λ(λ∈),使得.因为,所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.方法二:由已知得与共线,因为,所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.角度2求点的坐标【典例】题10.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),，AD与BC相交于点M,求点M的坐标.【思路导引】利用和列方程组求点M的坐标.【解析】因为，所以.因为，所以.设M(x,y),则,因为，所以,即7x+4y=20①.又，因为，所以，即7x-16y=-20②,联立①②解得x=,y=2,故点M的坐标为.【解题策略】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤【题组训练】题11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)【解析】选C.设C(x,y),则.因为A,B,C三点在同一条直线上,所以，即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y+3=0验证可知,不可能的是C.题12.设.(1)当m=8时,将用和表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.【解析】(1)当m=8时,,设,则x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以所以所以.(2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以不共线,又,所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.【拓展延伸】题13.如图所示,若点P是线段上不同于的点,且满足,即，证明点P的坐标为.【证明】设点P(x,y),由,得，即又λ∈(0,+∞),所以.则点P的坐标为.特别地,当λ=1时,点P的坐标为，这就是线段的中点坐标公式.【拓展训练】题14.已知A(2,1),B(3,-1),点P(x,y)在直线AB上,且满足4x-y-5=0,求P点分的比λ.【解析】由及定比分点坐标公式得:，又因为P点满足4x-y-5=0,所以，所以.【补偿训练】题15.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.【解析】方法一:设,则,.由共线知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得.所以(4t,4t)=(3,3).所以P点坐标为(3,3).方法二:设P(x,y),则.因为共线,所以4x-4y=0.①又,且向量共线,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解①②组成的方程组,得x=3,y=3,所以点P的坐标为(3,3).课堂检测·素养达标题16.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.【解析】选中,与共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底;C中与共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底;D中与共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底.题17.已知向量,且,则m等于 ()或3或-2【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.题18.已知点A(-1,-5)和向量,若,则点B的坐标为________.【解析】设O为坐标原点,因为,故,故点B的坐标为(5,4).答案:(5,4)题19.向量与共线且方向相同,则n=________.【解析】因为,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又与方向相同,所以n=2.答案:2题20.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且与共线