向量的数量积【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：004课题:§向量的数量积目标要求1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．2、理解并掌握向量数量积和投影向量．3、会求向量的模．4、会解决向量夹角与垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量的模；难点：向量夹角与垂直问题．教学过程基础知识点1.向量的数量积(1)定义:条件两个____________向量与,它们的夹角是θ结论把数量_____________叫作向量和的数量积(或内积)记法记作,即_____________规定零向量与任一向量的数量积为_____________(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.2.投影与投影向量(1)变换:变换图示设是两个非零向量,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到(2)结论:称上述变换为向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.(3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的投影向量为__________.3.向量数量积的性质(1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量.(2)性质:①.②.③当与同向时,;当与反向时,.特别地,或.④.4.向量数量积的运算律(1).(2).(3).【思考】(1)对于向量,等式一定成立吗?(2)若,则一定成立吗?【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是()A.向量的数量积也可记作或. B.对于向量,若,则或.C.若,则和的夹角为锐角.D.向量在上的投影向量是一个模等于(θ是与的夹角),且与共线的一个向量.题2.若向量满足,与的夹角为30°,则等于 ()A. B. C. D.题3.已知为一单位向量,与之间的夹角是120°,而在方向上的投影向量的模为2,则________.关键能力·合作学习类型一向量数量积和投影向量(数学运算)【题组训练】题4.在△ABC中,∠A=60°,，则的值为 () B. C. 题5.已知等边△ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为 ()A. B. C. D.题6.已知向量与的夹角θ为120°,且,求:(1);(2).【解题策略】1.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.2.求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.(2)首先根据题意确定向量的模,与同向的单位向量,及两向量与的夹角θ,然后依据公式计算.【补偿训练】题7.若,与的夹角θ=120°,则 () 题8.已知,且与的夹角θ为45°,则向量在向量上的投影为________.类型二向量的模(数学运算)【典例】题9.如图,在△ABC中,,E是AD的中点,设.(1)试用表示;(2)若,且与的夹角为60°,求.【解题策略】1.求向量的模的依据和基本策略(1)依据:或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.2.拓展公式(1).(2).【跟踪训练】题10.已知向量满足,则________.题11.已知,向量与的夹角θ为,求.【拓展延伸】关于向量模的最值问题解答此类问题通常分以下两步(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;(2)利用有关函数的图象和性质求最值.【拓展训练】题12.已知与的夹角为60°,，若,则的最小值为________.类型三向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)角度1两向量夹角问题【典例】题13.已知.(1)求的值;(2)求向量与夹角的余弦值.【变式探究】题14.已知“,且与的夹角为45°”,试求与的夹角的余弦值.角度2两向量垂直问题【典例】题15.已知向量的夹角为.(1)求的值;(2)若和垂直,求实数t的值.【解题策略】求向量夹角的基本步骤2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.【题组训练】题16.已知是单位向量,若,则与的夹角为 ()° ° ° °题17.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角θ的余弦值为()A. B. C. D.题18.已知,且与λa-b垂直,则λ等于 ()A. B. C. 【补偿训练】题19.已知向量不共线,且,求证:.课堂检测·素养达标题20.已知向量和满足,和的夹角为135°,则为 () 题21.已知正方形ABCD的边长为2,则()A. D.题22.已知向量满足,则________.题23.已知向量满足,且,则与的夹角为____.题24.已知,为单位向量,当向量的夹角θ分别等于60°,90°,120°时,求向量在向量上的投影向量.编号：004课题:§向量的数量积目标要求1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．2、理解并掌握向量数量积和投影向量．3、会求向量的模．4、会解决向量夹角与垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量的模；难点：向量夹角与垂直问题．教学过程基础知识点1.向量的数量积(1)定义:条件两个__非零___向量与,它们的夹角是θ结论把数量_____________叫作向量和的数量积(或内积)记法记作,即_____________规定零向量与任一向量的数量积为__(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.2.投影与投影向量(1)变换:变换图示设是两个非零向量,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到(2)结论:称上述变换为向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.(3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的投影向量为__________.3.向量数量积的性质(1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量.(2)性质:①.②.③当与同向时,;当与反向时,.特别地,或.④.4.向量数量积的运算律(1).(2).(3).【思考】(1)对于向量,等式一定成立吗?提示:不一定成立,因为若,其方向与相同或相反,而时其方向与相同或相反,而与方向不一定相同,故该等式不一定成立.(2)若,则一定成立吗?提示:不一定成立.在向量数量积的运算中,若,则,于是有或.因此,由不一定能得到.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是()A.向量的数量积也可记作或. B.对于向量,若,则或.C.若,则和的夹角为锐角.D.向量在上的投影向量是一个模等于(θ是与的夹角),且与共线的一个向量.【答案】选ABC提示:A×.向量的数量积记作.B×.,还可能有.C×.当向量与同向时,,但是此时和的夹角为0°,不是锐角.D√.由投影向量的概念可知此说法正确.题2.若向量满足,与的夹角为30°,则等于 ()A. B. C. D.【解析】选D.当与的夹角为30°时,.题3.已知为一单位向量,与之间的夹角是120°,而在方向上的投影向量的模为2,则________.【解析】因为,所以,所以.答案:4关键能力·合作学习类型一向量数量积和投影向量(数学运算)【题组训练】题4.在△ABC中,∠A=60°,，则的值为 () B. C. 【解析】选A.因为在△ABC中,∠A=60°,所以与的夹角为120°,由数量积的定义可得.题5.已知等边△ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为 ()A. B. C. D.【解析】选A.在等边△ABC中,因为∠A=60°,所以向量在向量方向上的投影向量为,所以向量在向量方向上的投影向量为.题6.已知向量与的夹角θ为120°,且,求:(1);(2).【解析】(1)由已知得.(2).【解题策略】1.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.2.求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.(2)首先根据题意确定向量的模,与同向的单位向量,及两向量与的夹角θ,然后依据公式计算.【补偿训练】题7.若,与的夹角θ=120°,则 () 【解析】选C..题8.已知,且与的夹角θ为45°,则向量在向量上的投影为________.【解析】由已知得向量在向量上的投影.答案:类型二向量的模(数学运算)【典例】题9.如图,在△ABC中,,E是AD的中点,设.(1)试用表示;(2)若,且与的夹角为60°,求.【解题策略】1.求向量的模的依据和基本策略(1)依据:或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.2.拓展公式(1).(2).【跟踪训练】题10.已知向量满足,则________.【解析】由已知有将代入方程组,解得.答案:题11.已知,向量与的夹角θ为,求.【解析】因为,夹角,所以,，所以.【拓展延伸】关于向量模的最值问题解答此类问题通常分以下两步(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;(2)利用有关函数的图象和性质求最值.【拓展训练】题12.已知与的夹角为60°,，若,则的最小值为________.【解析】，由，得，所以，最小值为12,所以的最小值为.答案:类型三向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)角度1两向量夹角问题【典例】题13.已知.(1)求的值;(2)求向量与夹角的余弦值.【思路导引】(1)利用和数量积的运算律求值;(2)根据数量积定义可得两个向量夹角余弦值的计算方法.【解析】(1).因为,所以,所以.(2)因为,,所以.令与的夹角为θ,则即向量与夹角的余弦值是.【变式探究】题14.已知“,且与的夹角为45°”,试求与的夹角的余弦值.【解析】设与的夹角为θ,因为,且与的夹角为45°,所以,所以,,且，角度2两向量垂直问题【典例】题15.已知向量的夹角为.(1)求的值;(2)若和垂直,求实数t的值.【思路导引】(1)依据数量积的定义求值;(2)依据，求t.【解析】(1);(2)因为和垂直,所以,即,所以2t-(2-t)-4=0,所以t=2.【解题策略】求向量夹角的基本步骤2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.【题组训练】题16.已知是单位向量,若,则与的夹角为 ()° ° ° °【解析】选B.因为,所以,即.又因为,所以.设与的夹角为θ,.又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.题17.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角θ的余弦值为()A. B. C. D.【解析】选C.题18.已知,且与λa-b垂直,则λ等于 ()A. B. C. 【解析】选A.因为.所以.【补偿训练】题19.已知向量不共线,且,求证:.【证明】因为,所以,即,所以.所以.又与不共线,,所以.课堂检测·素养达标题20.已知向量和满足,和的夹角为135°,则为 () 【解析】选C.因为,所以.题21.已知正方形