第六章二项分布与Poisson分布及其应用

第六章二项分布与Poisson分布及其应用第一节二项分布(binomialdistribution)的概念一.Bernoulli试验和二项分布Bernoulli试验应用条件各次试验独立。每次试验结果只能是两个互斥的结果之一；每次试验时，其中一种结果发生的概率不变；通常，在Bernoulli概型中，称所关心的事件A发生为“成功”，称A发生为“失败”。在n次独立试验中，用x表示试验成功（即事件A发生）的次数，则x是服从二项分布的离散型随机变量。二.二项分布的概率是

如何计算的？例实验白鼠共3只，死亡率为0.8，生存率为0.2。表13只白鼠各种试验结果及其发生概率

死亡数生存数试验结果每种排列的概率组合的概率

甲乙丙01233210

0.20.2

0.2=0.0080.80.20.2=0.0320.0320.0320.20.80.8=0.1280.1280.1280.80.80.8=0.5120.0080.0960.3840.512nP（X）=（）x（1-）n-xx假定

为阳性结果的概率，构成Bernoulli试验序列的n次试验中，事件A出现的次数x的概率分布为：由于是二项式[+（1-

）]n展开式中的各项，故称此分布为二项分布。n、是二项分布的两个参数。若一个随机变量x，它的可能取值是0，1，…，n，且相应的取值概率为：（）x（1-）n-xxnP（X）=（）x（1-）n-xxn则称此随机变量x服从以n、为参数的二项分布，记为

X~B（n，）三.累计概率最多有k个阳性的概率：

P（Xk）=kX=0（）x（1-）n-xnx=P（0）+P（1）+

···+P（k）最少有k个阳性的概率：

P（Xk）=（）x（1-）n-x

X=knn=P（k）+P（k+1）+

···+P（n）x四.二项分布的性质1.是离散型的分布。2.二项分布的图形随及n的取值而不同。在n较小时，当=0.5时是对称的，当0.5时呈偏态，但随着n的增大而逐渐趋于对称。当n很大，不接近0也不接近1时，二项分布接近正态分布。3.概率值中间高，两头低。4.均数=n，标准差=n（1-）5.样本率的分布：

阳性率

p=xn，其分布为：P（p）=P（X）=（）x（1-）n-xnx其中p=xn=，，

···，

0n1nnn。阳性率的均数p=，标准差p=（1-）n以样本率P代替总体率，则Sp=p（1-p）n第二节二项分布的应用一.总体率的区间估计查表法:p414表7（n50）正态近似法:

（p-u/2Sp，p+u/2Sp）（要求np>5且n（1-p）>5）二.样本率与总体率比较

1.直接计算概率法例7.6例:某病服用某药的治愈率为95%，欲研究改进剂型是否能显著地增进疗效。经改进剂型后，治疗200人，治愈198人，试作统计推断。2.正态近似法当接近0.5，样本容量较大（n100）时，可用二项分布的正态趋近，对H0：=0作u检验。u=p-

0pp=0（1-0）n例:根据以往经验用一般方法治疗某病，死亡率为40%，今欲研究某项新疗法是否非常显著地优于一般疗法。用该新法治疗120名病人，结果有30名死亡，试作统计推断。均数和率假设检验的比较资料类型统计量原假设检验法使用条件定量资料样本均数xH0：=0分类资料率H0：=0（按照一个分类标准分为两类）P=xnu检验u=t检验t=x-0/nx-0s/n（1）已知2（2）未知2

，大样本（n50）未知2

，小样本（n<50）2

检验不论样本大小u检验（正态近似法）u=p-

0pp=0（1-0）n大样本

（n100）

0

离0.5不太远三.两样本率的比较

u=p1-p2Sp1-p2Sp1-p2=Pc(1-Pc)(+)1n1n2Pc=X1+X2n1+n2条件：两个样本容量都相当大，且1和2又都不太接近于1或0时。1例:某地7岁以下儿童麻疹发病情况列于下表，试问男女儿童麻疹发病率之间有无显著差异？某地7岁以下男女儿童麻疹发病情况性别发病情况发病未发病总数男女总数9218511772110210952197202319463969练习1某药的不良反应率1o，欲研究一新药是否提高了不良反应率。现该新药服用者300人，仅一人发生不良反应，试作统计推断。练习2有人对某地5000人作蛔虫检查，已知该地感染率为5%，现将10人分为1组，将10人的粪便混合进行检测，此法是否可以减少工作量？第三节Poisson分布(Poissondistribution)的概念一.Poisson分布与它的概率函数在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（0），而样本含量又很大（n）且n=时，二项分布就变成Poisson分布了。

Poisson分布的概率函数为P（X）=XXe-X=0，1，2，…Poisson分布是描述小概率事件出现规律性的一种重要的离散型随机分布。二.Poisson分布的性质1.Poisson分布属单参数离散型随机分布，其参数为总体平均数。其总体均数与总体方差都为：2=。2.Poisson分布的图形随而不同。当很小时呈左偏态，随着的增大而逐渐趋于对称。当20时已接近正态分布，当50时则非常接近正态分布。3.Poisson分布资料的可加性：多个独立服从Poisson分布的随机变量之和仍服从Poisson分布。此分布的均数为多个随机变量的均数之和。第四节Poisson分布的应用一.总体均数的区间估计查表法:p415表8(X50)正态近似法:

（X-u/2X，X+u/2X）（X>50）二.样本均数与总体均数的比较1.直接计算概率法例7.14例:某种标准生物制品的异常反应率约为1/万。为检验某批新产品的异常反应率是否高于标准品，今试验该批新产品，在受试的100人中有一人出现异常反应，请作统计推断。2.正态近似法X-0

0

u=要求总体均数相当大。三.两个样本均数的比较

（两个样本计数均较大时）X2u=（1）两个样本的观察单位数相等时：u=X1-X2X1+X2X1-X2n1n2X1+（2）两个样本的观察单位数不等时：第五节SPSS演示二项分布函数:CDF.BINOM

（x，n，）Poisson分布函数:CDF.POISSON

（x，）样本率与总体率：例7.6TransformCompute…TargetVariable:pNumericExpression:CDF.BINOM（1，400，0.01）OK

例7.6ViewVariable:ViewData:DataWeighCases…WeighCasesbyFrequencyVa