第三章流体运动学和动力学基础

第三章流体运动学和动力学基础流体运动学和流体动力学：

1.研究流体运动规律

2.流体运动与力的关系。1）教学目的

掌握研究流体运动的方法了解流体流动的基本概念通过分析得到理想流体运动的重要方程，为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础。2/1/20231质量守恒定律(连续性方程)

能量守恒定律(伯努利方程)，掌握伯努利方程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用动量守恒定律(动量方程)

基本理论在工程中的应用2）基本内容第三章流体运动学和动力学基础重点难点2/1/202323.1描述流体运动的两种方法

流体质点：流体质点是一个物理点，它是在作为连续介质的流体中取出的一个微小的体积。因为微小，它的几何尺寸可以略去不计，做为一个几何点看待。但它具有一定的物理量，如速度、加速度、压力、密度等等。流体质点

空间点：空间点是一个几何点，表示空间位置空间点2/1/20233研究流体运动的两种方法：1）欧拉法（Euler）

2）拉格朗日法（Lagrange）流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质点的运动构成的，该充满运动的连续流体的空间称为流场.流场3.1描述流体运动的两种方法2/1/202341.

定义：以充满流体的空间中各个固定的空间点为考察对象，研究流体质点经过这些固定的空间点时，运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来而得到的整个流体运动的规律。“站岗”的方法2.欧拉变数：对于三元流动，各运动要素是空间点的坐标(x,y,z)和时间t的函数，不同的(x,y,z)即表示空间中不同的点，通常称(x,y,z)为欧拉变数。一、Euler法（欧拉法）2/1/20235一、Euler法（欧拉法）在直角坐标系中，速度在x,y,z方向上的分量分别为压强、密度、温度为：

研究表征流场内流体流动的各种物理量的矢量场与标量场。3.物理量方程：速度为：2/1/20236一、Euler法（欧拉法）流体质点运动的加速度矢量形式2/1/20237当地加速度质点加速度：迁移加速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度一、Euler法（欧拉法）2/1/20238密度的质点导数

压强的质点导数

括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。全导数当地导数迁移导数2/1/202391.

定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察质点的运动轨迹及运动参数(速度、压力等)随时间的变化关系，然后综合所有流体质点的运动情况，得到整个流体的运动规律。“跟踪”的方法2.拉格朗日变数：对直角坐标系来说，在某时刻t＝t0，质点的空间坐标为(a,b,c)作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。由于质点的连续存在，显然拉格朗日变数也是在坐标系上连续存在的，不同的质点有不同的(a,b,c)值。二、Lagrange法（拉格朗日法）2/1/202310二、Lagrange法（拉格朗日法）(1)

流体质点的位置坐标：(2)

速度：(3)

流体质点的加速度：3.质点物理量：2/1/202311两种方法的比较拉格朗日法分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体微元的运动变形特性流体力学最常用的解析方法欧拉法2/1/202312拉格朗日：法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。

1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。

1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。2/1/202313欧拉(Euler)：瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。2/1/2023143.2流动的分类按照流体性质划分：可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；按照流动状态分：定常流动和非定常流动；

有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动；超声速流动和亚声速流动；按照流动空间坐标数目分：一维流动、二维流动和三维流动；2/1/2023153.2.1定常和非定常流动2/1/202316(定常与非定常)流场中每一点的流动参量都不随时间变化，称为定常流动；否则，为非定常流动定常流动数学描述：定常流动特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。或3.2.1定常和非定常流动2/1/202317非定常流动数学描述：非定常流动特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。2.非定常流动流动参数随时间变化的流动。2/1/2023183.2.2一维流动、二维流动、三维流动一维流动二维流动1.定义：流动参数是几个坐标变量的函数，即为几维流动。三维流动实际？2/1/2023193.3

流线迹线

3.3.1迹线在流场中流体质点运动的轨迹称为迹线。它表示流体质点随时间变化所通过的路线，表示同一流体质点在不同时刻的运动方向。属拉格朗日法的研究内容。举例：流星、烟火、木屑顺水而下2/1/2023201、定义某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线强调的是空间连续质点而不是某单个质点形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线3.3.2流线属欧拉法的研究内容。2/1/2023212、流线微分方程：速度矢量通过该点流线上的微元线段速度与流线相切2/1/202322

(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。3、流线的几个性质(1)在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。2/1/202323(1)定义：流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。3.4

流管流束流量当量直径

3.4.1流管流束(2)流管特性：非定常流动时流管形状随时间而改变，定常流时流管的形状不随时间改变。由于流管表面是由流线所围成，流线是不能相交的，所以流管内外无流体质点交换。2/1/2023243.4.1流管流束流束：充满在流管内部的流体称为流束。总流：无数微小流束的总和称为总流。2/1/202325缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流。流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。

图

缓变流和急变流3.4.1流管流束2/1/202326流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。体积流量（）：质量流量（kg/s）：平均流速——是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量除以有效截面积而得到的商。3.4.2流量平均流速在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。2/1/2023273.4.3

湿周、水力半径、当量直径1.湿周在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长2.水力半径R=2R=AB+BC+CDABCD=ABCABC有效截面积与湿周之比称为水力半径3、当量直径2/1/2023284、几种非圆形管道的当量直径计算充满流体的矩形管道充满流体的圆环形管道d2d1充满流体的管束bh2/1/202329*3.5

系统控制体输运公式

1.系统是一团流体质点的集合。在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体质点，有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断地变形。

2.

控制体是指流场中某一确定的空间区域，这个区域的周界称为控制面。系统控制体控制面2/1/202330系统方法与控制体方法的关联t

时刻的系统边界(t+Dt)

时刻的系统边界固定的控制体CABαvn3.输运公式2/1/202331

t

时刻：系统的边界与控制面重合，系统所占据的空间（区域A

和区域C

）与控制体空间相重合。

t+

Dt

时刻：系统的边界移到一个新的位置，系统所占据的空间变为区域A

和区域B，但控制体的空间是固定不动的，仍是区域A和区域C。3.输运公式2/1/202332

t

时刻：系统的物理量（N）等于该时刻区域A

和区域C内的流体物理量（N）之和。

t+

Dt

时刻：系统的物理量（N）等于该时刻区域A

和区域B

内的流体物理量（N）之和。

对于系统的任一物理量（N）[单位质量的N被定义为h，即有：]：3.输运公式2/1/202333系统内的流体所具有的某种物理量的变化量为：重新组合，并在两边除以得：3.输运公式2/1/202334当时，对方程取极限若控制体体积用CV表示，上式右边第一项变为：控制体内某种物理量的时间变化率3.输运公式当，区域A的体积近似为控制体的体积。2/1/202335第二项变为括号中第一项是单位时间内流体所通过的控制表面上流出的这种物理量，用面积分来表示，式中，CS2表示控制面中流出部分的面积，为沿控制面上微元面积外法线方向的分速度。3.输运公式2/1/202336同理，单位时间内流入控制体内的流体所具有的物理量表示为式中CS1表示控制面中流入部分的面积。注意到是整个控制体的面积，或3.输运公式则有2/1/202337流体系统内物理量对时间的随体导数公式，或称输运公式。该式说明：系统内流体所具有的某种物理量的时间全变化率（对时间的随体导数）是由两部分组成的：一部分相当于当地导数，它等于控制体内的这种物理量的总量的时间变化率；另一部分相当于迁移导数，它等于通过静止的控制面单位时间流出和流进的这种物理量的差值。

3.输运公式2/1/202338或当地导数项迁移导数项流场的非稳定性引起流场的非均匀性引起输运公式的具体含义：任一瞬时系统内物理量N

（如质量、动量和能量等）随时间的变化率等于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通过控制体表面的净通量之和。3.输运公式2/1/202339对于定常流动：或在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。3.输运公式2/1/2023403.6

连续方程

在输运公式中，如某物理量N是质量，那么单位质量流体所具有的这种物理量根据质量守恒定律，系统的m是不变的故所以

将上式改写积分形式的连续性方程方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制体表面的质量的净通量。

2/1/202341定常流动的积分形式的连续性方程：3.6

连续方程

应用于定常管流时：截面A1上的质量流量截面A2上的质量流量和分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：

一维定常流动连续性方程2/1/202342对于不可压缩流体：方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。

方程表明：对于不可压缩流体的定常一维流动，在任意有效截面上体积流量等于常数。3.6

连续方程

2/1/202343有一根如图所示的管道，截面1处直径为200mm，截面2处直径为100m，水在截面2处的速度为6m/s，试求（a）截面1处的流速；（b）截面1处的体积流量和质量流量。例题1123在同一总流上，流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小截面上流速大。2/1/2023442/1/202345一、惯性坐标系中的动量方程（积分形式）动量定理－－流体系统动量的时间变化率等于外力的矢量和动量定理3.7动量方程与动量矩方程单位质量流体的动量流体系统的动量系统上外力的矢量和输运公式2/1/202346定常流动时，动量方程为：为作用于控制体上的质量力和表面力之和。方程表明：在定常管流中，作用于管流控制体上的所有外力之和等于单位时间内管子流出断面上流出的动量和流入断面上流入的动量之差。一、惯性坐标系中的动量方程（积分形式）定常管流的动量方程2/1/202347用动量修正系数来修正实际流速和平均流速计算的动量通量的差别:

通常情况下，定常管流投影形式的

动量方程：一、惯性坐标系中的动量方程（积分形式）2/1/202348应用定常管流的动量方程求解时，需要注意以下问题：动量方程是一个矢量方程，每一个量均具有方向性，必须根据建立的坐标系判断各个量在坐标系中的正负号。

根据问题的要求正确地选择控制体，选择的控制体必须包含对所求作用力有影响的全部流体。方程左端的作用力项包括作用于控制体内流体上的所有外力，但不包括惯性力。方程只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数，而不必顾及控制体内是否有间断面存在。

定常管流投影形式的动量方程：一、惯性坐标系中的动量方程（积分形式）2/1/202349例：在给水管道中有一段60o拐角的水平弯管，已知管道内径d=67mm，流量G=245.25kN/h，压力p=3139kpa，水温t=104oC，若不计弯管的压力损失，求给水作用在弯管上的作用力。例题2/1/202350列x方向的动量方程2/1/202351列y方向2/1/202352一、能量方程（积分形式）3.8

能量方程单位质量流体的能量流体系统的能量输运公式流体系统中,能量的时间全变化率等于作用在系统上的质量力和表面力所作的功率以及与外界的换热率之和2/1/202353二、一维流动的能量方程重力作用下的绝能流动，质量力仅有重力，上式中为表面力,可表示为重力作用下绝能流动积分形式的能量方程2/1/202354重力作用下的绝热管流理想流体：粘性流体：管壁进、出截面：定常流动条件下：重力作用下，定常绝能管流积分形式的能量方程2/1/2023553.9

伯努利方程及其应用一、伯努利方程不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。沿流线积分理想流体微元流束的伯努利方程。2/1/202356适用范围：理想不可压缩均质流体在重力作用下作一维定常流动并沿同一流线（或微元流束）流动。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点一、伯努利方程2/1/202357物理意义：不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，在同一流线的不同点上或者同一微元流束的不同截面上，单位重量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。动能位置势能压强势能机械能方程的物理意义2/1/202358方程的几何意义bc1aa'2c'b'H总水头线静水头线不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重量流体的总水头线为一平行于基准线的水平线。速度水头位置水头压强水头总水头对于平面流场：常数方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流速低的点上压强高。2/1/2023591、皮托管如图，对B、A两点列出伯努利方程：

A点：驻点A的压强称为全压，速度为0

B点：压强称为静压，速度为v二、伯努利方程的应用测压管皮托管驻点，测总压测静压总压和静压之差称为动压。

2/1/202360测定气体的流速2/1/202361迎流孔顺流孔接差压计尾柄头部原理：测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起，称为皮托－静压管或者动压管。动压管2/1/2023622、文丘里流量计由一维流动连续性方程整理得

以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程结构：收缩段＋喉部＋扩张段测量原理：：利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，应用伯努里方程和连续性方程，就可以求得流量。2/1/202363Cd为流量系数，通过实验测定。2、文丘里流量计2/1/2023643、节流式流量计除文丘里流量计外，工程上常用的还有孔板流量计和喷嘴流量计，它们都属于节流式流量计。2/1/2023653.10

沿流线主法线方向压强和速度的变化一、速度沿流线主法线方向的变化流体沿弯曲流道流动时,流速随曲率半径的增大而降低弯管流动中,内侧的流速高,外测的流速低二、压力沿流线主法线方向的变化流体沿弯曲流道流动时,压强随曲率半径的增大而升高弯管流动中,内侧的压强低,外测的压强高速度分布——了解过流断面上流动参数的分布情况2/1/202366三、直线流动时沿流线主法线方向的变化直线流动在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的压强分布服从于静力学基本方程式。对于缓变流的有效截面，其压强分布亦近似满足。2/1/2023673.11

粘性流体总流的伯努利方程一、缓变流急变流缓变流：流线平行或接近平行的流动急变流：流线间相互不平行，有夹角的流动急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流缓变流和急变流2/1/202368二、粘性流体总流的伯努利方程重力场中一维定常流能量方程的积分形式：缓变流截面第一项：gz＋p/ρ总流断面上压强和位置是变化的？实际流体总流和理想流体流束的能量形式是一致的——位能、压力能、动能总流是流束的总和2/1/202369重力场中一维定常流能量方程的积分形式：二、粘性流体总流的伯努利方程第二项：流束的值不变，总流断面上的流速不同，用断面平均流速来表示。——表示动能修正系数

层流时，湍流时，一般取2/1/202370重力场中一维定常流能量方程的积分形式：二、粘性流体总流的伯努利方程第三项：实际流体有粘性，存在能量损耗的物理意义：实际总流1→2有效断面间，单位重量液流的平均能量损失。2/1/202371不可压缩粘性流体总流的伯努利方程(1)适用范围：定常流动不可压缩流体作用在流体上的质量力只有重力所取的计算断面必须为缓变流断面，中间允许急变流二、粘性流体总流的伯努利方程2/1/202372(2)物理意义：总流各过流断面上单位重量流体所具有的势能平均值和动能平均值之和，亦即总机械能之平均值沿流程减小，部分机械能转化为热能等而损失；同时，亦表示各项能量之间可以相互转化的关系。流动方向：从总机械能较大的上游断面1－1流向总机械能较小的下游断面2－22/1/202373(3)几何意义：对于液体来说，总流各过流断面上总水头沿流程下降，所下降的高度即为水头损失，体现了各项水头之间可以相互转化的关系。dA静水头线总水头线2/1/202374不可压缩粘性流体总流的伯努利方程二、粘性流体总流的伯努利方程①顺液流方向取三面两个计算断面：所求未知量所在断面；已知条件比较充分的断面；基准面0—0②列伯努利方程求解要求：画清楚图，标明断面，写清方程(4)解题步骤：2/1/202375三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题方程不是对任何液流问题都能适用，必须注意它的使用条件。方程式中位置水头是相比较而言的。另外基准面只要是水平面就可以。为了方便起见，常常通过两个计算点中较低的一点作为基准面，这样可以使方程式中的一个位置水头为零，另一个为正值。在选取两个断面时，尽可能包含一个未知数。但两个断面的平均流速可以通过连续性方程求得，只要知道一个流速，就能算出另一个流速，换句话说，有时需要同时使用伯努利方程和连续性方程来解两个未知数。2/1/202376三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题(4)

两个断面所用的压强标准必须一致，一般多用表压。(5)在多数情况下，位置水头或压力水头都比较大，而流速水头相对来说很小。因此动能修正系数α常可以近似的取1，即令。再者，如果计算点取在容器液面时，则由于该断面远大于管子断面，而其流速远小于管内流速，于是可以把该断面的流速水头忽略不计。2/1/202377有一贮水装置如图3-2所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm，水池到压力表之间水头损失等于1.5m时，通过出口的体积流量。

【解】由题意知，管径是已知的，只要求出管内流速，即可计算出流量，Q＝vA。为了求得流速，在液流中取当阀门全开时列1-l、2-2截面写出伯努利方程例题以通过断面2－2的轴线水平面为基准面，则z2＝0，z1＝H当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出Ｈ值。2/1/2023781－1断面与大气相通，其表压强为0，流动中液面变化很小，代入到上式v1＝0。断面2－2处表压强为0.6个大气压，即0.6×9.8×104。取α=1，将已知数据代入方程式，得：

所以管内流量2/1/202379图3-222/1/202380水流通过如图3-23所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。

【解】首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：

则