第七章随机变量的数字特征

第七章

随机变量的数字特征2023/2/11皖西学院应用数学学院相关知识背景：

分布函数——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如：评价粮食产量，只关注平均产量；研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；

评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。描述变量的平均值的量——数学期望，描述变量的离散程度的量——方差。2023/2/12皖西学院应用数学学院第一节数学期望2023/2/13皖西学院应用数学学院一、数学期望的引入例1〔分赌本问题〕甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？分析：假设赌博继续下去，情况如下：乙胜甲胜乙胜甲胜甲胜的概率为：¾.2023/2/14皖西学院应用数学学院例1〔分赌本问题〕甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？设甲得到的赌本为X，则X的分布为甲胜的概率为：¾.甲应该获得赌本的3/4.说明：该问题涉及随机变量的分布，且含有均值的意义.2023/2/15皖西学院应用数学学院算术平均与加权平均问题：如果已知离散随机变量X的分布如何求X的平均取值？2023/2/16皖西学院应用数学学院加权平均数的计算：随机变量的平均值：概率替换频率2023/2/17皖西学院应用数学学院二、数学期望的定义

为随机变量X的数学期望.2023/2/18皖西学院应用数学学院补充说明：加权平均数：离散随机变量期望：连续随机变量期望：频率概率概率注：期望是均值的推广或更一般的形式.2023/2/19皖西学院应用数学学院2023/2/110皖西学院应用数学学院2023/2/111皖西学院应用数学学院三、一维随机变量的函数的数学期望

2023/2/112皖西学院应用数学学院例4设随机变量X的分布为解：2023/2/113皖西学院应用数学学院2023/2/114皖西学院应用数学学院2023/2/115皖西学院应用数学学院四、多维随机变量函数的数学期望2023/2/116皖西学院应用数学学院2023/2/117皖西学院应用数学学院1x2y02023/2/118皖西学院应用数学学院五、数学期望的运算性质线性性质2023/2/119皖西学院应用数学学院2023/2/120皖西学院应用数学学院例9将n个球随机放入M个盒子中去，设每个球放入每个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。这种方法称为分解随机变量法，是概率统计中典型、重要的一种解题方法。2023/2/121皖西学院应用数学学院例9将n个球随机放入M个盒子中去，设每个球放入每个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。2023/2/122皖西学院应用数学学院例10某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5千元；若积压1吨，则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？2023/2/123皖西学院应用数学学院例10某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5千元；若积压1吨，则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？2023/2/124皖西学院应用数学学院2023/2/125皖西学院应用数学学院第二节方差与标准差2023/2/126皖西学院应用数学学院引例1比较甲、乙两班学生成绩的差异百分比若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。2023/2/127皖西学院应用数学学院引例2比较两种型号手表的质量设甲、乙两种型号的手表的日走时误差分别为X、Y，其分布如下哪种手表质量较好？注：X、Y的期望相同，但误差取值的波动性不同。对产品质量的稳定性，市场的波动性，投资的风险等问题的研究，都涉及到对随机变量分布的分散程度的研究，从而引入方差的概念。2023/2/128皖西学院应用数学学院一、方差与标准差的定义2023/2/129皖西学院应用数学学院方差的常用计算公式：方差的定义式：2023/2/130皖西学院应用数学学院离散型和连续型随机变量的方差计算公式2023/2/131皖西学院应用数学学院离散型和连续型随机变量的方差计算公式2023/2/132皖西学院应用数学学院分布列与方差大小的关系：结论1：取值分布集中，方差较小；反之方差较大.2023/2/133皖西学院应用数学学院密度函数与方差大小的关系：结论2：密度函数图形较陡峭的方差较小；反之方差较大.2023/2/134皖西学院应用数学学院例1

比较三角分布、均匀分布和倒三角分布的期望和方差，说明其分布的集中和分散程度。

计算如下：2023/2/135皖西学院应用数学学院三角分布的期望和方差的计算：2023/2/136皖西学院应用数学学院例2计算泊松分布的方差。解：泊松分布的分布律为2023/2/137皖西学院应用数学学院例3正态分布的方差。2023/2/138皖西学院应用数学学院例4计算指数分布的方差。2023/2/139皖西学院应用数学学院二、方差的性质方差不具备线性性质.2023/2/140皖西学院应用数学学院例5计算二项分布的方差。二项分布的可加性注：直接利用二项分布律和级数的运算也可以求出二项分布的期望和方差。2023/2/141皖西学院应用数学学院注：本例是数理统计常用的一个重要结果，它体现了平均值的稳定性。2023/2/142皖西学院应用数学学院例7

某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别是0.2，0.7和0.1。通过调查，该投资者认为投资房产的收益X（万元）和投资商业的收益Y（万元）的分布分别为请问：该投资者如何投资为好？2023/2/143皖西学院应用数学学院第三节协方差和相关系数2023/2/144皖西学院应用数学学院一、协方差协方差也称为相关中心矩。联合分布中分量间的关系2023/2/145皖西学院应用数学学院2023/2/146皖西学院应用数学学院协方差的常用性质:注：以上性质可以利用定义及期望的性质来证明.2023/2/147皖西学院应用数学学院2023/2/148皖西学院应用数学学院补充说明：2023/2/149皖西学院应用数学学院2023/2/150皖西学院应用数学学院2023/2/151皖西学院应用数学学院2023/2/152皖西学院应用数学学院二、相关系数在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影响，引入了相关系数的概念。2023/2/153皖西学院应用数学学院相关系数的性质：

2023/2/154皖西学院应用数学学院2023/2/155皖西学院应用数学学院补充说明相关系数ρ(X,Y)刻画了随机变量X、Y间线性相关的程度。ρ=±1时，表示X、Y几乎处处具有线性关系；ρ=0时，表示X、Y不具有线性关系，但可以具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关〔ρ=0〕是等价的。与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的比较。2023/2/156皖西学院应用数学学院00.511y=x2023/2/157皖西学院应用数学学院注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。2023/2/158皖西学院应用数学学院第四节大数定律与

中心极限定理2023/2/159皖西学院应用数学学院事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。这就充分说明事件的概率是客观存在的。频率的稳定性，便是这一客观存在的反映。人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。在概率论中，用来阐明大量平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律。由大数定律，大量随机因素的总和，必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。2023/2/160皖西学院应用数学学院一、大数定律2023/2/161皖西学院应用数学学院补充说明2023/2/162皖西学院应用数学学院依概率收敛的一般形式：2023/2/163皖西学院应用数学学院2、切比雪夫大数定律2023/2/164皖西学院应用数学学院3、贝努里大数定律注：贝努里定理是切比雪夫定理的特例，它从理论上证明了频率的稳定性。只要试验次数n

足够大，事件A出现的频率与事件A

的概率有较大偏差的可能性很小。即可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。2023/2/165皖西学院应用数学学院4、马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律没有任何独立、不相关、同分布的假设，是适用范围最广的大数定律，也是用来证明其他大数定律的重要依据。2023/2/166皖西学院应用数学学院5、辛钦大数定律注：辛钦大数定律给出了求期望近似值的方法——观测值的平均，即且这种方法不需要考虑分布的具体形式。2023/2/167皖西学院应用数学学院二、独立同分布下的中心极限定理2023/2/168皖西学院应用数学学院二项分布的正态近似定理2〔棣莫弗－拉普拉斯

中心极限定理〕2023/2/169皖西学院应用数学学院例1设一个车间里有400台同类型的机器，每台机器需要用电为Q瓦。由于工艺关系，每台机器不连续开动，开动的时间只占总工作时间的3/4。问应该供应多少瓦电力才能以99％的概率保证该车间的机器正常工作？〔设各机器的开、停是相互独立的〕分析：正常工作即是要求开动的机器所需要的总电力不超过所供应的电力，这与开动的机器台数有关。由于每台机器开、停与否相互独立，且开动的概率都是相同的，故开动的机器台数服从二项分布。即认为是相同的试验独立重复做了400次。由于试验次数400较大，其概率计算可以近似用正态分布来替代〔棣莫佛－拉普拉斯中心极限定律〕，进而转化为标准正态分布。2023/2/170皖西学院应用数学学院解：令X表示400台机器中同时开动的台数，则有2023/2/171皖西学院应用数学学院例2为了测量一台机床的质量，把它分成75个部件来称量。假定每个部件的称量误差服从区间(-1,1)上的均匀分布，且各个部件的称量误差是相互独立的，求机床质量的总误差的绝对值不超过10kg的概率。解：记各个部