第七章数学物理方法

第七章Green函数法7.1引言Green函数，有时又称点源函数或者影响函数，是数学物理中的一个重要概念。这概念之所以重要是由于以下原因：从物理上看，在某种情况下，一个数学物理方程表示的是一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（例如热传导方程表示温度场和热源的关系，Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等等），而Green函数则代表一个点源所产生的场，知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。例如，静电场的电势满足Poisson方程是电荷密度，根据库仑定律，位于的“源”在其中点的一个正的点电荷在无界空间中的M点处产生的电势是由此可求得任意电荷分布密度为M点所产生的电势为(7.1.1)(7.1.2)(7.1.3)其中为空间体积元式中的称为方程（7.1.1）左边在一般的数学物理问题中，要求的是满足一定边界条件和（或）初始条件的解，相应的Green函数也就比举例的Green函数要复杂一些，因为在这种情形下，一个点源所产生的场还受到边界条件和（或）初始条件的影响，而这些影响本身也是待定的。的简写。Laplace算符在无界空间中的Green函数，用它可以求出方程（7.1.1）在无界空间的解式（7.1.3）。

因此，普遍地说，Green函数是一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场，利用Green函数，可求出任意分布的源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、二、三类边界条件为例进一步阐明Green函数的概念，并讨论Green函数法—解的积分表示。§7.2Poisson方程的边值问题三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成其中是不同时为零的常数，的边界。引入函数使之满足下面推导定解问题（7.2.1）—（7.2.2）用Green函数表示的解的积分表达式，

其中为区域中的任意点，的函数定义知，为在点的点源所产生的场，以函数乘式（7.2.1）的两边，同时以函数乘式（7.2.6）的两边，然后相减得则由将上式在上对积分，利用Green

公式，经过繁复的推导，并考虑Green函数的对易性得到中体分布源在M点产生的场的总和，而第二、三两个积分则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一Green函数给出的。式（7.2.9）给出了Poisson方程或Laplace方（时）解的积分表达式。

（7.2.9）式（7.2.9）被称为基本积分公式或解的积分表达式。它的物理意义是十分清楚的:右边第一个积分代表在区域在具体的边界条件下，解式有更具体的形式。则若要求满足第一类齐次边界条件则式（7.2.9）中的面积分中，含的项消失

(7.2.12)（1）第一类边界条件，即在式（7.2.2）中，(7.2.10)(7.2.11)从而式（7.2.9）变为我们称方程（7.2.6）和边界条件（7.2.11）所构成的定解问题的解为由方程（7.2.1）的边界条件的Green函数。简称Direchlet-Green函数；而称式（7.2.12）为Direchlet积分公式，它是Direchlet问题（7.2.14）的积分形式的解。(7.2.13)（7.2.10）所构成的Direchlet问题(7.2.14)（2）第三类边界条件，即式（7.2.2）中均不为零。若要求满足第三类

则以乘以（7.2.2），以齐次边界条件，即(7.2.15)乘以（7.2.15），然后再将两式相减，得代入式（7.2.9），有可见，只要从式（7.2.6）和式（7.2.15）中则式（7.2.16）也已全部由已知的解为由方程（7.2.1）和边界条件解出量表示。我们称方程（7.2.6）和边界条件（7.2.15）所构成的定解问题（7.2.2）所构成的定解问题的格林函数，式（7.2.16）即为由式（7.2.1）和式（7.2.2）所构成的定解问题的积分形式的解。（3）第二类边界条件第二类边界条件时，定解问题为相应的格林函数满足

(7.2.18)(7.2.17)由于但

.因此，定解（7.2.18）的解不存在。为了解决作下列定解问题由条件得出其中为曲面S的面积，称

（7.2.19）这个矛盾，取待定常数的解为第二类边界条件下，Laplace算符的广义格林函数，将式（7.2.19）和式（7.2.17）中的边界条件代入式（7.2.9），得由于在边界上的分布客观存在，故与无关，为常数，故有其中C为待定常数，（7.2.20）由上面的讨论看到，在各类非齐次边界条件下求解Poisson方程（7.2.1），可以先在相应的同类齐次边界条件下求解Green函数所满足的方程（7.2.6），然后通过积分公式（7.2.12）、（7.2.16）或（7.2.20）得到解容易些。不仅如此，对方程（7.2.1）中不同的格林函数的定解问题，其方程（7.2.6）形式上比式（7.2.1）简单，而且边界条件又是齐次的，因此，相对地说，求G比求解和边界条件（7.2.2）中不同，只要属于同一类型的边界条件，

非齐次项的函数都是相同的。这就把解Poisson类似于上面的讨论过程，可以得到二维Poisson方程的各类边值问题的积分公式。如二维Poisson方程的Dirichlet问题的积分形式的解，即二维空间的Dirichlet积分方程的边值问题化为在几种类型边界条件下求Green函数的问题。(7.2.20)公式为其中，为二维Poisson方程的Dirichlet的解。-Green函数，即定解问题(7.2.22)应当指出，Green法，即解的积分表示具有上述理论意义，在实际求解中，只有几种特殊边界可以求出Green函数，下面我们来讨论求Green函数的一种特殊方法—电像法。

Green函数求法从上一节的讨论可以看出，求解边值问题实际上归结为求相应的Green函数，只要求出Green函数，将其代入相应的积分公式，就可得到问题的解。一般来说，实际求Green函数，并非一件容易的事，但在某些情况下，却可以比较容易地求出。一、无界区域的Green函数无界区域的Green函数G，又称为相应方程的基本解。G满足含有函数的非齐次方程具有奇异性，一般可以用有限形式表示出来，下面通过具体例子，说明求基本解的方法。上，有.例1

求三维泊松方程的基本解．解Green函数满足的方程为(7.3.1)采用球坐标，并将坐标原点放在源点由于区域是无界的，点源所产生的场应与方向无关，而只是r的函数，于是式(7.3.1)简化为.当时，方程化为齐次的，即积分两次求得其一般解为

其中为积分常数。不失一般性，取(7.3.2)得下面考虑的情形．为此，对方程(7.3.1)为半径的小球体在以原点为球心、内作体积分从而而由散度定理于是故.将式(7.3.3)的结果代入上式，得于是有.

再代入式(7.3.3)，得到（7.3.4)例2求二维泊松方程的基本解．解：二维Green函数满足的方程为(7.3.5)采用极坐标，并将坐标原点放在源点上，则时，在以原点为中心、为半径的类似于对三维情况的讨论，得与三维问题一样，G应只是r的函数，于是式(7.3.5)简化为(7.3.6)当当小圆内对方程(7.3.5)两边作面积分，注意到二维情况下的散度定理为时，求解式(7.3.6)，得于是(7.3.7)

二、用本征函数展开法求边值问题的Green函数利用本征函数族展开是求边值问题的Green函数的一个重要而又普遍的方法。现以第一类边值问题为例来讨论此法，写下相应的本征问题(7.3.8)(7.3.8)设本征值问题（7.3.9）的全部本征值和相应的归一化本征函数分别是和即而且这里表示的共轭复变函数。将在区域上展开为本征函数族的广义Fourier级数(7.3.10)(7.3.11)函数

(7.3.12)为定出系数将式（7.3.12）代入问题设以乘上式两端，然后在区域上积分，并利用式（7.3.11）可得（7.3.8）的方程中，并利用方程（7.3.10）得代入式（7.3.12），即得（7.3.13）显然，它满足齐次边界条件如果Green函数例3

求Poisson方程在矩形区域

的齐次边界条件是第二类的或第三类的，这时可以类似地求得G，只要本征函数也满足相应的齐次边界条件即可。内的Dirichlet问题的Green函数．解：本问题Green函数的定解问题为它是定解问题

当时的特例，而相应的本征值问题为它的本征值和归一化的本征函数分别是其中故根据式(7.3.13)，因为题设有7.4用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数电像法求特殊区域Green函数的基本思想是利用边值问题定解区域的对称性，在定解区域外放置合适的点源来代替边界的影响，使区域内的点源和区域外的点源之和同时满足边值问题Green函数要求满足的方程和边界条件。

（7.4.3）7.4.1Poisson方程的Dirichlet-Green函数及其物理意义为了求三维Poisson方程的Dirichlet-Green函数，即求解定解问题令使而应满足

其中

(7.4.5)而非齐次方程（7.4.4）的解，已由式（7.3.4）给出，即因此有例1求解球内Dirichlet问题解此时方程的非齐次项故由积分公式(7.2.12)得定解问题(7.4.11)的(7.4.11)解为其中S为球面，G为球边界问题的Dirichlet-Green函数，它满足定解问题由上面的分析，有其中g满足导体球内有一个点电荷，导体接地。求球内电势。电荷的存在，在导体上感应了电荷。球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。将感应电荷的电势由一“电像电荷”的电势表示现在假设在源点放置单位点电荷它在M点产生的电势为，这个电荷还要在球面边界上产生感应电荷，我们把感应电荷的电势用点关于球面对称点放置的点电荷（电像）q（电