第一章晶体结构

1固体物理学

(SolidStatePhysics)教材：《固体物理学》著者：黄昆原著，韩汝琦改编出版社：高等教育出版社2参考书目：1、《固体物理学》，方俊鑫著，上海科学技术出版社2、《固体物理引论》，基特耳著，万纾民等译，人民教育出版社，3、《固体物理学》，陈长乐著，西北工业大学出版社；4、J.RichardChristman，FundamentalsofSolidStatePhysics

；3主要内容第一章晶体结构第二章固体的结合第三章晶格振动与晶体的热学性质第四章能带理论第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动第六章金属电子论4绪言1.固体物理学研究对象组成固体的原子、离子、电子等的相互作用及运动规律，并阐明其特性与用途。52.固体物理的发展过程

自然界中固体材料分布广泛，有水晶，岩盐，金刚石，各种金属及陶瓷材料等等，人们在改造自然界的过程中，利用固体材料制作工具，同时也对它们的特性进行着研究和探索，依据大量客观现象的观察实验，总结一系列的经验规律，成为固体物理学发展的基础。6人类对晶体的研究晶体规则的几何外形很早就引起人们的注意，而且晶体的外形对称性与其物理性质有关系，外形的规则性可能是内部规则性的反映。到19世纪中叶，布喇菲（Brabais）提出空间点阵学说，概括晶格周期性特征；19世纪末，费多洛夫，熊夫利，巴罗等发展了关于晶体微观几何结构理论体系，为进一步研究晶体结构的规律提供理论依据。7随近代物理学发展，固体物理研究领域进入一个新阶段。一方面，20世纪初（1912年），劳厄首先指出晶体可以作为X射线的衍射光栅；另一方面，量子理论的发现，使人们能更深入地描述晶体内部微观粒子的运动过程，如爱因斯坦引进量子化概念研究晶格振动，索末菲在特鲁德和洛伦兹的金属自由电子论的基础上提出固体量子论。此外，还有费米发展了统计理论等等。

83.固体物理的学科领域固体物理研究范围高纯度的完整晶体杂质、缺陷对金属、半导体、电介质、磁性材料及固体材料性能的影响金属、半导体、电介质、磁性材料、发光材料等在一般条件下的各种性质金属、半导体、电介质、磁性材料、发光材料等在强磁场、强辐射、超高压、极低温等特殊条件下的各种现象发展新材料和新器件以及制备材料和器件的新工艺和新理论此外，超导理论，断裂微观理论，多体理论，非晶态理论，表面理论，催化微观理论，强光与物质作用相互作用理论等等9固体物理的主要研究领域固体中的元激发及其能谱——发展固态光电子器件及固态光子学固体内部原子间结合力的综合性质与复杂结构的关系，缺陷的形成和运动以及结构变化的规律——发展多功能复合材料研究极低温，超高压，强磁场，强辐射条件下固体的性质——为发展新能源和能量转换方式提供技术准备表面物理——对金属材料的防腐蚀防断裂有重要作用，是介于物理、化学和生物学之间的边缘学科非晶态物理——研究非晶体中原子、电子的微观过程，以发展新器件。104.预备知识一、固体的两类状态——晶体与非晶体

大量原子聚集到一起构成固体，原子排列方式有无限多种。按组成固体的粒子（原子、离子或分子）在空间的排列特征不同，将固体分为晶体、非晶体。晶体——空间的排列是具有周期性的规则排列，称长程有序。非晶体——固体内部长程无序，但短程有序。准晶体——结构介于晶体与非晶体之间11晶体与非晶体结构示意图图1a-晶体的规则排列图1b-玻璃的无规网格12二、晶体的宏观特征各种晶体由于其组分和结构不同，因而不仅在外形上各不相同，性质上也有很大差异，然而一切晶体都具有一些决定于内部结构规律性的宏观特征。1、规则的几何外形如典型晶体的石英，中间是六面棱柱，两端是六面棱锥的晶体；岩盐结晶成为立方体，等等。规则的几何外形表明：晶体内部结构是规则的。注意：当受到外界条件影响时，同一晶体物质的各种不同样品的外形可能不完全一样，因而，晶体外形不是晶体品种的特征因素。132、晶面角守恒定律

同一类型的晶体，其外形不一定相同。实验测量表明：在相同的温度的条件下，同一晶体物质的各种不同样品中，各晶面之间夹角保持恒定。143、具有最低内能实验表明：从气态、液态或非晶态过渡到晶态都要放热；反之，从晶态转变为非晶态、液态或气态时都要吸热——表明相同的热力学条件下，与同种化学成分的气体、液体或非晶体比，晶体的内能为最小。而且相同的热力学条件下，具有相同化学成分的晶体与非晶体比晶体是稳定的，而非晶体不稳定，有自发转变为晶体的趋势。154、具有固定熔点在固体熔化过程中，晶体具有固定的熔点，而非晶体没有，非晶体的熔化过程是随着温度的升高而逐渐完成。如石英晶体的熔点是1470℃，硅单晶的熔点是1420℃。晶体非晶体tTT0晶体与非晶体加热曲线165、物理性质各向异性晶体的物理性质是各向异性的，而非晶体是各向同性的。晶体的各向异性表明晶体内部结构的规则性在不同方向上是不一样的。如：石墨的电导率在不同的方向的数值是不同的，此外，晶体的压电性质、光学性质、磁学性质、热学性质等都表现出各向异性。17三、晶体的微观结构晶体的微观结构包括两个因素第一，晶体是由什么粒子组成；第二，这些粒子以怎样的方式在空间排列固体物理着重研究的问题空间点阵学说18晶体结构周期性描述—空间点阵学说

空间点阵学说认为：一个理想晶体是由全同的，称作基元的结构单元在空间无限重复而构成；基元是原子群（可以是一个原子，也可以是多个原子组成），晶体中的所有基元是等同的，即其组成、位形和取向都是全同的；因此，晶体内部结构可概括为由一些相同的几何点在空间作周期性的无限分布，几何点代表基元的某个相同位置，点的总体称为空间点阵，简称“点阵”。晶体结构=点阵+基元1920★§1-1一些晶格的实例(掌握)★§1-2晶格的周期性(掌握)★§1-3晶向、晶面和它们的标志(掌握)★§1-4倒格子(掌握)★§1-5晶体的宏观对称性(理解)★§1-6点群(理解)★§1-7晶格的对称性(理解)★§1-8晶体表面的几何结构(介绍)★§1-9非晶态材料的结构(介绍)第一章晶体结构

(crystalstructure)21§1-1一些晶格的实例

(samplesoflattice)主要内容1.1简立方晶格结构(cubic)1.2体心立方晶格结构(Body-centeredcubic)1.3密堆积结构(closepacked)六角密排(Hekagonasclosedpacked)面心立方(Face-centeredcubic）1.4金刚石结构(Diamond)1.5化合物的晶格结构(NaCl,CsCl,……)22基本概念

晶格(lattice)是指晶体中原子排列的具体形式。

具有不同晶格是指原子规则排列的形式不同；

具有相同晶格是指原子排列形式相同而原子间距不同。

231.1简立方晶格

结构特征原子球占据立方体的8个顶点；配位数为6；立方体边长a定义为晶格常数。简立方a241.2体心立方晶格在简立方结构的体心处加上一个原子球。结构特征：原子球占据8个顶角和体心位置，配位数为8。典型晶体：碱金属(Li,Na,K,Rb,Cs);

过渡金属(α-Fe,Cr,Mo,W)等。体心立方a25若将体心立方结构分为A层和B层结构，则体心立方结构可看成…ABAB…的堆积结构(设原子球半径为r0)。注：体心立方晶格一个平面内的原子球并不是最紧密排列。

△=0.31r0r0261.3密堆积结构立方密排（面心立方fcc）(Cu,Ag,Au,Pb,Ni,γ-Fe,Al等)六角密排结构(hcp)(Be,Mg,Zn,Ti,Cd,Zr等)271、密堆积结构的主要特征特点：每两个球均相切，且每个球与六个球相切；三个球心构成等边三角形；每个球周围有六个空隙。配位数为12。282、相关的基本概念密排面：原子球在一个平面内最紧密的排列方式。密堆积：全同原子球的最紧密的堆积方式，即多层密排面的堆积结构。最大配位数：配位数即每个原子的最近邻原子数，最大配位数就是指密堆积结构所对应的配位数。293、六角密排与立方密排密堆结构图示第一步：将全同小球平铺成密排面（A层）；第二步：第二层密排面的球心对准A层的球隙，即B层；第三步：第三层密排面放在B层的球隙上，可形成两种不同的晶格，即六角密排和立方密排结构。AB立方密排（面心立方）(A-B-C)六角密排(-A-B-)304、密堆积结构单元

六角密排结构面心立方（立方密排）ABAA层：B层：C层：311.4金钢石结构

结构特征两个面心结构套构（四条体对角线的四分之一处加一个C原子）；(2)配位数为4。

结构图示321.5化合物晶体结构(1)NaCl结构特征：

似简立方结构，每一行上Na离子与Cl离子相间排列。举例：

LiF,LiCl,NaF,NaBr,KCl,KBr,AgCl,MgO,CaO,SrO,BaO等等33(2)CsCl结构结构特征：似体心立方，区别在于体心处与顶角处的原子种类不同（即原子不等价）。举例：CsBr,CsI,TlCl,TlBr,TlI等34(3)闪锌矿结构（ZnS)与金钢石结构相仿；区别：体对角线上的C原子被S原子所替代，而面心和顶角的C原子被Zn原子所替代即（即体对角线位置的原子与其它位置的原子不等价）。举例：GaAs,InSb等Ⅲ族和Ⅴ族元素化合物。S原子Zn原子35§1-2晶格的周期性(periodicity)主要内容（一）原胞与基矢(primitivecellandunitvitor)（二）晶胞(crystalunitcell)（三）简单晶格与复杂晶格(crystallattice)（四）布拉伐格子(Bravaislattice)36晶体微观结构的周期性的描述固体物理学原胞结晶学原胞基本结构单元——原胞“基矢”维格纳—赛兹原胞简单晶格复式晶格“点阵”或“晶格”“布拉伐格子”37（一）原胞与基矢

(primitivecellandbasisvector)1、一个晶格中最小的周期性单元称原胞。2、晶格基矢即原胞的边矢量；一般用来表示。38例：二维晶格的原胞与基矢※原胞及基矢的选取——不唯一※显然，以基矢为两个棱边组成的平行四边形即为原胞。39例：三维晶格的原胞与基矢

简立方结构原胞

面心立方原胞

体心立方原胞一般用来表示三维晶格的基矢。通常，以基矢为三个棱边组成的平行六面体为原胞。（典型晶格有习惯原胞选取方式）402、立方晶格的原胞及原胞基矢

简立方结构原胞

面心立方原胞

体心立方原胞

=a=a=a

=a/2(

)=a/2()=a/2()

=a/2()=a/2()=a/2()ijk413、维格纳—赛兹原胞定义：以某一格点为中心，作它与最近邻、次近邻等格点的垂直平分面，由这些面所围成的封闭多面体称维格纳—赛兹原胞，也满足原胞的要求，而且每个维格纳—赛兹原胞只含有一个格点并位于原胞的中心，故其外形的对称性高于平行六面体原胞。42（二）晶胞（晶格学单胞crystalunitcell)1、定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研究晶格结构，以反映晶格的对称性，称为晶胞。例如：面心立方晶格为反映整个格子的立方对称性，选图中的立方体为其晶胞。关于晶胞选取晶胞有时是原胞，有时不是原胞；各种不同结构格子的原胞与晶胞的选取有统一的规定。432、原胞与晶胞的区别与联系原胞晶胞晶格中体积最小的周期单元体积较大的周期单元每个原胞中实际上只包含一个格点。每个原胞有8个顶角，每个顶角为相邻8个原胞所共有，所以，每个原胞所含格点数为8×1/8=1每个晶胞中所含格点数因结构而异。

例：面心立方晶格晶胞结构——立方体，面心格点：两个相邻晶胞共有，只有1/2属于一个晶胞；顶角格点：只有1/8属于一个晶胞；总格点数=8×1/8+6×1/2=4原胞的体积可表示为：面心立方晶格的原胞体积=a3/4晶胞体积是原胞体积的n倍（n是该结构每个晶胞所含格点数）面心立方结构晶胞体积=a3443、立方格子的特征（Filled)项目简立方体心立方面心立方晶胞体积a3a3a3每个晶胞所含格点数12(1+8×1/8)4(8×1/8+6×1/2)原胞体积a3a3/2a3/4最近邻数6812最近邻距离a次近邻数1266次近邻距离aa45小结:三种原胞特点

是体积最小的原胞，格点只在顶角上，每个原胞平均只含一个格点，其基矢常用来表示；固体物理学原胞结晶学原胞维格纳-赛兹原胞

为同时反映晶体的微观周期结构和晶体对称性，通常选取体积较大的原胞，常称为“晶胞”，其格点不只在顶角上，还可分布在体心和面心处，每个原胞平均不只含一个格点，其基矢常用来表示；

是以一格点为中心，画中心到最近邻格点的连线的垂直平分面，围成的多面体称维格纳-赛兹原胞。它也是体积最小的原胞，其格点只在中心，每个原胞平均只含一个格点；46简立方结构的原胞、晶胞和维格纳-赛兹原胞简立方原胞简立方晶胞a简立方维格纳-赛兹原胞47体心立方的原胞、晶胞和维格纳-赛兹原胞体心立方晶胞体心立方原胞体心立方维格纳-赛兹原胞48（三）简单晶格与复式晶格——1、晶格分类NaCl结构面心立方(fcc)(Cu,Ag,Au,Pb,Ni,γ-Fe,Al等)

每个原胞中只含一个原子，且所有原子等价

每个原胞中含两个或多个原子，且原子不等价简单晶格复式晶格49简单晶格复式晶格举例简立方晶格，体心立方晶格，面心立方晶格等举例金刚石，六方密排，闪锌矿结构等特征：每个原胞中只含一个原子，且所有原子等价特征：每个原胞中含两个或多个原子，且原子不等价复式晶格与简单晶格结构有何联系？复式晶格的原胞如何构造？50S原子Zn原子六角密排结构(hcp)(Be,Mg,Zn,Ti,Cd,Zr等)512、简单晶格与复式晶格的联系

复式晶格(1)每种等价原子形成一个简单晶格;(2)不同的等价原子形成的简单晶格是相同的;(3)复式晶格由多个相同的简单晶格互相套构而成。例如：NaCl，CsCl，金刚石，六角密排等结构。

NaCl结构

两个面心的套构52复式晶格举例

金刚石结构两个面心立方的套构

CsCl结构两个简立方的套构

六角密排结构

两个简六方的套构53金刚石结构54复式晶格的原胞(六角密排晶格为例)复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞，原胞中包含每种等价原子各一个。定义：原胞基矢为：55（四）布拉伐格子(Bravaislattice)

1、晶格周期性的数学描述设某一格点处的原子位置坐标用R来表示

对于简单晶格而言，

;（l1,l2,l3为整数）对于复式格子而言，；

其中，表示原胞内各种等价原子间的相对位移，α=1，2，…，i(设原胞内有i个原子等价）。56举例：金刚石结构立方顶角及面心位置的原子可表示为：

(其中=0)；

立方单元体对角线上的原子表示为：

(其中=1/4体对角线)

可见，一组（l1,l2,l3)取值表示晶格中的一个格点，（l1,l2,l3)所有可能取值的集合，表示一个空间格子（或点阵）。实际晶格可看成在这个空间点阵的每个格点上放置一个原子（或原子团）构成（若放一原子团，则它们的相对位移为rα）。572、布拉伐格子

这个具有晶格周期性的空间格子称为布拉伐格子，放置在格点上的原子或原子团称为基元。布拉伐格子是一种数学上的抽象，是点在空间中周期性的规则排列，其每个格点是几何等价的。例如：Cu的面心立方晶格，Si的金刚石晶格和NaCl晶格布拉伐格子都是面心立方格子，每个格点的基元分别为一个Cu、两个Si和一对Na+、Cl-离子。583、布拉伐格子，基元与晶格的逻辑关系布拉伐格子+基元=晶格

自然界中晶格的类型有很多种，但布拉伐格子只有十四种类型(§1-7节中将详细讲述），任何一种晶体所对应的点阵结构一定是14种布拉伐格子之一。59本节重点：1、立方结构的固体物理学原胞及基矢

简立方结构原胞

面心立方原胞

体心立方原胞

=a=a=a

=a/2(

)=a/2()=a/2()

=a/2()=a/2()=a/2()ijk602、复式晶格的原胞(六角密排晶格为例)复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞，原胞中包含每种等价原子各一个。定义：原胞基矢为：61§1-3晶面、晶向和它们的标志

(CrystalplaneandDirection)

主要内容（一）晶列与晶向

(Direction)（二）晶面与晶面指数

(Crystalplaneindices)62（一）晶列与晶向(Direction)通过晶格中任意两个格点连一条直线，则这条直线将包含无限多个格点，该直线称为晶列。同一族晶列具有相同的方向，且格点的分布也具有一定的周期。不同族晶列方向不同，格点的周期也不同。

晶向的定义一族晶列的共同方向称为晶向。晶列图示布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，称一族晶列。ab63晶向指数(Directionindices)

定义：某一晶向上，以一个原子为原点，其最近邻原子的位移矢量表示为：则[l1l2l3]称为该晶向的晶向指数。立方晶格中的晶向OA------[100]OB------[110]OC------[111]ABOCA′[ī00][īī0][īīī]负指数在数字上加一横线。64等效晶向考虑到晶格的对称性，某些晶向可以只是方向不同，而周期却是相同的，这类晶向称为等效晶向。等效晶向的全体用<l1l2l3>表示。如立方晶格中的[ī00],[0ī0],[00ī],[100],[010],[001]六个晶向可用符号〈100〉表示，它们是等效晶向。[001][010][100][100]及等效晶向6566(二)晶面与晶面指数

(crystalplaneandindices)1、晶面的概念

布拉伐格子的格点还可看成分列在平行等距的平面系上，即晶面。整个晶格可以看作无数互相平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有格点都处于这族晶面上。67同一个晶格中两族取向不同的晶面族通过晶格的任一格点可作无数取向不同的晶面，因此在晶格中存在无数取向不同的晶面族。68晶面指数（密勒指数）

设想所有格点都在某晶面系上，为表示这族晶面，选取为坐标轴(可为原胞基矢，亦可为晶胞基矢)，或某一个面在三轴的截距，即为，或以a,b,c为三轴的基本单位，则截距分别为h΄,k΄,l΄，习惯将其倒数的互质整数比定义为该晶面族的晶面指数（或称密勒指数）即：1/h΄:1/k΄:1/l΄=h:k:l

密勒指数记作（hkl）。69（hkl）的物理含意表示用互相平行等距的晶面将三轴a,b,c分别等分为h,k,l段；因此，距离原点最近的晶面的三轴截距分别为a/h,b/k,c/l；等效晶面用花括号表示，如立方晶格中的立方体面的晶面指数分别为(100)、(010)、(001)、(ī00)、(0ī0)、(00ī)，由于晶体的对称性，这些晶面等效，记作{100}；立方结构的晶格(如面心立方，体心立方等)均以立方单胞(即晶胞)为单位来研究晶向与晶面的问题。70例：立方晶格中的(100),(110),(111)面(100)(110)(111)o71例：立方晶胞中的一些晶面oabcoabcaobcaobc72立方晶格中的等效晶面73证明：立方晶系中方向[hkl]垂直于平面(hkl)方法1、求(hkl)的法线方向与[hkl]平行。方法2、证明[hkl]垂直于与面(hkl)的两条相交的直线。74§1-4倒格子

(Reciprocallattice)

主要内容1、倒格子定义2、倒格子与正格子的关系3、倒格子与傅立叶变换75为何要引入“倒格子”概念？

倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒格子是由基矢所规定的正格子经过一定转变而构成的另一种布拉伐格子结构。二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的规律恰是傅里叶变换。76晶列晶面晶向指数密勒指数1、该族晶面相对于基矢的取向—法线方向2、该族晶面的面间距d；研究晶格（正格子空间）结构“倒格子”77晶格的周期性781、倒格子定义定义：基矢正格子空间（或正点阵）基矢倒格子空间（或倒易点阵）其中为正格子原胞体积792、倒格子与正格子的关系空间基矢位置矢量正格子空间倒格子空间简称“倒格矢”(Reciprocallatticevector)2.1数学描述802.2倒格子与正格子基矢间关系i,j=1,2,3

之间存在如下关系：注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。812.3位矢之间关系正格子位矢：倒格子位矢：二者的关系：(m为整数)；

表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。822.4二者原胞体积的关系倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:证明提示：将表达式代入后，利用矢量运算即可证明。832.5正格子中(h1h2h3)晶面族与倒格矢Gh的关系即沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。证明提示：设晶面ABC是晶面族（h1h2h3）中最靠近原点的晶面，截距分别为思路：能证明

同时垂直于和，即能证明

垂直于面ABC。ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G倒格矢与正格子中密勒指数为（h1h2h3)的晶面族正交。(1)84简单证明如下：ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3G85(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为证明：由前面的证明可知，原点到面ABC的距离即为所求面间距(设为d)。

ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Ghd86证明：面心立方点阵阵点密度最大平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面。

解：当晶胞体积一定时，最大相应的晶面的原子面密度最大，而，为倒格矢，、、为倒格基矢。面心立方点阵基矢为、、而、、所以，只有当、、中有一个是1其余是0是，对应的最小，相应的最大。87设，，则，它的方向为面心立方的[111]方向，即此倒格点代表面心立方的{111}面族。所以面心立方{111}面族的原子面密度最大。同理，对体心立方点阵：、、对应的最小的应是、、中只有一个数是1其余为0。设，，则它的方向为体心立方的[011]方向，相应的晶面为{011}面族。所以体心立方的{011}面面密度最大。883、倒格子与傅立叶变换同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换。设晶格中某点的某一物理量表示如下：晶格的周期性8990(m为整数)；

显然有：即或者所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。傅里叶变换91小结每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且两种格子空间中长度的量纲互为倒数；对于给定的正格子，基矢的选择是不唯一的，相应的倒格子基矢的选择也是不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的；同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换；92小结晶体的显微图象真实晶体结构的映象；晶体的衍射图象倒格子（倒易点阵）的映象；晶体点阵(正格子)的格点对应原子、分子或其集团倒格子中的格点对应晶体中的一族晶面晶体点阵(正格子)的格点位于位置空间或坐标空间内的,其线度的量纲为[长度]倒格子中的格点在与真实空间相联系的倒易空间或傅里叶空间内的93描述微观粒子运动状态的波矢k具有和倒格子空间同样的量纲。倒格子空间又称状态空间或简称为k空间94布里渊区定义：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面将倒易空间分割为许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，同理类推，可得第三、第四布里渊区等。

95例一：二维正方格子的布里渊区

倒格子基矢：

可见二维正方格子的倒格子仍为二维正方格子。

方法：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面（图见下页）。正格子结构：二维正方格子；正格子原胞基矢：

；

96二维正方格子布里渊区图示第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区97二维正方格子布里渊区图示（演示）第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区98面心立方晶格第一布里渊区

面心立方晶格的倒格子是体心立方结构，以任一倒格点为原点，共有八个最近邻，即八个中垂面，围成一个八面体，但其六个顶角却被对应于六个次近邻倒格点的中垂面所截。故其第一布里渊区是十四面体。99体心立方晶格第一布里渊区倒格子：面心立方结构；倒格子的最近邻数：12；方法：以任一倒格点为原点，考虑到离原点最近的倒格点共有12个，即作出相应的12个中垂面，围成一个12面体，因次近邻倒格点的中垂面并不切割它，所以其第一布里渊区的形状就是12面体。100布里渊区的特征(1)第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳——赛兹原胞，其形状围绕原点中心对称；(2)其余每个布里渊区的各个部分也都是以原点为中心对称分布的；(3)每个布里渊区的体积都相等且等于倒格子原胞的体积。

101§1-5晶格的宏观对称性

(Macroscopicsymmetry)

一些晶体在几何外形上表现出明显的对称，如立方、六角等对称，研究表明：这种对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中，对于研究晶体的性质有极重要的意义。因此，研究晶体物理性质时，先从其几何外形的宏观对称性开始研究。5.1晶体的对称性(symmetry)5.2对称素与对称操作(symmetryelementsandsymmetryoperatioon)5.3宏观对称性与物理性质(macroscopicsymmetryandphysicalproperties)1025.1对称性(symmetry)晶体的对称性是指晶体经过某些对称操作后仍能回复原状的特性。对称操作是指一定的几何变换。如某物体在某一正交变换（保持两点距离不变）下不变，则称这个变换为物体的一个对称操作。103不同几何图形的对称性分析(1)分析方法：从图形的旋转来分析——显然，可以具体显示出A、B、C三者的不同程度的对称，但不能区分C和D。正方形只有在旋转π/2,π,3π/2的情况下图形才自身重合等腰梯形只有旋转2π角度图形才能自身重合圆形对任何绕中心的旋转，图形都不变不规则四边形只有旋转2π角度图形才能自身重合ABCD104不同几何图形的对称性分析(2)正方形只有对对边中心的连线和对角线作反射，图形才自身重合等腰梯形只有对两底中心连线，图形才能自身重合圆形对任意直径作反射，图形都不变不规则四边形不存在任何左右对称的线BCD分析方法：让图形按一条直线作左右反射——结果表明完全可以区分出A、B、C和D的不同程度的对称性。A105研究晶体宏观对称性的方法

考查晶体在一定几何变换下的物理不变性。“旋转和反射等”是正交变换即保持两点距离不变。一个物体在某一正交变换下不变，称这个变换为物体的一个对称操作。描述一个物体的对称性可归结为列举其全部对称操作，一个物体的对称操作愈多，对称性愈高。106例一：立方体的对称性

——列举立方对称结构的全部对称操作立方轴角度：π/2,π,3π/2对称操作个数：3×3=9面对角线角度：π对称操作个数：1×6=6体对角线角度：2π/3,4π/3对称操作个数：2×4=8不动操作24个n重旋转轴24个n重旋转-反演轴总计：48个对称操作107例二：正四面体对称性

——列举正四面体的全部对称操作立方轴角度：π，对称操作个数：3；

体对角线角度：2π/3，4π/3对称操作个数：4×2=8

不动操作

转立方轴π/2，3π/2后再加上中心反演对称操作

个数：3×2=6绕面对角线转π后再做中心反演对称操作个数：6

12个含中心反演的操作

12个纯转动操作

ADCB108例三：正六角柱对称性

——列举正六角柱的全部对称操作中心轴线角度:π/3，2π/3，π，4π/3，5π/3对称操作个数：5

对棱中点连线角度：π对称操作个数：3

不动操作

相对面中心的连线角度:π对称操作

个数：312个含中心反演的操作

12个纯转动操作

1095.2对称素与对称操作

1、对称素(symmetryelements)

晶体对称操作所依赖的几何要素，如点、线、面等称为对称素。对称面对称轴对称中心m或σn或(n=1,2,3,4,6)i110n重旋转轴n重旋转-反演轴列举所有的对称操作列举它所具有的对称素2、对称素与对称操作

(symmetryoperation)描述物理对称性111n只能取1、2、3、4、6(一)n重旋转轴定义：一个物体绕某一个转轴转角度以及它的倍数能与自身重合时，这个轴称为物体的n重旋转轴，记作n。

由于晶格周期性的限制，不可能有5度或6度以上的旋转对称轴。112（二）n重旋转-反演轴定义：若一个物体绕某一转轴旋转角度再加上中心反演的联合操作以及联合操作的倍数能自身重合时，这个轴称为晶体的n重旋转-反演轴（有的教材也称象转轴），记作。

113对称轴举例——立方体立方轴（9个）角度：π/2,π,3π/2即是4重轴，又是4重旋转-反演轴面对角线（6个）角度：π即是2重轴，又是2重旋转-反演轴体对角线（8个）角度：2π/3,4π/3即是3重轴，又是3重旋转-反演轴不动操作24个n重旋转轴24个n重旋转-反演轴总计：48个对称操作114特殊的对称素：

代表先转动π角度后再对原点做中心反演的操作，称镜面（如图所示），记作m或σ。AA1A2π反演A2与A的关系：A2是A通过M面的镜像AA1A2M1153、对称操作群（1）“群”的数学定义及性质1.数学定义：群代表一组“元素”的集合，这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，如。2.群的性质：(1)闭合性：,则;(2)存在单位元素E：AE=A；(3)存在逆元素：有；

(4)元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C。

116群1.正实数群所有正实数的集合，普通乘法为运算法则。2.整数群所有整数的集合，加法为运算法则。3.对称操作群全部对称操作的集合，连续操作为运算法则。117（2）对称操作群定义定义：一个物体的全部对称操作的集合称为对称操作群。

运算法则：连续操作单位元素：不动操作逆元素：绕某转轴转θ的逆元素—绕该轴绕-θ角度； 中心反演的逆元素—中心反演118连续对称操作的实例O

A

B

C

T

T’

S

先绕OA，后绕OC旋转119物理量的对称变换

如果经过坐标变换后，在新旧两个坐标系中观测某一物理量相对于坐标的分布情况完全相同，则该变换叫做物理量的对称变换。

120立方晶系各阶张量的简化晶体的二阶张量121绕Z轴逆时针方向

转对称变换

1225.3宏观对称性与物理性质例、证明简六方晶体的介电常量具有如下形式：表明：平行轴方向：垂直轴方向：即介电性在平行和垂直六角轴方向有差别，六角对称晶体具有双折射现象。123简六方结构介电常量思路正交变换后

写出经晶体的对称操作后的表达式，利用，找到矩阵ε的每一个量。124简六方结构的介电常量证明如图设x,y,z轴，D具有如下形式：125简六方结构的介电常量对称操作一：设E=(E,0,0),即E沿x轴方向，令晶体绕x轴转180°，则y变成y’=-y，z变成z’=-z，即：εyx=-εyx=0，εzx=-εzx=0.126简六方结构的介电常量对称操作二：设E=(0,E,0),即E沿y轴方向，令晶体绕y轴转180°，则x变成x’=-x，z变成z’=-z，即：εxy=-εxy=0，εzy=-εzy=0.127简六方结构的介电常量对称操作三：设E=(0,0,E),即E沿z轴方向，令晶体绕z轴转180°，则x变成x’=-x，y变成y’=-y，即：εxz=-εxz=0，εyz=-εyz=0.128简六方结构的介电常量εyx=-εyx=0，εzx=-εzx=0.εxy=-εxy=0，εzy=-εzy=0.εxz=-εxz=0，εyz=-εyz=0.综上所述：129简六方结构的介电常量对称操作四：设E沿六角形顶角A方向，即令晶体以E为轴转180°，则y变成y’，z变成z’。130简六方结构的介电常量由于E所在方向是2重轴，故转180度后，电位移矢量D不变，即131简六方结构的介电常量εyx=-εyx=0，εzx=-εzx=0.εxy=-εxy=0，εzy=-εzy=0.εxz=-εxz=0，εyz=-εyz=0.132证2：

设转动操作的变换矩阵为T，在该操作下二阶张量的变换为若该操作为对称操作，应满足

133

取对称操作为绕x轴转180度，代入上式，有134

再取对称操作为绕y轴转180度，代入上式，有

135

最后，取绕z轴转120度，

可得

136§1-6点群(pointgroup)基本对称素点群组合构成1371、基本对称素

(Basicsymmetryelements)

晶体的宏观对称性是晶体在原子的周期性排列基础上产生的，因此，由其产生的对称操作要受到严格的限制，只有独立的对称操作所对应的对称素才称为基本对称素。前面提到的对称素：n重旋转轴和n重旋转-反演轴并不都是独立的操作。138n重旋转-反演轴并不都是独立的对称素2重旋转-反演轴等价于垂直于该轴的反映面。AA1A2M反演中心139n重旋转轴中n只能取1、2、3、4、6（1）AB为格点；（2）对称操作一：晶体绕A转θ度，B转至B`点，由于转动操作不改变格子，故B`也必为格点。（3）对称操作二：晶体绕B转θ度，A转至A`点，由于转动操作不改变格子，故A`也必为格点。B`A`平行于AB140n只能取1、2、3、4、6B`A`平行于AB根据晶格周期性：B`A`=pAB（这里，p为整数）几何关系可得：B`A`=AB(1-2cosθ)1212由式可得：141n只能取1、2、3、4、6P值-10123θ值2π/12π/62π/42π/32π/2n值16432列表分析如下：142晶体中不可能存在5度轴示意图143基本对称素与点群1、点群：(1)点群是在操作中至少有一点保持不动的对称操作群。转动、中心反演和对称面都是点对称操作。(2)受晶格周期性限制，对称素组合成群时受到严格限制，八种基本对称素组合只能得到32种点群（不包括平移对称操作），即晶体宏观对称性只有32种不同类型。1，2，3，4，6，i，m，144n重旋转-反演轴并不都是独立的对称素2重旋转-反演轴等价于垂直于该轴的反映面。AA1A2M反演中心145本书中“点群”的定义1.定义：在1,2,3,4,6,十个对称素的基础上组成的对称操作群称点群。

2.十种对称素只能组成32种不相同的点群。

14632种点群简介C1不动操作Cn回转群：只含一个旋转轴，下角标n表示n重旋转轴Dn双面群：包含一个n重旋转轴和n个与之垂直的二重轴CiC1加中心反演CsC1加反映面CnhCn加与n重轴垂直的反映面CnvCn加与n个含n重轴的反映面DnhDn加与n重轴垂直的反映面14732种点群简介(续)DndDn加通过n重轴及两根二重轴角平分线的反映面(n=2,3)Sn只包含旋转反演轴，n=4,6(其中S1=Ci,S2=Cs,S3=C3h)Oh立方点群：由立方对称的48个对称操作组Td正四面体点群：正四面体的24个对称操作组成；OOh中24个纯转动操作组成TTd中12个纯转动操作组成ThT加中心反演148§1-7晶格的对称性(symmetry)1、七个晶系2、十四种布拉伐格子3、空间群149七个晶系与十四个布拉伐格子关系图立方晶系

六角晶系

四方晶系

三角晶系

正交晶系

单斜晶系

三斜晶系

简单立方体心立方面心立方

六角

简单四方体心四方

三角

简单正交底心正交体心正交面心正交

简单单斜底心单斜简单三斜每一晶系按其晶胞的底心、面心或体心是否有格点可分为几种不同的形式，每种形式为一种布拉伐格子，则七个晶系共计包含14种布拉伐格子。晶体的32种宏观对称性类型可以分成七类，即七个晶系。其中每个晶系包含若干种点群，它们具有某些共同的对称素。150具有一个特征转轴的晶系晶系特征对称操作对晶胞要求三斜C1,夹角不等单斜C2三角C3四方C4六角C6151具有多个二度转轴的晶系晶系特征对称操作对晶胞要求正交三个互相垂直的C2晶系特征对称操作对晶胞要求立方4个C3具有多个高度转轴的晶系1522、14种布拉伐格子—三斜、单斜晶系

三斜晶系简单三斜夹角不等单斜晶系简单单斜单斜晶系底心单斜153三角晶系、四方晶系、六角晶系三角晶系三角四方晶系简单四方四方晶系体心四方六角晶系六角154正交晶系正交晶系简单正交正交晶系底心正交正交晶系体心正交正交晶系面心正交155立方晶系立方晶系简单立方立方晶系体心立方立方晶系面心立方1563、空间群晶格的周期性，也称平移对称性，用布拉伐格子来表征，平移一个布拉伐格子的晶格矢量后，晶体自身重合，称为平移对称操作。晶格的对称性也可用一系列转动（或转动加反演）对称操作来描述，这些对称操作的集合组成点群。所有布拉伐格子晶格矢量对应的平移对称操作的集合，称为平移群。空间群157“空间群”定义定义：晶格全部对称操作的集合，称为空间群。其元素是点群操作和平移操作的组合。已知共有230种晶体空间群，所以所有的晶格结构有230个类型，每个对称类型由一个空间群描述。158§1-8晶体表面的几何结构

通常讨论问题都是在假定没有表面的理想情况，实际上并不都是理想情况。研究表面问题，首先要从表面原子排列规律入手。晶体表面原子排列的规律：若定义垂直表面方向为z轴，则z轴方向周期性被破坏，而沿表面却保持周期性，即表面具有二维周期性，可用二维布拉伐格子来表征。也就是说，晶体表面原子的规则排列看成是体内原子规则排列的延续，只是失去了垂直表面方向的周期性。实际上的表面是指晶体三维周期结构和真空之间的过渡层，可看成一种特殊的相——表面相。

159晶体表面晶格排列周期性用二维布拉伐格子来表征晶体表面晶格排列的周期性：为基矢；l1,l2为整数。2、原胞是为边矢量构成的平行四边形。1、160回顾：立方晶格中的(100),(110),(111)面(100)(110)(111)o161举例晶体内部面心立方（fcc）结构ABCDEFGH分析(100)面即面ABCD的二维布拉伐格子结构。结论：此结构是正方格子结构，两基矢相互垂直。162分析面心立方的（111）面结构A层：B层：C层：AFH163面心立方的（111）面结构AFH结论：（111）面的结构是密排结构。基矢夹角为60度。164二维结构的倒格子空间

晶体表面结构具有二维周期性，其倒格子空间也是二维周期结构。1、二维正格子基矢：2、二维倒格子基矢：3、以为基矢构成二维倒格子结构，其每个格点位置为165二维晶格的晶系和布拉伐格子晶系轴和角度布拉伐格子斜方简单斜方长方简单长方中心长方正方简单正方六角简单六角166五种布拉伐格子组成的二维点阵a简单斜方格子；b简单正方格子；c简单六角格子；d简单长方正交格子；e有心长方格子167表面相

前面的研究，认为晶体的表面的规则排列是体内规则排列的延续，只是失去了垂直表面方向的周期性而以。实际上，表面是晶体三维结构与真空结构的过渡层，看成是一种特殊的相——表面相，表面相中原子排列和化学组成与晶体内部不完全相同。

若设表示晶体内部与表面平行的晶面上的基矢，而表示表面相基矢，二者可能不相同，这种现象称为表面再构。表面再构现象往往与表面原子弛豫现象和原子吸附有关。168表面再构分类若夹角与夹角相同（相当于旋转一定角度），标记为R(h1h2h3)p×q-Q。

例如：

后面括号中的s表明是物质表面的吸附原子。

第二类：二者不平行。第一类：//，//；若=p,=q，则表面再构可表示为R（h1h2h3）p×q

。例如：Si(111)7×7表明Si(111)表面原子排列的周期为体内的7倍。

169获得再构表面采取实验方法获得不同的再构表面。Si(111)25°超真空解理亚稳的(2×1)结构350°退火(7×7)结构约800°时对表面进行淬火高温的(1×1)结构170§1-9非晶态材料的结构

(structureofamorphousmaterial)

基本概念：键长：近邻原子间的距离。键角：近邻原子边线之间的夹角。长程序：理想晶体原子排列具周期性，称为长程序。短程序：非晶态材料原子排列不具有周期性，不具有长程序，但在近邻原子数目和种类，键长和键角方面基本保留原来的特点，称为短程序。171非晶态材料结构描述对于理想晶体—其结构具有长程序。对于非晶态材料—其结构失去长程序，而保留短程序。非晶态材料结构描述：径向分布函数（简写为RDF）。172RDF定义及基本实验方法径向分布函数（简写为RDF）定义：以原子为球心，半径在r到r+dr球壳内的平均原子数，用J(r)=4πr2ρ(r)dr表示。ρ(r)代表距原子r的球面上的原子密度，J(r)即为径向分布函数。X射线、电子和中子衍射等测定RDF基本实验方法173§1-10准晶态晶体------具有点群对称性

实验手段X射线衍射，中子衍射，电子衍射等衍射图样：一组组清晰斑点，斑点图样显示出晶体的对称性非晶体------长程无序衍射图样：呈现弥散的环，没有表征晶态的斑点。174AlMn合金的电子衍射图175Penrose拼接图案（1974）

(数学游戏）特点：五次对称图形比比皆是，但分布不具有周期性。176“箭”和“风筝”四边形两个四边形的边长有两种取值，之比为1.618177准晶态结构特点

准晶是固态物质的一种新的有序相,具有：（1）长程取向序（2）不具有长程的平移对称序（3）取向序具有晶体周期性所不能允许的点群对称性不具有长程的平移对称序（4）沿取向序对称轴的方向具有准周期性178第一章总结1791、重要概念原胞、基矢、晶胞、布拉伐格子；简单晶格、复式晶格；晶列、晶向、晶向指数、晶面、晶面指数；倒格子、倒格子基矢、倒格矢；n重旋转轴、n重旋转-反演轴；基本对称操作、点群、空间群；七个晶系、十四种布拉伐格子。1802、基本问题立方格子的结构特征简单晶格与复式晶格的区别与联系倒格子与正格子的区别与联系晶向指数与晶面指数七个晶系与14种布拉伐格子1813、典型的计算问题（1）致密度的计算致密度：设想晶体由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据体积与晶胞体积的比值称为致密度。例题：P578—1.1182第一章习题1.1证明：原子球半径为r，晶格常数a，ar183第一章习题184第一章习题2、试证明六方密排密堆积结构中证明：ABCD四原子球构成四面体结构，ABCOADCBD185（2）如何判断(正)倒格子是何结构？1、写出基矢的表达式，与常用的习惯写法对比来确定；2、计算出原胞体积来确定其结构。例一：P578—1.3例二：基矢为的晶体为何种结构；若，又为何种结构？1861.3试证明：面心立方的倒格子为体心立方。证明：已知面心立方正格子基矢如下：由倒格矢公式可得：对比二者只相差一常数公因子，因此得证。187例二题解例：基矢为的晶体为何种结构；若，又为何种结构？解：计算晶体原胞体积：由原胞推断，晶体结构属体心立方结构。188例二题解由原胞推断，该晶体结构仍属体心立方结构。189（3）正格子与倒格子关系1、原胞体积关系证明（P578—1.4）；2、倒格矢与晶面族的关系（P578—1.5）；3、面间距（P578—1.6）;1901.4证明：倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:证明提示：将表达式代入后，利