第一章电磁辐射与材料结构

1第一篇总论第一章电磁辐射与材料结构Modernmaterialanalysismethods2第一节

电磁辐射与物质波

一、电磁辐射与波粒二象性

二、电磁波谱

三、物质波

Modernmaterialanalysismethods3一、电磁辐射与波粒二象性电磁辐射（也可称为电磁波，有时也将部分谱域的电磁波泛称为光）：在空间传播的交变电磁场。根据量子理论，电磁波具有波粒二象性。波动性：电磁波在空间的传播遵循波动方程。描述电磁波波动性的主要物理参数有：波长（）、波数（或K或

）、频率（）及相位（）等。=c（光速）微粒性：电磁波是由光子所组成的光子流。描述电磁波微粒性的主要物理参数有：光子能量（E）和光子动量（p）等

。

Modernmaterialanalysismethods4波动性与微粒性的关系：E=h（=hc/）P=h/

等式左边与右边分别为表示电磁波微粒性与波动性的参数波动性的表现？

微粒性的表现？Modernmaterialanalysismethods5二、电磁波谱

将电磁波按波长（或频率）顺序排列即构成电磁波谱。

Modernmaterialanalysismethods6①长波部分（低能部分），包括射频波（无线电波）与微波，有时习惯上称此部分为波谱。与物质中间隔很小的能级跃迁相适应。②中间部分，包括紫外线、可见光和红外线（红外光），统称为光学光谱，一般所谓光谱仅指此部分而言。与原子或分子外层电子的能级跃迁相适应。③短波部分（高能部分），包括X射线和射线（以及宇宙射线），此部分可称射线谱。产生于原子内层电子能级跃迁。Modernmaterialanalysismethods7三、物质波

运动实物粒子也具有波粒二象性，称为物质波或德布罗意波，如电子波、中子波等。德布罗意关系式(=h/p)=h/mv

式中，p——运动实物粒子的动量；m——质量；v——速率。对于高速运动的粒子，m为相对论质量，有

当v<<c时，mm0。

透射电镜和电子衍射是基于电子的波动性而建立起来的。根据中子的波动性建立了中子衍射。ModernmaterialanalysismethodsModernmaterialanalysismethods8电子波（运动电子束）波长

将电子电荷e＝1.60×10-29C、电子质mm0=9.11×10-31kg及h值代入上式，得

式中，以nm为单位，V以V单位。（未经相对论校正）（经相对论校正）9不同加速电压下电子波的波长（经相对论校正）1nm=10Å

Modernmaterialanalysismethods10第二节

材料结构基础

一、原子能态及其表征

二、分子运动与能态

三、原子的磁矩和原子核自旋

四、固体的能带结构

五、晶体结构

六、干涉指数

七、晶带

Modernmaterialanalysismethods11一、原子能态及其表征1．原子结构与电子量子数

2．原子能态与原子量子数

3．原子基态、激发、电离及能级跃迁

与原子光谱有关的结构知识Modernmaterialanalysismethods121．原子结构与电子量子数

原子由原子核和绕核运动的电子组成。一般近似认为核外电子在各自的轨道上运动并用“电子（壳）层”形象化描述电子的分布状况。

核外电子的运动状态由n(主量子数)、l(角量子数)、m(磁量子数)、s(自旋量子数)和ms(自旋磁量子数)表征。5个量子数也相应表征了电子的能量状态(能级结构)。

Modernmaterialanalysismethods13n、l、m对核外电子状态的表征意义Modernmaterialanalysismethods14原子的电子能级示意图Modernmaterialanalysismethods152．原子能态与原子量子数

多电子原子中，存在着电子与电子相互作用等复杂情况，量子理论将这些复杂作用分解为：轨道-轨道相互作用：各电子轨道角动量之间的作用自旋-自旋相互作用：各电子自旋角动量之间的作用自旋-轨道相互作用：指电子自旋角动量与其轨道角动量的作用（单电子原子中也存在此作用）并将轨道-轨道及自旋-自旋作用合称为剩余相互作用，进而通过对各角动量进行加和组合的过程（称为偶合）获得表征原子整体运动状态与能态的原子量子数。

Modernmaterialanalysismethods16J-J偶合：当剩余相互作用小于自旋-轨道相互作用时，先考虑后者的偶合（适用于重元素原子）。L-S偶合：当剩余相互作用大于自旋-轨道相互作用时，先考虑前者的偶合[适用于轻元素和中等元素（Z<40）的原子]。

L-S偶合可记为（s1，s2，…）（l1，l2，…）=（S，L）=J

（1-9）此式表示将各电子自旋角动量（

，，…）与各电子轨道角动量（

，

，…）分别加和（矢量和），获得原子的总自旋角动量PS与总轨道角动量PL，然后再由PS与PL合成总（自旋-轨道）角动量PJ（即PJ=PS+PL）。

偶合方式Modernmaterialanalysismethods17按L-S偶合，得到S、L、J、MJ等表征原子运动状态的原子量子数。S称总自旋量子数，表征PS的大小。L称总（轨道）角量子数，表征PL的大小。J称内量子数（或总量子数），表征PJ的大小；J为正整数或半整数，取值为：L+S，L+S-1，L+S-2，…，L-S，若L≥S，则J有2S+1个值，若L＜S，则J有2L+1个值。MJ称总磁量子数，表征PJ沿外磁场方向分量的大小，MJ取值为：0，1，2，…，J（当J为整数时）或1/2，3/2，…，J（当J为半整数时）。

Modernmaterialanalysismethods18用n（主量子数）、S、L、J、MJ等量子数表征原子能态，则原子能级由符号nMLJ表示，称为光谱项。符号中，对应于L＝0，1，2，3，4…，常用大写字母S、P、D、F、G等表示。

光谱支项

M表示光谱项多重性（称谱线多重性符号），即表示M与L一定的光谱项可产生M个能量稍有不同的分裂能级（每一分裂能级称为一个光谱支项），此种能级分裂取决于J，每一个光谱支项对应于J的一个确定取值，而M则为J的可能取值的个数,

即L≥S时，M=2S+1光谱项n（2s+1)LJ

L<S时，M=2L+1

光谱项n（2L+1)LJ

光谱项Modernmaterialanalysismethods1919

当有外磁场存在时，光谱支项将进一步分裂为能量差异更小的若干能级（此种现象称塞曼分裂）。其分裂情况取决于MJ，每一分裂能级对应于MJ的一个取值，分裂能级的个数则为MJ可能取值的个数。

塞曼分裂Modernmaterialanalysismethods20原子能级和能级图原子能级用光谱项来表征例：钠原子基态

32S1/2n2S+1LJn：主量子数光谱项符号：（L=0，S=+1/2或-1/2

）Modernmaterialanalysismethods21原子的电子排布中凡充满壳层s2、p6、

d10、f14

等的总轨道角动量量子数L、总自旋角动量量子数S、总轨道磁量子数ML、总自旋磁量子数Ms都为零，发生跃迁的也往往是外层电子，所以，考虑光谱项时只需考虑开壳层上的电子。Modernmaterialanalysismethods22

L：总角量子数,其数值为外层价电子角量子数l

的矢量和，即Lmax

=ΣliL的取值范围：

0,1,2,3,…,Lmax相应的符号为：S,P,D,F，…写出外层电子排布，将l

加和。如：P3组态：

l1＝l2

＝l3＝1,

Lmax＝3可能的取值：0,1,2,3Modernmaterialanalysismethods23S：总自旋。其值为个别价电子自旋s(其值为)的矢量和。Smax

=ΣSi如：P3组态：

Smax＝3/2Modernmaterialanalysismethods24J：内量子数。其值为各个价电子组合得到的总角量子数

L与总自旋S的矢量和。

若L≥S，则J有(2S+1)个值；

若L＜S，则J有(2L+1)个值。J的取值范围：L+S,(L+S–1),(L+S–2),…,L-S

J的取值个数：Modernmaterialanalysismethods25(1)在不违反Pauli原理前提下，将电子填入轨道，首先使每个电子ms尽可能大，其次使m也尽可能大；

(2)求出所有电子的ms之和作为S，m之和作为L；

(3)对少于半充满者，取J=L-S；对多于半充满者，取J=L+S.一种推求基谱项的简便方法210-1-2L-S=2d23F2Modernmaterialanalysismethods261s22s22p2

L-S=010-1C3P0[Ar]3d104s24p5

L+S=3/2Br10-12P3/2原子HNOFNe基谱支项

2S1/24S3/23P22P3/21S0Modernmaterialanalysismethods27谱线多重性符号：2S+1钠原子由第一激发态向基态跃迁发射两条谱线第一激发态光谱支项：32P1/2和32P3/2基态光谱项：32S1/2589.593nm

，588.996nmModernmaterialanalysismethods28某原子的一个光谱项为23PJ，即有n=2，L=1，设S=1，（故M=2S+1=3），则J=2，1，0。当J＝2时，MJ=0，1，2；J=1时，MJ=0，1；J=0时，MJ＝0。23PJ光谱项及其分裂如图1-2所示。

光谱项nMLJ

J为正整数或半整数，取值为：L+S，L+S-1，L+S-2，…，L-S，若L≥S，则J有2S+1个值，若L＜S，则J有2L+1个值。

对应于L＝0，1，2，3，4…，常用大写字母S、P、D、F、G等表示。

L≥S时，M=2S+1；L<S时，M=2L+1。

MJ取值为：0，1，2，…，J（当J为整数时）或1/2，3/2，…，J（当J为半整数时）。

Modernmaterialanalysismethods293.原子基态、激发、电离及能级跃迁

通常，原子核外电子遵从能量最低原理、包利（Pauli）不相容原理和洪特（Hund）规则，分布于各个能级上，此时原子处于能量最低状态，称之为基态。原子中的一个或几个电子由基态所处能级跃迁到高能级上，这时的原子状态称激发态，是高能态；而原子由基态转变为激发态的过程称为激发。激发需要能量，此能量称为激发能，常以电子伏特（eV）表示，称为激发电位。激发能的大小应等于电子被激发后所处（高）能级与激发前所处能级（能量）之差。复习并掌握这些基本概念的含义。Modernmaterialanalysismethods30原子激发态是不稳定态，大约只能存在10-8s~10-10s，电子将随即返回基态。原子中电子受激向高能级跃迁或由高能级向低能级跃迁均称为电子跃迁或能级跃迁。电子由高能级向低能级的跃迁可分为两种方式：辐射跃迁和无辐射跃迁

跃迁过程中多余的能量即跃迁前后能量差以电磁辐射的方式放出，称之为辐射跃迁；若多余的能量转化为热能等形式，则称之为无辐射跃迁。Modernmaterialanalysismethods31原子中的电子获得足够的能量就会脱离原子核的束缚，产生电离。使原子电离所需的能量称之为电离能，常以电子伏特表示，称为电离电位。原子失去一个电子，称为一次电离。再次电离使原子再失去一个电子，称为二次电离。三次电离等依次类推。

Modernmaterialanalysismethods32二、分子运动与能态

1.分子总能量与能级结构

2.分子轨道与电子能级

3.分子的振动与振动能级与分子光谱有关的结构知识Modernmaterialanalysismethods331.分子总能量与能级结构

一般可近似认为，分子总能量（E）：

E=Ee+Ev+Er

（1-10）

Ee——电子运动能（主要指核外电子）

Ev——分子振动能

Er——分子转动能一个分子的能量，作为一级近似，可以看作由几个具有加和性的量子化成分组成：分子的平移运动能、分子转动运动能、组成分子的原子或离子的振动能、分子中电子的运动能和核运动能。即：E=E0＋E平＋E转＋E振＋E电＋E核

E0为基态能

分子是由原子组成的。分子的运动及相应能态远比原子复杂。Modernmaterialanalysismethods34（双原子）分子能级（结构）示意图A、B-电子能级V、V-振动能级J、J-转动能级对应于紫外可见区域紫外可见吸收光谱红外区域红外光谱拉曼光谱Modernmaterialanalysismethods352.分子轨道与电子能级

分子轨道理论分子轨道可近似用原子轨道的线性组合表示。分子轨道可分为：成键轨道：自旋反向的未成对电子配对形成，比参与组合的原子轨道能量低反键轨道：自旋同向的未成对电子配对形成，比参与组合的原子轨道能量高根据分子轨道沿键轴的分布特点（由形成分子轨道的原子轨道重叠方式所决定），将其分为轨道（轨道上相应的电子及成键作用称电子与键）和轨道（相应的电子与键）等。

Modernmaterialanalysismethods36电子的分子轨道运动能量与参与组合的原子轨道能量及它们的重叠程度有关。

分子中的电子在其电子能级中的分布也遵从能量最低原理与泡利不相容原理。

O2分子电子能级示意图带“*”者为反键轨道(如2s*)无“*”者为成健轨道(如2s)氧原子基态核外电子排布(1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)4Modernmaterialanalysismethods373.分子的振动与振动能级

（1）双原子分子的振动

（2）多原子分子的振动

Modernmaterialanalysismethods38（1）双原子分子的振动

分子振动：分子中原子（或原子团）以平衡位置为中心的相对（往复）运动。双原子分子的振动模型：弹簧谐振子模型

虎克定律：

（1-11）

——谐振子振动频率

K——弹簧力常数（化学键力常数）

——小球折合质量（原子折合质量

）

（1-12）

Modernmaterialanalysismethods39分子振动与弹簧谐振子的不同之处在于：振动能量是量子化的。按量子理论的推导，有

（1-13）

Ev——分子振动能；

V——振动量子数，V可取值0，1，2，…；

h——普朗克常数。

红外光谱图上有时除有基频吸收带之外，还可能出现倍频、组合频等吸收带。Modernmaterialanalysismethods4040

（2）多原子分子的振动

多原子分子振动比双原子分子复杂。

多原子分子振动可分为两大类：伸缩振动：原子沿键轴方向的周期性（往复）运动；振动时键长变化而键角不变。（双原子振动即为伸缩振动）变形振动又称变角振动或弯曲振动：基团键角发生周期性变化而键长不变的振动。分子振动类型Modernmaterialanalysismethods41分子振动类型示例——亚甲基的各种振动“+”表示垂直纸面向里运动；“-”表示垂直纸面向外运动分子振动类型示例——水分子的振动及红外吸收Modernmaterialanalysismethods42三、原子的磁矩和原子核自旋

1.原子的磁矩

2.原子核自旋与核磁矩

与核磁共振和电子自旋共振谱有关的结构知识Modernmaterialanalysismethods431.原子的磁矩

（1）原子的轨道磁矩

（2）电子的自旋磁矩

（3）单电子原子内量子数与磁矩

（4）多电子原子的磁矩

Modernmaterialanalysismethods44（1）原子的轨道磁矩原子中电子绕核旋转的轨道运动产生轨道磁矩。原子（中电子）轨道磁矩(l)与轨道角动量(Pl)的关系为

l=-Pl

（1-14）

式中：——轨道运动磁旋比，有些书上叫旋磁比

e为电子电荷，me为电子质量有时将式（1-14）改写为

（1-15）

式中：ћ——常数；ћ=h/2，h为普朗克常数；e——玻尔（Bohr）磁子，磁矩的自然单位，

（或J/T）

朗德

ge——电子轨道运动g因子，ge=1。Modernmaterialanalysismethods45角量子数l表征Pl的大小，按量子理论，有

（1-16）

故由（1-15）式有

（1-17）

l在外磁场方向分量的大小（lz）由磁量子数m决定，有

（1-18）

Modernmaterialanalysismethods46（2）电子的自旋磁矩电子自旋运动也产生磁矩。电子自旋磁矩（s）与自旋角动量（Ps）的关系为

（1-19）

或

（1-20）

式中：s——自旋运动磁旋比；

gs——电子自旋运动g因子（电子自旋因子），gs=2.00232。

s的大小由自旋量子数s决定（1-21）

s在外磁场方向的分量由自旋磁量子数ms决定，有

（1-22）

Modernmaterialanalysismethods47（3）单电子原子内量子数与磁矩

单电子原子中也存在着电子自旋-轨道相互作用（当用n、l、m、s、ms共同表征单电子原子运动状态时忽略了此作用）。按量子理论，通过对Ps与Pl偶合并引入量子数j表征此作用，有

Pj=Ps+Pl

（1-23）

（1-24）

式中：Pj——总角动量；

j——内量子数，表征Pj

的大小，j取值为l+s和l-s，自旋量子数s=1/2。

Modernmaterialanalysismethods48单电子原子中有l、s和I（原子核磁矩）。由于I

与l和s相比，数值小3个数量级，故可近似认为单电子原子总磁矩j由l与s合成。j与总角动量Pj的关系为

（1-25）式中：g——单电子原子磁矩因子。

Modernmaterialanalysismethods49（4）多电子原子的磁矩

多电子原子的磁矩J由原子内各电子的轨道磁矩和各电子的自旋磁矩合成（矢量和）而来，有

（1-26）式中：PJ——总(轨道-自旋)角动量，PJ=PS+PL；

g——多电子原子磁矩因子。

J的大小由内量子数J决定，有

（1-27）

J在外磁场方向的分量由总磁量子数MJ决定，有

（1-28）

Modernmaterialanalysismethods50若存在外磁场B(T,特斯拉)，则J与B发生相互作用，按经典电磁理论，相互作用能

（1-29）

将式（1-28）代入上式，得

（1-30）

E（MJ）是原子受外磁场作用而附加的能量，且其值因MJ取值不同而不同。由此可知，J值一定的能级（光谱支项），在有外磁场作用时将发生能级分裂，分裂能级个数为MJ可能取值的个数，此即为前面提及的赛曼分裂。

Modernmaterialanalysismethods512.原子核自旋与核磁矩

（1）原子核自旋

（2）核磁矩

Modernmaterialanalysismethods52（1）原子核自旋

原子核由质子和中子组成，质子和中子在核中既有轨道运动又有自旋运动并有很强的自旋-轨道相互作用。整个原子核的总角动量（PI）称为核自旋。PI的大小由核自旋量子数I表征，有

（1-31）

I可取值0，1/2，1，3/2，…。显然，I=0时PI=0，即原子核无自旋现象；只有I＞0才有核自旋。实验证明，I与原子核质量数（A）及原子序数（Z）有关。

Modernmaterialanalysismethods53（1-32）

核自旋量子数与原子的质量数及原子序数的关系PI在外磁场的分量大小（PIz）由核自旋磁量子数mI决定，mI的可能取值为I，I-1，…，-I。有

Modernmaterialanalysismethods54（2）核磁矩核自旋产生核磁矩（I）。与电子磁矩类似，I与PI的关系为

（1-33）

式中：I——核磁旋比。

常采用g因子表达的形式，有

（1-34）

式中：gI——核自旋运动g因子，其值由实验测定；

I——核磁子，核磁矩的自然单位，

I=5.051×10-27Am2（或J／T）（比e小3个数量级）。

Modernmaterialanalysismethods55I的大小与核自旋量子数I有关，有

（1-35）

I在外磁场方向的分量大小由mI决定，有

（1-36）

当mI=I时，mIz值最大，常以此值表示核磁矩的大小，一般文献中所列核磁矩（）均为此值（并以I为单位），即

（1-37）

Modernmaterialanalysismethods56四、固体的能带结构

1.能带的形成

2.能带结构的基本类型及相关概念

与电子能谱有关的结构知识Modernmaterialanalysismethods57固体能带结构的基本类型（示意图）（a）绝缘体

（b）本征半导体

（c）导体

（d）导体Modernmaterialanalysismethods581.能带的形成孤立单原子中的电子处于不同的能级。Mg1s2s2p3s3pMg空带价带电子共有化

当原子间有相互作用时,电子共有化.根据泡利不相容原理，须使原先每个原子中具有相同能级的电子能级分裂,才能再填充电子.Modernmaterialanalysismethods59

若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称为能带能级能带能带的一般规律：原子间距越小，能带越宽，E越大。越是外层电子，能带越宽，E越大。两个能带有可能重叠。离子间距r1r21S2S2PModernmaterialanalysismethods60电子在能带中的分布电子是费密子，它的排布原则有以下两条：

(1)服从泡里不相容原理

(2)服从能量最小原理原子能级l最多能容纳

2(2l+1)个电子．1s2s2p3s3pMg(Z=12)原子晶体Mg(N个原子)6N2N2N2N6N固体能带最多能容纳

2Ｎ(2l+1)

个电子．Modernmaterialanalysismethods612.能带结构的基本类型及相关概念

禁带

能隙

价带

导带满带空带绝对零度时固体中电子占据的最高能级称为费米能级，其能量称费米能（EF）。

复习并掌握这些基本概念Modernmaterialanalysismethods62满带：各能级都被电子填满的能带。

满带E价带：与价电子能级相应的能带。价带能量最高可能被填满，也可不满。价带空带：没有电子占据的能带。空带禁带：不被允许填充电子的能区。禁带禁带满带中电子不参与导电过程。电子交换能态并不改变能量状态，所以满带不导电。Modernmaterialanalysismethods63导带：不满带或满带以上最低的空带导带价带不满带满带空带价带导带Modernmaterialanalysismethods64三、导体和绝缘体固体按导电性能的高低可以分为导体、半导体、绝缘体1.导体的能带结构价带导带某些一价金属，如:Li…空带满带价带空带某些二价金属，如:Be,Ca,Ba…空带如:Na,K,Cu,Al,Ag…价带导带Modernmaterialanalysismethods65

从能级图上来看:导体中共有化电子很易从低能级跃迁到高能级上去．在外电场的作用下，大量共有化电子很易获得能量，集体定向流动形成电流．2.绝缘体的能带结构

从能级图上来看：满带与空带之间有一个较宽的禁带，共有化电子很难从低能级(满带)跃迁到高能级(空带)上去．价带空带ΔEg=3～6eV

当外电场足够强时，绝缘体被击穿。Modernmaterialanalysismethods66四、半导体1.本征半导体是指纯净的半导体。导电性能在导体与绝缘体之间。(1)本征半导体的能带结构对半导体，价带通常是满带。价带空带ΔEg=0.1～2eV

半导体的禁带宽度△Eg

很窄,

所以加热、光照、加电场都能把电子从满带激到发空带中去。Modernmaterialanalysismethods67(2)两种导电机构

满带上的一个电子跃迁到空带后，满带中出现一个带正电的空位，称为“空穴”。

空带满带Eg

电子和空穴总是成对出现的。电子和空穴叫本征载流子，它们形成半导体的本征导电性。

在外电场作用下，电子可以跃迁到空穴上来，这相当于空穴反向跃迁。空穴跃迁也形成电流，这称为空穴导电。Modernmaterialanalysismethods682.杂质半导体(1)n型半导体

四价的本征半导体(Si、Ge等)，掺入少量五价的杂质元素（如P、As等）形成电子型半导体,称n型半导体．SiSiSiSiSiSiSiP+e-Modernmaterialanalysismethods69

量子力学表明，这种掺杂后多余的电子的能级在禁带中紧靠空带处,

ED～10-2eV，极易形成电子导电,该能级称为施主(donor)

能级．满带空带ΔEgED施主能级在n型半导体中:

电子…多数载流子空穴…少数载流子Modernmaterialanalysismethods70(2)ｐ型半导体

四价的本征半导体(Si、Ｇe等)，掺入少量三价的杂质元素（如Ｂ、Ga、Ｉn等）形成空穴型半导体，称p型半导体．SiSiSiSiSiSiSiB-e+Modernmaterialanalysismethods71

量子力学表明，这种掺杂后多余的空穴的能级在禁带中紧靠满带处，ED～10-2eV，极易产生空穴导电，该能级称受主(acceptor)能级．EA受主能级满带空带ΔEg在p型半导体中空穴…多数载流子电子…少数载流子Modernmaterialanalysismethods723.Ｐ-Ｎ结(1)Ｐ-Ｎ结的形成n型p型

电子和空穴扩散在p型和n型半导体的交界面附近产生了一个电场,称为内建场。

内建场大到一定程度，不再有净电荷的流动及电子和空穴进一步扩散，达到了新的平衡。P-N结

在ｐ型n型交界面附近形成的这种特殊结构称为P-N结。Modernmaterialanalysismethods73例:试从绝缘体与半导体的能带结构，分析它们的导电性能的区别．

答:

绝缘体的价带已被填满而它上面的禁带宽度又较宽，采用一般热激发，光照或外加不太强的电场时，满带中的电子很少被激发到导带中去，因此绝缘体的导电性能很差.

半导体的价带也是满带但它上面的禁带宽度较窄，用不大的激发能量(热、光或电场)就可以把价带中的电子激发到导带中去，并在价带中留下空穴，在外电场作用下，电子和空穴都能参与导电，因此半导体的导电性能较好．Modernmaterialanalysismethods74

例:试根据固体能带理论，说明金属导体为何具有良好的导电性能．答:

根据固体能带理论，导体中:

或是价带未被电子填满，或是满带与空带重叠，或是未满的价带又与空带重叠．因此，在外电场作用下，未满能带中能量较高的电子不需要越过禁带就很容易受到加速增加动能跃迁到能量较大的空能级，从而参与导电，形成导体中的电子电流．所以，导体具有良好的电子导电性．Modernmaterialanalysismethods75第三节材料结构基础（二）1.晶体结构

2.倒异点阵

3.晶带

Modernmaterialanalysismethods76晶体：物质点（原子、离子、分子）在空间周期排列构成固体物质。一、晶体结构空间点阵：为了描述组成它的原子的排列规则，将每一个原子抽象视为一个几何点（称为阵点），并得到一个按一定规则排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶体点阵，简称点阵。1、空间点阵的概念Modernmaterialanalysismethods77

周期性和对称性是晶体中原子规则排列的基本特征。在点阵中选择一个由阵点连接而成的几何图形（一般为平行四面体）作为点阵的基本单元来表达晶体结构的周期性，称为阵胞（或晶胞）2、阵胞与点阵类型为构成点阵，必须满足两个条件：（1）点数无限多；（2）各点所处的环境完全相同。Modernmaterialanalysismethods78换言之：晶体结构=空间点阵+结构基元空间点阵仅是晶体结构的几何抽象，只表示结构基元在空间的分布，无物质内容。点阵中每一点阵点对应着点阵结构中的一个结构基元，在晶体中则是一些组成晶体的实物微粒，即原子分子或离子等，或是这些微粒的集团；空间点阵中的基本单位是一个个小的平行六面体，在点阵结构中就是把每个点阵点恢复了它代表的结构基元后的实体单位，在晶体中即为晶胞。Modernmaterialanalysismethods79一个结点在空间三个方向上，以a,b,c重复出现即可建立空间点阵。重复周期的矢量a,b,c称为点阵的基本矢量。由基本矢量构成的平行六面体称为点阵的单位晶胞。Modernmaterialanalysismethods80

若以阵胞任一阵点为坐标原点，沿交于此点的三个棱边延伸为坐标轴（称为晶轴）x，y，z且分别以a，b，c为相应坐标轴单位矢量，则点阵中任意阵点位置都可以表达为（阵点矢量坐标表达式）

式中rxyz-----原点与任一阵点（坐标x，y，z）的连接矢量。Modernmaterialanalysismethods81点阵划分为晶格可以有不同的方法。Modernmaterialanalysismethods821.所选择的平行六面体的特性应符合整个空间点阵的特征，并应具有尽可能多的相等棱和相等角。2.平行六面体中各棱之间应有尽可能多的直角关系。3.在满足1,2时,平行六面体的体积应最小。根据上述原则，证明仅存在14种不同的晶格（或点阵），称做布拉维点阵，按对称性可分为7个晶系。布拉维（Bravais）规则Modernmaterialanalysismethods83七个晶系的晶格参数a=b=c,a=b=g=90a=bc,a=b=g=90abc,a=b=g=90a=b=c,a=b=g

90a=bc,a=b=90,g=120abc,b=g=90

aabc,a

b

g

90立方六方四方三方斜方单斜三斜Modernmaterialanalysismethods84Modernmaterialanalysismethods85Modernmaterialanalysismethods864、晶向指数和晶面指数晶向：连接晶体中任意原子列的直线。晶面：穿过晶体的原子面（平面）。国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。Modernmaterialanalysismethods87求法：1）

确定坐标系，以任一阵点为坐标原点，以晶轴为坐标轴，并以点阵基矢a，b，c分别为相应坐标轴单位矢量；2）

过坐标原点，作直线与待求晶向平行；3）

在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z）；4）将此值化成最小整数u，v，w，并加以方括号[uvw]，型如[uvw]。坐标为负时，则在相应指数上加“-”，例如。（1）晶向指数（Orientationindex）Modernmaterialanalysismethods88例1、已知某过原点晶向上一点的坐标为1、1.5、2，求该直线的晶向指数。将三坐标值化为最小整数加方括弧得[234]。例2、已知晶向指数为[110],

画出该晶向。找出1、1、0坐标点,连接原点与该点的直线即所求晶向。[110][234]Modernmaterialanalysismethods89原子排列情况相同但空间方位不同，其晶向指数相同，称为晶向组；即同一[uvw]表示的不仅是一个晶向，而是同一晶向组内的所有晶向。将晶体中方位不同但原子排列状况相同的所有晶向组合称为一个晶向族，用<uvw>表示。Modernmaterialanalysismethods90求法：1）

在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点O，三棱边为三坐标轴x，y，z2）

以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距；3）

取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（hkl）即是。（2）晶面指数（Orientationindex）Modernmaterialanalysismethods91A：第一步：确定交点的坐标：

x轴：1,y轴：1/2,z轴：1/3第二步：取倒数：1，2，3第三步：消除分数。因无分数，直接进入下一步。第四步：加圆括号，不加逗号，得到：(123)B：第一步：确定交点的坐标：

x轴：1,y轴：2/3,z轴：2/3第二步：取倒数：1，3/2，3/2第三步：消除分数：12=23/22=33/22=3

第四步：加圆括号，不加逗号，得到：(233)A1,0,00,0,10,1,0B例0,,00,,10,0,0,0,Modernmaterialanalysismethods92--③晶向具有方向性，如[110]与[110]方向相反。XZY(221)[221][110][110]说明：①在立方晶系中，指数相同的晶面与晶向相互垂直。②遇到负指数，“-”号放在该指数的上方。Modernmaterialanalysismethods93晶面族{hkl}：晶体内晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面。Modernmaterialanalysismethods94(312)常见晶面的Miller指数(211)Modernmaterialanalysismethods95(100)(001)(001)(111)(110)常见晶面的Miller指数Modernmaterialanalysismethods96(100)a/2a/4(200)(400)原点110220440原点Modernmaterialanalysismethods971.h,k,l三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。2.其中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如(hk0)晶面平行于c轴；(h00)平行于b,c轴。3.(hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。

4.晶面指数不允许有公约数，即hkl三个数互质。5.若某晶面与晶轴相截在负方向，则相应指数上加一横。对晶面指数的说明Modernmaterialanalysismethods98acb（3）六方晶系晶向指数与晶面指数Modernmaterialanalysismethods99三坐标系四轴坐标系a1，a2，ca1，a2，a3，c120°

120°

120°

Modernmaterialanalysismethods100六方晶系中任一晶向可表示为已知Modernmaterialanalysismethods101或例如Modernmaterialanalysismethods1025.干涉指数

若仅考虑晶面的空间方位，则A1，B1，A2，B2，…与A1，A2，A3，…一样，均以晶面指数（010）标识，但若进一步考虑二者晶面间距之不同，则可分别用（010）和（020）标识，此即为干涉指数。

（010）与（020）面（干涉指数引例）Modernmaterialanalysismethods103干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识。（晶面指数只标识晶面的空间方位。）

干涉指数与晶面指数的关系：若将（hkl）晶面间距记为dhkl，则晶面间距为dhkl／n（n为正整数）的晶面干涉指数为（nh

nk

nl），记为（HKL），dhkl／n则记为dHKL。例如晶面间距分别为d110／2，d110/3的晶面，其干涉指数分别为（220）和（330）。干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布。

Modernmaterialanalysismethods104

在晶体对入射波发生衍射的时候，衍射图谱、衍射波的波矢量、产生衍射的晶面三者之间存在严格的对应关系。例如在电子衍射花样中，每一个衍射斑点是由一支衍射波造成的，而该衍射波是一组特定取向的晶面对入射波衍射的结果，反映该组晶面的取向和面间距。二、倒易点阵

Modernmaterialanalysismethods105为了研究衍射波的特性，1921年德国物理学家厄瓦尔德(P．P．Ewald)引入了倒易点阵的概念。倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而言的，它是衍射波的方向与强度在空间的分布。由于衍射波是由正空间中的晶体点阵与入射波作用形成的，正空间中的一组平行晶面就可以用倒空间中的一个矢量或阵点来表示。用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚，数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。Modernmaterialanalysismethods1061.倒易点阵的定义

倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间（几何）点（的）阵（列），此对应关系可称为倒易变换。

定义：对于一个由点阵基矢ai（i=1，2，3，应用中常记为a、b、c）定义的点阵（可称正点阵），若有另一个由点阵基矢a*j（j=1，2，3，可记为a*，b*，c*）定义的点阵，满足

（1-41）则称由a*j定义的点阵为ai定义的点阵的倒易点阵。

Modernmaterialanalysismethods107多数情况下取K=1，有时取K=（入射波长）或K=2。

将其分项写出，有

（1-42）

Modernmaterialanalysismethods1082.倒易点阵基矢表达式

由式（1-42）可导出由ai（i=1，2，3）表达a*j（j=1，2，3）的关系式，即

a*1=(a2×a3)/[a1·(a2×a3)]=(a2×a3)/Va*2=(a3×a1)/[a2·(a3×a1)]=(a3×a1)/V

a*3=(a1×a2)/[a3·(a1×a2)]=(a1×a2)/V(1-43)

式中：V——阵胞（a1、a2、a3构成之平行六面体）体积，按矢量混合积几何意义，V=a1(a2×a3)。

Modernmaterialanalysismethods109

倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为

a*1=(a2a3sin)/V

a*2=(a3a1sin)/V

a*3=(a1a2sin)/V

cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin

cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin

cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin

（1-44）

Modernmaterialanalysismethods110

按正点阵与倒易点阵互为倒易，类比式（1-43），可直接得出由倒易点阵基矢表达正点阵基矢的关系为

a1=(a*2×a*3)/V*

a2=(a*3×a*1)/V*

a3=(a*1×a*2)/V*（1-45）

式中：V*倒易阵胞体积。

Modernmaterialanalysismethods111以立方晶系为例：立方晶系有a=b=c，==，V=a3；将其代入式（1-44），则有

*=90

同理可得b*、c*、*、*，即a*=b*=c*=1/a

*=*=*=90

（