充分条件与必要条件同步练习（含答案）

充分条件与必要条件充分条件与必要条件1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(×)(2)“x>0”是“x>1”的充分条件．(×)(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)题型1充分条件的判断2．在平面内，下列选项中是“四边形是矩形”的充分条件的是(A)A．四边形是平行四边形且对角线相等B．四边形两组对边相等C．四边形的对角线互相平分D．四边形的对角线垂直3．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(A)A．充分条件B．必要条件C．无法判断D．既不是充分条件也不是必要条件题型2必要条件的判断4．x，y∈R，下列各式中是“xy≠0”的必要条件的是(B)A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0解析：因为xy≠0⇒x≠0且y≠0⇒x2>0且y2>0⇒x2＋y2>0，所以“x2＋y2>0”是“xy≠0”的必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要条件是(B)A．x<0 B．x≥0或x≤－1C．x>0 D．x≤－1解析：因为|x|＝x⇒x≥0⇒x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1.6．判断下列各题中，q是否是p的必要条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1).解：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此peq\o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件．(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此peq\o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件．(3)当x＝1时，x－1＝eq\r(x－1)＝0，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．题型3充分条件、必要条件的综合运用7．已知P＝{x|－2<x<10}，Q＝{x|m－1<x<m＋1}，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是(B)A．－1<m≤9 B．－1≤m≤9C．m≤－1 D．m≥9解析：因为P是Q的必要条件，所以Q⊆P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,m＋1≤10，))解得－1≤m≤9.8．可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是(A)A．m<eq\f(1,2) B．m<eq\f(1,4)C．m<－eq\f(1,2) D．m<－eq\f(1,4)解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则判别式Δ＝1－4m≥0，解得m≤eq\f(1,4).所以一元二次方程x2＋x＋m＝0有实根的一个必要条件由选项可知m<eq\f(1,2)满足题意．9．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a>b，q：a>b＋1；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．解：(1)因为a>b推不出a>b＋1，而a>b＋1⇒a>b，所以p是q的必要条件．(2)因为四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等．所以p是q的必要条件．(3)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)⇒x＝1或x＝2，所以p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4).因为m<－1⇒m<－eq\f(1,4)，而m<－eq\f(1,4)推不出m<－1，所以p是q的充分条件．易错点1忽视方法的选择致错10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(A)A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件，又不是甲的必要条件D．无法判断解析：由题知乙⇒甲，丙⇒乙，乙eq\o(⇒,/)丙，所以丙⇒甲，甲eq\o(⇒,/)丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．[误区警示]不能正确地利用已知关系判定命题的充分性与必要性．易错点2错用不等关系判定充分性与必要性致错11．(多选题)下列式子：①x<1；②0<x<1；③－1<x<1；④－1<x<0.其中，可以是x2<1的一个充分条件的序号为(BCD)A．① B．②C．③ D．④解析：因为x2<1，所以－1<x<1，所以②③④可以是x2<1的充分条件．[误区警示]利用不等式的性质判断，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分性与必要性的问题．(限时30分钟)一、选择题1．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(B)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(A)A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断解析：因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件．3．对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为(B)A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件解析：因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac>bc，,c>0))⇒a>b，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac>bc，,c<0))⇒a<b，所以ac>bceq\o(⇒,/)a>b，而由a>beq\o(⇒,/)ac>bc，所以“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件也不是它的必要条件，故A，C错误．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝bc，,c≠0))⇒a＝b，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝bc，,c＝0))eq\o(⇒,/)a＝b，所以由ac＝bceq\o(⇒,/)a＝b，由a＝b⇒ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．故选B.4．使x>3成立的一个充分条件是(A)A．x>4 B．x>0C．x>2 D．x<2解析：因为x>4⇒x>3，所以x>4是x>3成立的一个充分条件．5．(多选题)给出下列四个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<eq\f(1,x)<eq\f(1,y).其中能成为x>y的充分条件的是(AD)A．① B．②C．③ D．④解析：①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；②当t>0时，x>y，当t<0时，x<y，故xt>yteq\o(⇒,/)x>y；③由x2>y2，得|x|>|y|eq\o(⇒,/)x>y，故x2>y2eq\o(⇒,/)x>y；④0<eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇒x>y.故选AD.6．a<0，b<0的一个必要条件为(C)A．eq\f(a,b)>1 B．eq\f(a,b)<－1C．a＋b<0 D．a－b>0解析：a<0，b<0⇒a＋b<0，故选C.7．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(A)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数”⇒“a＋b是偶数”，“a＋b是偶数”eq\o(⇒,/)“a和b都是奇数”．所以“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的充分条件．8．已知p：eq\f(x,y)>0，q：xy>0，则p是q的(C)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：若eq\f(x,y)>0，则x与y同号，所以xy>0，所以p⇒q.若xy>0，则x与y同号，所以eq\f(x,y)>0，所以q⇒p；所以p是q的充分条件也是必要条件．9．(多选题)有以下说法，其中正确的为(ACD)A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x>3”是“x2>4”的充分条件解析：A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A”eq\o(⇒,/)“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x>3”⇒“x2>4”，所以“x>3”是“x2>4”的充分条件．10．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(B)A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件解析：x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．二、填空题11．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__充分__条件．(填“充分”或“必要”)解析：当A∩B＝{4}时，m2＝4，所以m＝±2.所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分条件．12．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中__①③④__是a＋b>0的充分条件．(填序号)解析：问题是“谁”是“a＋b>0”的充分条件，对应即为“谁”⇒a＋b>0.①a>0，b>0⇒a＋b>0；②a<0，b<0eq\o(⇒,/)a＋b>0；③a＝3，b＝－2⇒a＋b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|⇒a＋b>0.故答案为①③④.13．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为__{a|a≤1}__．解析：由1－x<0得x>1，令A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，则A⊆B，所以a≤1.三、解答题14．判断下列各题中，p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；解：(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，qeq\o(⇒,/)p，所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件．(2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p.所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件．(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即peq\o(⇒,/)q，且q⇒p，所以p不是q的充分条件，且p是q的必要条件．15．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3