二项分布练习题2022年高二数学人教A版选择性必修随机变量及其分布

二项分布1.某人进行投篮训练100次,每次命中的概率为(相互独立),则命中次数的标准差等于() 2.已知某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为,则p=() 甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为()A. B. C. D.4.(多选题)若X～B(20,,则()(X)=3 (X≥1)=(X)= (X=10)=×5.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________.

6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)=________.

7.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.8.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列.9.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张,每人投三类票中的任何一类的概率都是,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.扩展练习1.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为()A.B.C.D.2.在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电,团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为()A. B. C. D.3.已知某人每次投篮投中的概率均为,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第5次结束投篮的概率是________.

4.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是________.

5.在4次独立重复的试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________.

6.如图是高尔顿板的改造装置示意图,小球从入口处自由下落,已知在下落过程中,小球遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.(1)求小球落入A袋的概率P(A);(2)在入口处依次放入4个小球,设落入A袋中的小球个数为ξ,求ξ的分布列.参考答案1.某人进行投篮训练100次,每次命中的概率为(相互独立),则命中次数的标准差等于() 分析：选D.命中次数服从ξ～B(100,;所以命中次数的标准差等于=4.2.已知某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为,则p=() 分析：选C.某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为,则1-=,解得p=.3.甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为()A. B. C. D.分析：选C.甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,甲队战胜乙队包含两种情况:①甲连胜2局,概率为p1==,②前两局甲队一胜一负,第三局甲队胜,概率为p2=×××=,则甲队战胜乙队的概率为p=p1+p2=+=.4.(多选题)若X～B(20,,则()(X)=3 (X≥1)=(X)= (X=10)=×分析：选CD.由X～B(20,,所以E(X)=20×=6,所以A错误;计算P(X≥1)=1-P(X=0)=,所以B错误;又D(X)=20××=,所以C正确;计算P(X=10)=××=×,所以D正确.5.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________.

分析：袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率均为,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率为:P==.答案:6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)=________.

分析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故ξ～B.即有P(ξ=k)=×,k=0,1,2,3,4,5,所以P(ξ=4)=×=.答案:7.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.分析：(1)甲上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故X～(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)=3×=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y,则Y～B,由题意,M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0},由事件的独立性和互斥性,得P(M)=P{X=3,Y=1}+P{X=2,Y=0}=P{X=3}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=0}=×+×=.8.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列.分析：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=···=,P(X=1)=···+···=,P(X=2)=···+···=,P(X=3)=···=.所以X的分布列为X0123P9.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张,每人投三类票中的任何一类的概率都是,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.分析：(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=+=.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A003事件B102事件C111事件D012P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(D)==.因为A,B,C,D互斥,所以P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.扩展练习1.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为()A.B.C.D.分析：选B.因为随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),又P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以η～B,则P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1--××=.2.在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电,团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为()A. B. C. D.分析：选D.为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,在此次比赛中,四局结束比赛包含两种情况:①前3局A两胜一负,第四局A胜;②前3局A一胜两负,第四局A负.则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为P=+=.3.已知某人每次投篮投中的概率均为,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第5次结束投篮的概率是________.

分析：依题意,恰好在第5次结束投篮,则前4次有2次投中,且第5次投中,所以概率为:P=×××=.答案:4.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是________.

分析：依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于··=.答案:5.在4次独立重复的试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________.

分析：由题知p(1-p)3≤p2(1-p)2,即4(1-p)≤6p,所以p≥,又0<p<1,所以≤p<1.答案:≤p<16.如图是高尔顿板的改造装置示意图,小球从入口处自由下落,已知在下落过程中,小球遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.(1)求小球