第3章机械可靠性设计原理与可靠度计算产品可靠性设计(4h)-2015

机械可靠性设计原理与可靠度计算2/1/20231概率设计的基本原理常规设计方法与可靠性设计方法的比较应力-强度干涉模型可靠度的计算解决的三个问题根据零件的可靠度设计零件(计算零件主要尺寸2/1/202321.概率设计的基本原理传统机械设计和强度校核是基于确定性分析，即：设计中所采用的几何尺寸、载荷、材料性能等数据，都是它们的平均值，没有考虑数据的分散性。实际上，这些参数都带有一定的随机性。随机因素主要分为三类：（1）几何尺寸几何尺寸的随机波动源于制造过程，不同制造工艺所能达到的尺寸精度也不同。2/1/202332/1/20234（2）材料性能材料经冶炼、轧制、锻造、机加工、热处理等工艺过程，其机械性能指标必然有分散性，呈现出随机变量的特性。（3）载荷：力、力矩、温度，较宽的范围内波动。2/1/20235常规设计方法：引入安全系数考虑这些随机因素的影响；是一种经验估计，没有对随机性加以量化；并且安全系数的选取往往与设计者的经验和指导思想有很大关系。安全系数法不能回答所设计的产品在多大程度上是安全的，也不能预测产品在使用中发生失效的概率2.常规设计方法与可靠性设计方法的比较2/1/20236可靠性设计方法：将载荷、材料性能与强度、零部件结构尺寸等视为服从某种概率分布的随机变量；利用概率与数理统计理论及强度理论，计算出在给定设计条件下产品的失效概率和可靠度；或给定可靠度要求直接确定零件的结构尺寸。从对可靠性评价来看，常规设计只有安全系数一个指标，可靠性设计有可靠度和安全系数两个指标。2/1/202373.应力-强度干涉模型从可靠性角度考虑，影响产品失效的因素可概括为两类：应力和强度。应力：引起产品失效的各种因素的统称。除机械应力外，还包括载荷（力、力矩、转矩等）、位移、应变、温度等。强度：产品抵抗失效发生的各种因素的统称。除通常的机械强度外，还包括承受各种形式应力的能力。2/1/20238在可靠性理论中，产品是正常还是失效决定于强度和应力的关系。当强度大于应力时，其能够正常工作；当强度小于应力时，其发生失效。因此，要求在规定的条件下和规定的时间内能够承载，必须满足以下条件2/1/20239实际工程中的应力和强度都是呈分布状态的随机变量，把应力和强度的分布在同一坐标系中表示.当强度的均值大于应力的均值时，在图中阴影部分表示的应力和强度“干涉区”内就可能发生强度小于应力——即失效的情况2/1/202310根据应力和强度干涉情况，计算干涉区内强度小于应力的概率（失效概率）的模型，称为应力——强度干涉模型。在应力——强度干涉模型理论中，根据可靠度的定义，强度大于应力的概率可表示为失效概率为：且有：2/1/202311可靠度随工作时间降低对于机械产品而言，即使应力和强度在工作初期没有干涉，但在长期载荷作用下，强度会逐渐衰减，可能发生干涉。因此，随工作时间的延长，机械产品的可靠度一般逐渐降低直至产品失效。2/1/2023125.可靠度的一般表达式根据以上干涉模型计算在干涉区内强度大于应力的概率—可靠度。当应力为S0时，强度大于应力的概率为

应力处于区间内的概率为应力概率密度函数强度概率密度函数2/1/202313假设与为两个独立的随机事件，因此两独立事件同时发生的概率为因为上式为应力区间内的任意值，现考虑整个应力区间内的情况，有强度大于应力的概率（可靠度）为当已知应力和强度的概率密度函数时，根据以上表达式即可求得可靠度。

2/1/202314强度与应力之差的概率密度函数积分法设应力X和强度Y是相互独立的两个随机变量，令y=δ-S,则：Y的联合概率密度函数为：强度δ大于应力S的概率（可靠度）R为：2/1/202315下面要解决的三个问题知道了零件的应力和强度的分布后，如何求零件的可靠度？一般的安全系数与可靠度意义下的安全系数的区别？一般机械零件设计中，应力和强度的分布怎么知道？2/1/202316特殊情况（公式法）：

1）应力和强度均为正态分布时的可靠性计算当应力S和强度δ均为正态分布时，则它们的差也是正态分布，且有问题一：知道了应力和强度的分布，求零件的可靠度2/1/202317不可靠度：2/1/202318化成标准正态分布，令则当y＝0时令可靠度:联结方程2/1/202319当强度和应力的均值相等时，可靠度等于0.5当强度均值大于应力的均值时，方差越大，可靠度越小。讨论2/1/202320例题1：2/1/2023212/1/202322例题2:2/1/2023232/1/202324设随机变量s和δ服从对数正态分布，即它们对数lns和lnδ服从正态分布，它们的均值和标准差分别为：

分别是lns和lnδ的均值和标准差，即状态分布下的均值和标准差分别是变量S和δ的均值和标准差，则它们之间具有下列关系：2）当应力和强度均为对数正态分布时2/1/202325和正态分布一样，化成标准正态分布。令：令则则有2/1/202326已知某机械零件的应力和强度都服从对数正态分布，应力的均值和标准差分别为：60MPa和10MPa；强度的均值和标准差分别为：100MPa和10MPa。试计算该零件的可靠度。例题32/1/2023272/1/202328（3）应力与强度均为指数分布时的可靠度2/1/202329几种应力分布下的可靠度计算公式2/1/2023302/1/202331（1)传统的安全系数传统的设计以安全系数确定构件的尺寸，仅仅以强度均值与应力均值之比作为安全系数，忽视了强度的波动(σδ的变化)以及应力的波动(σs的变化)，这种设计不能确切地反映结构的可靠性。

问题二：可靠性安全系数2/1/202332（2）可靠度安全系数概率设计条件下的安全系数n为：（在一定可靠度下）最小的强度δmin与最大的应力Smax之比，即

δmin与Smax的取值和均方差相关。对于正态分布，一般可取：2/1/202333假定当应力和强度均为正态分布,方差相等,且n=1时,有2/1/202334则在强度和应力的可靠度分别为Rδ和Rs时的安全系数nR，称为可靠度意义下的安全系数，用下式表示：可靠度意义下的安全系数2/1/202335在结构件的设计中，已知强度与应力均服从正态分布，二批材料强度的均值都为μδ=500MPa。由于材料内在质量有所差别，强度的标准差不同，分别为10MPa和120Mpa，二批材料应力的均值为μS=300MPa,应力标准差均为σs=30MPa。请分别计算平均安全系数和可靠度。解：平均安全系数为：可靠度为：例题4：2/1/202336例5：某汽车零件，其强度和应力均服从正态分布，强度的均值和标准差分别为:=350N/mm2、σδ=30N/mm2，应力的均值和标准差分别为:=310N/mm2、σS=10N/mm2，试计算该零件的安全系数、可靠度和“3σ”可靠度意义下的安全系数?解：(1)依照传统设计的方法，其安全系数应当为(2)如果该零件按照概率设计方法，则计算可靠度得到2/1/202337（3）“R3σ”可靠性含义下的安全系数：2/1/202338问题三：零件设计中的强度和应力分布（1）零件设计中的强度和应力分布材料的静强度分布试验证明，一般材料的强度极限、屈服极限、延伸率和硬度等均符合正态分布。可查表得到。应力分布取决于力和尺寸的分布一般认为，力为正态分布，均值和方差由试验确定；而尺寸也为正态分布，均值与公称尺寸相同，标准差为公差Δ的1/3,即：（以上假设与事实基本相符，略偏安全）2/1/202339（2）一般函数的统计特征值例如：实心圆杆拉伸应力齿轮齿根的弯曲应力

式中：F为力，r为圆杆半径，h为齿轮高度，b为齿轮宽度，t为齿轮厚度公式中的力F、尺寸r、h、b、t都是随机变量，如果知道了这些变量的分布或统计特征值，如何求得应力s的特征值？一般将强度和应力都近似为正态分布或对数正态分布，这样关键是求它们的均值和标准差2/1/202340一维随机变量的函数略去三阶以上的小量得2/1/202341略去三阶以上的小量，求均值：2/1/202342如果方差较小，再进一步略去二次项，则均值又可进一步近似为：同样，对于均方差，取泰勒级数的前两项作为近似，则有＝02/1/202343例6：设，已知x的均值和均方差分别为求函数z的均值和均方差。解：（1）求均值可进一步近似为（2）求均方差2/1/202344多维随机变量的函数则在x＝μ处展开泰勒级数得：式中R为余项2/1/202345若很小，则有对上式两边取方差，取线性近似解

对上式两边取数学期望，取线性近似解2/1/202346多维随机变量的函数的特征值可以证明，当随机变量x1,x2,…,xn相互独立时，取一级近似值有均值方差2/1/202347例题7：一圆柱拉杆，已知外力载荷的均值为，标准差；截面均值和标准差解：应力均值：2/1/202348应力方差：应力标准差：2/1/202349应力方差：应力标准差：2/1/202350例题8：则均值设2/1/202351基本函数形式的统计特征值函数期望标准差2/1/202352例9:某齿轮的载荷和有关尺寸为正态分布，数据如下：

载荷F~(24000,1600)N，齿高h~(33,1)mm，齿宽b~(16,0.65)mm，齿根厚度t~(19,0.9)mm，求齿根弯曲应力的均值和方差。第1步求均值：设应力s为随机变量x＝（F，h，b，t）的函数2/1/202353某齿轮的载荷和有关尺寸为正态分布，数据如下：

载荷F~(24000,1600)N，齿高h~(33,1)mm，齿宽b~(16,0.65)mm，齿根厚度t~(19,0.9)mm，求齿根弯曲应力的均值和方差。第2步求S对各个变量的偏导数均值点的值：2/1/202354第3步应力的标准差为：据前面的解2/1/202355强度分布的确定1、确定强度判据2、确定名义强度分布3、修正名义强度4、确定强度公式中每一参数和强度修正系数的分布5、确定强度分布2/1/202356用矩阵法综合强度分布例题10：2/1/2023572/1/2023582/1/2023592/1/202360根据可靠度设计主要尺寸已知零件需要的可靠度，设计零件的主要尺寸。例题11：设有圆形拉杆，已知受载荷均值和标准差为材料的拉伸强度的均值和标准差为：求在可靠度R＝0.99条件下的最小半径的2/1/202361取公差尺寸为其名义尺寸的0.015倍，即,同时取标准差为3σ水平，即拉杆断面积均值和方差为：（1）（3）（2）解：设应力、强度和可靠度均为正态分布。杆件的拉伸应力公式为：s=Q/A,而A=πr2,为求A的标准差，先要确定r的标准差零件的可靠度设计例5-4续解2/1/202362设杆件的拉伸应力的均值为：（6）（5）（4）所以有2/1/202363当可靠度R＝0.99时，查标准正态分布表可得ZR＝2.33，