两角和与差的余弦【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：011课题:§两角和与差的余弦目标要求1、理解并掌握两角和与差的余弦公式．2、利用两角和与差的余弦公式化简求值．3、理解并掌握给值（式）求值．4、理解并掌握给值求角问题.学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：给值（式）求值；难点：给值求角问题．教学过程基础知识点两角和与差的余弦公式简记符号公式使用条件【思考】(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是()A.cos(70°+40°)=cos70°-cos40°.B.对于任意实数,都不成立.C.对任意,都成立.D.cos30°cos60°+sin30°sin60°=1.题2.cos75°cos15°-sin75°sin15°的值等于________.题3.cos615°的值为()A.B.C.D.关键能力·合作学习类型一利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)【题组训练】题22°cos38°-sin22°sin38°的值为 ()题345°的值等于 ()题(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.【解题策略】两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.【补偿训练】题7.求下列各式的值:(1);(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°);(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).类型二给值(式)求值(数学运算)角度1“逆用”求值【典例】题8.已知,则的值为 ()A. B. 角度2“拼凑角”求值【典例】题9.(1)已知，求的值.(2)为锐角,,求的值.【变式探究】题10.已知,且,求的值.题11.已知,求的值.【解题策略】解决三角函数的求值问题的关键点(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.【题组训练】题12.已知为锐角,β为第三象限角,且,则值为()A.B.C.D.题13.已知，则的值为________.【补偿训练】题14.若,则的值为()A.B.C.D.类型三给值求角问题(数学运算)【典例】题15.已知,且满足,求.【解题策略】已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.【跟踪训练】题16.已知,则________.题17.已知,且和均为钝角,则________.课堂检测·素养达标题20°= ()30°cos10°-sin30°sin10°30°cos10°+sin30°sin10°30°cos10°-sin10°cos30°30°cos10°-sin30°cos10°题19.计算的值是 ()A. B.C.D.题20.已知锐角满足,则等于 ()题75°=________.题22.设都是锐角,且,求的值.编号：011课题:§两角和与差的余弦目标要求1、理解并掌握两角和与差的余弦公式．2、利用两角和与差的余弦公式化简求值．3、理解并掌握给值（式）求值．4、理解并掌握给值求角问题.学科素养目标三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．重点难点重点：给值（式）求值；难点：给值求角问题．教学过程基础知识点两角和与差的余弦公式简记符号公式使用条件【思考】(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?提示:在两角差的余弦公式中,只要用-β替换β,便可以得到两角和的余弦公式.(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?提示:可简单记为“余余正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是()A.cos(70°+40°)=cos70°-cos40°.B.对于任意实数,都不成立.C.对任意,都成立.D.cos30°cos60°+sin30°sin60°=1.【答案】选ABD提示:A×.cos(70°+40°)=cos110°≠cos70°-cos40°.B×.当-45°,β=45°时,cos(-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos-cosβ=cos(-45°)-cos45°=0,此时cos(-β)=cos-cosβ.C√.结论为两角和的余弦公式.D×.cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=.题2.cos75°cos15°-sin75°sin15°的值等于________.【解析】逆用两角和的余弦公式可得:cos75°cos15°-sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0.答案:0题3.cos615°的值为()A.B.C.D.【解析】选D.cos615°=cos(720°-105°)=cos(-105°)=cos105°=cos(45°+60°)=.关键能力·合作学习类型一利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)【题组训练】题22°cos38°-sin22°sin38°的值为 ()【解析】A.原式=cos(22°+38°)=cos60°=.题345°的值等于 ()【解析】选345°=cos(360°-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.题(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.【解析】cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=cos[(-40°)+(-20°)]=cos(-60°)=cos60°=.答案:【解题策略】两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.【补偿训练】题7.求下列各式的值:(1);(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°);(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).【解析】(1).(2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=.(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos60°=.类型二给值(式)求值(数学运算)角度1“逆用”求值【典例】题8.已知,则的值为 ()A. B. 【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.【解析】选B.角度2“拼凑角”求值【典例】题9.(1)已知，求的值.(2)为锐角,,求的值.【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何“拼凑”成结论中的角.【解析】(1)因为,所以,所以.(2)因为为锐角,所以.因为,所以,因为为锐角,所以,因为,所以,所以,所以.【变式探究】题10.已知,且,求的值.【解析】因为,且,所以,所以，所以.题11.已知,求的值.【解析】因为,所以.又因为,所以,所以.所以【解题策略】解决三角函数的求值问题的关键点(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.【题组训练】题12.已知为锐角,β为第三象限角,且,则值为()A.B.C.D.【解析】选A.因为为锐角,且,所以，因为β为第三象限角,且,所以,所以.题13.已知，则的值为________.【解析】因为,所以答案:【补偿训练】题14.若,则的值为()A.B.C.D.【解析】选A.由,得,①,②①+②得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1.所以sinαsinβ+cosαcosβ=.所以cos(α-β)=.类型三给值求角问题(数学运算)【典例】题15.已知,且满足,求.【解题策略】已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.【跟踪训练】题16.已知,则________.【解析】因为,所以.因为,所以,所以因为,所以.答案:题17.已知,且和均为钝角,则________.【解析】因为均为钝角,所以.所以.由和均为钝角,得,所以.答案:课堂检测·素养达标题20°= ()30°cos10°-sin30°sin10°30°cos10°+sin30°sin10°30°cos10°-sin10°cos30°30°cos10°-sin30°cos10°【解析】选20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+sin