物理-第10章机械振动

§10-1谐振动§10-2阻尼振动§10-3受迫振动共振§10-4电磁振荡§10-5一维谐振动的合成§10-6二维谐振动的合成§10-7振动的分解频谱§10-8非线性振动与混沌第十章机械振动和电磁振荡振动有各种不同的形式：

引言任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。力学量（如位移）机械振动电磁振动电磁量（如I、V、E、B）广义：振动狭义：物体在一定位置附近作来回往返的运动（机械运动）

振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动共振(简谐振动）

振动的分类：§10-1谐振动简谐振动（simpleharmonicmotion,SHM）：一、谐振动的特征及其表达式受力特点：线性回复力

动力学特征

物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。其解为令简谐振动的特征方程简谐振动表达式vm=A

称为速度幅值

；am=2A

称为加速度幅值

。简谐振动的速度和加速度：简谐振动的运动学特征方程

二、描述谐振动的特征量

2.

周期(period)

T:完成一次完全振动所经历的时间。1.振幅(amplitude):A

（即最大位移，x=±A

）角频率（或称圆频率）：频率(frequency)

:单位时间内完成完全振动的次数。=1/TAxtOT(参考圆的半径)相位差：=(2

t+20

)-(1t+10)对两同频率的谐振动=20-

10初相差

当

=2k，(k=0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相。初相位（initialphase）

：0

（t+0

）——描述振动状态3.相位（phase）：

当

=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相。

若0<

20-

10<，则x2超前

。若-<

20-

10<0

，则x2落后。x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1速度相位比位移相位超前/2。加速度与位移反相位。振动方程：初始条件：由上式得：★

注意：4、A和的确定（初始条件）

在

-

~

之间有两个值,要由初始条件判断取舍。(初位移)(初速度)弹簧振子系统：2.

A和

φ

由初始条件确定。5、决定简谐振动各特征量的因素

1.

T和ν由振动系统本身的性质(弹性

k和惯性

m)决定。

T—

固有周期

；

ν

—

固有频率。

三、谐振动的旋转矢量图示法

投影点P

的运动为简谐振动。xP

旋转矢量的端点在x轴上的投影点P的位移：O逆时针转动周期：

旋转矢量的模即为简谐振动的振幅。

旋转矢量的角速度

即为振动的角频率。

旋转矢量与

x轴的夹角(

t+0

)，为简谐振动的相位。

t=0时，与x轴的夹角0

即为简谐振动的初相位。

旋转矢量旋转一周，P点完成一次完全振动xPOOxva1、以平衡位置为参考点作水平轴

上方矢量为旋转矢量下方矢量为旋转矢量★

已知初始条件时,①

作旋转矢量图②

写运动方程①

作旋转矢量图3、过点作轴的垂线，4、从到、分别作矢量与圆交点为、5、2、以参考点为圆心、振幅为半径作圆周（参考圆）画旋转矢量图：取坐标、画圆周、通过作垂线到交点画矢量，若在下

方;

反之在上方.结论：夹角②

写运动方程例

一简谐振动的振动曲线如图所示。①写出振动方程②作出旋转矢量图①

解振动方程②作出旋转矢量图由图知：A

=2m，解：振动方程：t

=0时

得：例6:已知某质点谐振动曲线如图，试写出振动方程。t/s

x/m

-2O1四、几种常见的谐振动1.单摆重物所受合外力矩：由转动定律令(q很小时)振动表达式为角振幅

和初相由初始条件求得。单摆周期T与角振幅的关系为

T0为很小时单摆的周期。当q不是很小时：2.复摆q很小时一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。例10-2

一质量为m

的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。船静止时浮力与重力平衡，

船在任一位置时，以水面为坐标原点，竖直向下的坐标轴为y

轴，船的位移用y

表示。解：船的位移为y

时船所受合力为船在竖直方向做简谐振动，其角频率和周期为例一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，把其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物体，求振动系统的频率。解：弹簧串联公式

弹簧并联公式

每一份两根并联频率合外力物体在平衡位置处弹簧伸长量五、谐振动的能量

势能

机械能简谐振动系统机械能守恒!以水平弹簧振子为例动能六、用能量法解谐振动问题以水平弹簧振子为例系统机械能守恒：例10-3

劲度系数为k，原长为L，质量为

的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为m(>)的物体，在光滑水平面内做直线运动。求解其运动。解：弹簧、物体的动能分别为当物体处于位移x

速度为v时，弹簧元dl的质量为位移为速度为系统弹性势能为系统机械能守恒，有对时间求导，常量常量仍为简谐振动§10-2阻尼振动

振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所做的振动，称为无阻尼自由振动。

在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼辐射阻尼

对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为

：阻力系数阻尼振动方程：引入阻尼因子

固有频率在小阻尼条件下，微分方程的解为其中

和为积分常数，由初始条件决定。阻尼振动的准周期性余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；——减幅振动反映了阻尼对振幅的影响。阻尼振动的周期：阻尼振动的三种情形：

欠阻尼

过阻尼

临界阻尼§10-3受迫振动共振一、受迫振动

物体在周期性外力（驱动力）的持续作用下发生的振动称为受迫振动（forcedvibration）。驱动力：运动方程：设当阻尼较小,＜0时,方程的解：暂态项稳定项稳定振动状态：阻尼振动简谐振动

在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。稳态时振动物体速度：

在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。二、共振

当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振（displacementresonance）。

受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振（velocityresonance）。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。火车的危险速率与轨长

例车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动．当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率．

设车厢总负荷为m=

5.5×104kg，车厢弹簧每受力F=9.8×103N被压缩x=0.8mm，铁轨长

L=12.6m，求

危险速率．

已知：m=5.5×104kg；受力F=9.8×103N，压缩x=0.8mm；铁轨长

L=12.6m，mk解：

长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动．★

应用：(1)

电磁共振选台(收音机)；(2)

乐器利用共振提高音响效果；(3)

研究避免共振的破坏的措施等。破坏外力(强迫力)的周期性改变系统固有频率改变外力的频率增大系统阻尼力塔科马海峡大桥的共振断蹋1.数学分析法12令一、同一直线上、同频率谐振动的合成

§10-5一维谐振动的合成★

结论：

(1)同振向同频率谐振动的合成仍为谐振动。

(2)合振动的频率与两分振动的频率相同。(3)合振动振幅和初相由下式决定：

2.旋转矢量法A2A1xOAx2x1xt

=0

时刻的矢量图

3.相位差两同频率谐振动的相位差：(初相差)4.同相和反相(1)同相：两振动步调相同，振动加强，同相。同相x合振幅最大x2xox1t(2)反相：

两振动步调相反，振动减弱，反相。反相x合振幅最小当

A1=A2

时，静止。x2xox1ttxox1x25.超前和落后则称：

x2比

x1

超前；

或

x1

比

x2

落后。超前/落后以

<

的相位角来判断。

x2xx1tOx2

比

x1

超前6.多个同振向、同频率谐振动的合成Ox采用旋转矢量法：各分振动矢量首尾依次相接。若

例

两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的位相差为。若第一个简谐振动的振幅为

17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为？第一、二两个简谐振动的位相差解：例一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为(SI),(SI).画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．解：作两振动的旋转矢量图，如图：合振动方程为：求合振动。例10-3解：讨论二、同一直线、不同频率谐振动的合成拍★

相位差随时间变化；合振动不再是简谐振动。则有：合振动方程为：合振动频率：合振动振幅：★

讨论:两频率都较大,而频率差很小的情况合振幅出现时大时小的现象

—

拍现象。低频振动高频振动★

拍频

—

单位时间内合振幅极大出现的次数。

x2txt振幅变化的周期为：x1t拍现象的应用：

用音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等三、同振向倍频谐振动的合成合振动§10-6二维谐振动的合成

两相互垂直同频率简谐振动的合成,其振动轨迹为一椭圆。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。

同频率垂直简谐振动的合成消去t

，得消去参数

t

，得轨迹方程：

是一个椭圆类二次曲线方程。一、相互垂直的同频率谐振动的合成§10-6二维谐振动的合成1.2.

轨迹：运动方程：是谐振动，角频率与初相不变。轨迹：运动方程：是谐振动，角频率与初相不变。(两个分振动同相)(两个分振动反相)★

讨论：xSA1A2yxSA1A23.4.轨迹：是椭圆运动，方向时顺时针

(右旋)。轨迹：是椭圆运动，方向时逆时针

(左旋)

。

(

y

比

x

相位超前

/

2)x

yA1A2

(

y

比

x

相位落后

/

2)

A1=A2时，为圆轨道，即作圆周运动。x

yA1