立体几何专题-空间角

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交 o，分别a?//a，b?//b，相交直线 a?b?所成的锐角（或直角）叫做 。2.围： 0,23.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作 a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式求出来

abcos cos a,bab方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ab，a，b代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2)cosx1x2y1y2z1z2x12y12z12x22y22z22（3）三线角公式用于求线面角和线线角P斜线和平面的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜a线和平面的直线所成角的余弦A1c即：cos1coscos2O2Bb二、例题讲练D1C1例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-A1111中，已知a，1，BCDAB=BC=b(ab),AA=cC求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。D1C1D方法一：过B点作AC的平行线（补形平移法）AB方法二：过AC的中点作BD1平行线A1B1方法三：（向量法）DCOBA例3、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PAADDC11，M是PB的中点，AB2（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；例4、 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA 底面ABCD，AB 3，BC 1，PA 2， E为PD的中点 求直线AC与PB所成角的余弦值；训练题1.体的12条棱和12条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。2.体AC1中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为。3.已知l为异面直线a与b的公垂线，点pa，若a、b间距离为2，点P到l的距离为2，5，则异面直线A'NP到b的距离为a与b所成的角为。C1M4.如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2AA1，M、N分别是AB，AC的中点，则AM与CN所成角为。1111如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）AP与BE所成的角为

PAC（2）若F 直线PD，且AF与BE所成角为=30?行吗？

D E

BCDF2. =75?时； = 。DPA B6.空间四边形 ABCD中，对角线 AC，BD与各边长均为 1，O为 BCD的重心，M是AC的中点，E是AO的中点，求异面直线 OM与BE所成的角 。7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120?，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为。（2）MN与BC所成的角为。D1C18.已知正方体AC1中，EF（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，A1B1则AE与CF所成的角为（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成的角是。MNDCOAB9、如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(I)求证：AB平面PCB；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（）3第二节、直线和平面所成的角一、基础知识1.定义：（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③2.直线与平面所成角围是 。

l 或l// ）3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面所有直线所成角中最小的角。 （最小值定理）4.求法： 几何法 公式法 问量法1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法： cos

cos

1

cos1 cos2coscos

2AB 于点B, AOB , AOC 1, BOC 2（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设直线a与平面所成角为，直线a的方向向量与面的法向量分别是m,n,则m,n的余角或其补角的余角即为a与所成的角，sincosm,nmnmnm n二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角2）A1C与平面ABC1D1所成的角3）A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。例3、四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知∠ABC45o，AB2，BC22，SASB3．S（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线 SD与平面SAB所成角的大小．CBD AL2例4、如图,l1,l2是互相垂直的异面直线，M、N分别在l1,l2上，且MNl1，MNCl2，点AB在l1上，C在l2上，AM=MB=MN。L11）证明：ACNB2）若ABC=60?，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

NAMB训练题1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC的射影为三角形ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于2、（2008高考）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点。求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.D1C1A1B1EDCAB3、过点P作平面 的两条斜线段 PA和PB，则PA=PB是斜线PA和PB与平面 成等角的条件。4、如图所示， BOC在平面 ，OA是 的斜线， AOB= AOC=60?，OA=OB=OC=a，BC= 2a，求OA和平面 所成的角的大小。5、如图，已知正方形 ABCD，SA 现面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD的中点，求SC和平面AMN所成的角SNMADBC第6题图第7题图6、给出下列命题，其中正确命题序号是。（1）若PA、PB、PC与平面成等角，则迠P在平面上的射影O是ABC的外心（2）已知直线上l与平面所成角是，直线a是与l异面的任一直线，则l与平面所4成角围是(3)在三棱锥 P-ABC中，若二面角 P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，则点 P在平面ABC上射影O是 ABC心。（4）坡度为 的斜坡，有一条与坡脚水平线成 30?的小道，若沿小道每前进 100m，高度就上升25m,那么此坡坡度为 30?。7、如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，VDC0πV．（I）求证：平面VAB⊥VCD；2（II）试确定的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为。C6（Ⅲ）当解变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值围．BD第三节平面与平面所成的角A一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面， 且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成 ” AOB为所求二面角”，而应写成” AOB为二面角 l 的平面角”。2.求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作法图形在棱CD上找一点O，在两个面分别作定义法棱的垂线AO,BOAOB为二面角CD的平面角过棱上一点O作棱的垂直平面与两垂面法个半平面的交线分别为AOBOAOB为CD的平面角三垂线法过B一点A，作AB交于B，作BOCD于O，连结AO,AOB的CD平面角或其补角（2）向量法：①分别求出和的法向量m,n，则二面角l的大小为m,n或—m,n用此法须知：1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量〈3〉当l为锐角时m,n（m,n为锐角）或—m,n（m,n为钝角）②在平面ACEF在平面，BDEF，且BEF分别求出AC,BD，则AC,BDAEF即为二面角EF的大小（3）公式法：l①