《高考调研》高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4

一、直线与平面垂直1．判定定理(1)如果一条直线和一个平面内的

，那么这条直线垂直于这个平面．用数学符号表示为：

.(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么

．2．性质：同垂直于一个平面的

平行．两条相交直线都垂直已知m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n，则l⊥α另一条也垂直于这个平面两条直线二、三垂线定理及其逆定理1．三垂线定理：如果平面内的一条直线和

垂直，那么它就和这条斜线垂直．2．逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的

垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．三、两个平面互相垂直1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的

，那么这两个平面互相垂直．2．性质定理：如果两个平面垂直，那么

垂直于另一个平面．平面的一条斜线在这个平面内的射影一条斜线垂线在一个平面内垂直于它们交线的直线1．(2011·衡水调研)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是(

)A．若b⊂α，c∥α，则b∥c

B．若b⊂α，b∥c，则c∥αC．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

D．若c∥α，α⊥β，则c⊥β答案

C解析如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B错；如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(

)A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n答案

B解析选项A中平面α，γ可以是斜交，也可以是平行；选项C中直线m可在β内；选项D中的直线m，n可以是斜交、平行，还可以是异面；选项B正确．3．(2010·浙江，理)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案

B解析根据定理：两条平行线中的一条垂直于另一个平面，另一条也垂直于这个平面知B正确．4．(2011·合肥第一次质检)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．答案

①②5．如图图，在在空间间四边边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为为CD、DA和AC的中点点．求证：：平面面BEF⊥平面BGD.证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD.又E，F分别为为CD，DA的中点点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.∵EF⊂平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.题型一异面直线互互相垂直的的判定例1在正三棱柱柱ABC－A1B1C1中，若AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1【证明】取A1B1中点O1.连结C1O1，O1B，则C1O1⊥A1B1在正三棱柱柱中，平面面ABB1A1⊥平面A1B1C1∴C1O1⊥平面ABB1A1∵AB1⊥BC1∴AB1⊥O1B取AB中点O.连结A1O、OC则CO⊥平面ABB1A1且A1O∥O1B∴AB1⊥A1O∴AB1⊥CA1探究1证明直线与与直线垂直直常常用三三垂线定理理思考题1如图，△ABC所在平面α外一点P，已知PA⊥BC，PB⊥AC，求证：(1)P在平面α内的射影是是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.【证明】(1)作PO⊥平面α于O点，连接AO，并延长交交BC于D，连接BO并延长交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂线定理理逆定理)．同理，AC⊥BE，∴O为△ABC的垂心．(2)连接OC，∵O为△ABC的垂心，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂线定理理)．题型二线面垂直例2如图，已知知PA⊥矩形ABCD所在平面，，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.(2)∵∠∠PDA＝45°°，PA⊥AD，∴AP＝AD，∵ABCD为矩矩形形．．∴AD＝BC，∴PA＝BC，又∵M为AB的中中点点，，∴AM＝BM，而∠PAM＝∠CBM＝90°°，∴PM＝CM，又又N为PC的中中点点，，∴MN⊥PC，由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面面PCD.探究究2证线线面面垂垂直直的的方方法法有有：：(1)利用用判判定定定定理理，，它它是是最最常常用用的的思思路路．．(2)利用用线线面面垂垂直直的的性性质质：：两两平平行行线线之之一一垂垂直直于于平平面面，，则则另另一一条条线线必必垂垂直直于于该该平平面面．．(3)利用用面面面面垂垂直直的的性性质质：：①两平平面面互互相相垂垂直直，，在在一一个个面面内内垂垂直直于于交交线线的的直直线线垂垂直直于于另另一一平平面面．．②两相相交交平平面面都都垂垂直直于于第第三三个个平平面面，，则则它它们们的的交交线线垂垂直直于于第第三三个个平平面面．．思考考题题2如图图，，已已知知矩矩形形ABCD，过过A作SA⊥平面面AC，再再过过A作AE⊥SB交SB于E，过过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证证：：AF⊥SC；(2)若平平面面AEF交SD于G.求证证：：AG⊥SD.【证明明】(1)∵SA⊥平面面AC，BC⊂平面面AC，∴SA⊥BC.∵ABCD为矩矩形形，，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面面SAB.又∵AE⊂平面面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面面SBC.又∵SC⊂平面面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD，又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC，又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.题型三面面垂直例3(1)△ABC为正三角形，，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证证：①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.(2)已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.AE⊥平面PBC，E为垂足．①求证：PA⊥平面ABC；②当E为△PBC的垂心时，求求证：△ABC是直角三角形形．【思路分析】已知条件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到面面垂垂直的性质定定理，便有如如下解法．【证明】①在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC内，∴PA⊥平面ABC.②连结BE并延长交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角角三角角形．．探究3由(1)应掌握握证明明两平平面垂垂直常常转化化为线线面垂垂直，，利用用判定定定理理来证证明．．也可可作出出二面面角的的平面面角，，证明明平面面角为为直角角，利利用定定义来来证明明．由(2)已知两两个平平面垂垂直时时，过过其中中一个个平面面内的的一点点作交交线的的垂线线，则则由面面面垂垂直的的性质质定理理可得得此直直线垂垂直于于另一一个平平面，，于是是面面面垂直直转化化为线线面垂垂直，，由此此得出出结论论：两两个相相交平平面同同时垂垂直于于第三三个平平面，，则它它们的的交线线也垂垂直于于第三三个平平面．．②的关键键是灵灵活利利用①题的结结论．．思考题题3如图所所示，，在斜斜三棱棱柱A1B1C1－ABC中，底底面是是等腰腰三角角形，，AB＝AC，侧面面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点点，求求证：：AD⊥CC1；(2)过侧面面BB1C1C的对角角线BC1的平面面交侧侧棱于于M，若AM＝MA1，求证证：截截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM＝MA1是截面面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要要条件件吗？？请你你叙述述判断断理由由．【证明】(1)∵AB＝AC，D是BC的中点点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，且且交交线线为为BC，∴由面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理可可知知AD⊥侧面面BB1C1C.又∵CC1⊂侧面面BB1C1C，∴AD⊥CC1.由(1)知AD⊥面BB1C1C，∴ME⊥侧面面BB1C1C，又∵ME⊂面BMC1，∴面BMC1⊥侧面面BB1C1C.方法法二二延长长B1A1与BM交于于N(在侧侧面面AA1B1B中)，连连结结C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.又∵AB＝AC，由由棱棱柱柱定定义义知知△ABC≌A1B1C1.∴AB＝A1B1，AC＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1在△B1C1N中，，由由平平面面几几何何定定理理知知：：∠NC1B1＝90°°，即即C1N⊥B1C1.又∵侧面面BB1C1C⊥底面面A1B1C1，交交线线为为B1C1，∴NC1⊥侧面面BB1C1C.又∵NC1⊂面BNC1，∴截面面C1NB⊥侧面面BB1C1C，即截截面面MBC1⊥侧面面BB1C1C.(3)结论论是是肯肯定定的的，，充充分分性性已已由由(2)证明明．．下面面仅仅证证明明必必要要性性(即由由截截面面BMC1⊥侧面面BB1C1C推出出AM＝MA1，实实质质是是证证明明M是AA1的中中点点)，过M作ME1⊥BC1于E1.∵截面面MBC1⊥侧面面BB1C1C，交交线线为为BC1.∴ME1⊥面BB1C1C，又又由由(1)知AD⊥侧面面BB1C1C，∵垂直直于于同同一一个个平平面面的的两两条条直直线线平平行行，，∴AD∥ME1，∴M、E1、D、A四点点共共面面．．又∵AM∥侧面面BB1C1C，题型型四四平行行与与垂垂直直的的综综合合问问题题例4(2010··辽宁宁卷卷，，文文)如图图，，棱棱柱柱ABC－A1B1C1的侧侧面面BCC1B1是菱形，，B1C⊥A1B.(1)证明：平平面AB1C⊥平面A1BC1；