2020年北京市海淀区高三第一学期期末考试数学理科版

精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知全集U，AuB，那么下列结论中可能不成立的是((C)(cA)nB丰0U(A)AQB=A(B)AUB=B(D)(cB)nA=0U2)抛物线y=2x2的准线方程为)1(A)y=--81(B)y二--1(C)y一(D)y=-13)3)的图象，那么()兀将函数y=cos2x的图象按向量心(-，1)平移后得到函数f(A)fx=—sin2x-p1(B)fx=sin2x+1(C)fx=—sin2x—1(D)fx=sin2x—14)于()(A)120。(B)105。(5)位于北纬x4)于()(A)120。(B)105。(5)位于北纬x度的A、(D)75。兀B两地经度相差90。，且A、B两地间的球面距离为3R(R为地球半径),(C)90。那么x等于

()(A)30B)45C)606)已知定义域为R的函数fxD)75，对任意的x6R都有f(x+】)=f(x—2)+2恒成立，且f(》=1，则f(62)等于((A)1B)62C)64D)83在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c=.3a,B=30。，那么角C等已知a,卩G123,4,5，那么使得sina・cos0的数对a,卩共有()(A)9个(B)11个(C)12个(D)13个如果对于空间任意nn>2条直线总存在一个平面a，使得这n条直线与平面a所成的角均相等,那么这样的n()(A)最大值为3(B)最大值为4(C)最大值为5(D)不存在最大值

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分•把答案填在题中横线上.(9)讪士6竺=.n210)如果fx10)如果fx1,x<1，那么ff2]0,|x|〉1，；不等式f2x—1>2的解集是,已知点F、F分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若APFF为等腰直角三角形,TOC\o"1-5"\h\z1212则该双曲线的离心率为.2x-y>0,若实数x、y满足｛y>x,且二2x+y的最小值为3，则实数b的值y>-x+b,为.已知直线x+y+m二0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，IOA+OB>1ABI，那么实数m的取值范围是.(14)已知：对于给定的q&N*及映射f:AtB,B匚N*•若集合C^A，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集.对于q二2，A=a,b,c，映射f:x—1,x^A，那么集合A的所有好子集的个数为；对于给定的q，A=123,4,5,6,兀，映射f:A—B的对应关系如下表：x123456兀11111yzfx若当且仅当C中含有兀和至少A中2个整数或者C中至少含有A中5个整数时，C为集合A的好子集•写出所有满足条件的数组q,y,Z:・三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(15)(本小题共12分)兀兀已知函数f(x)=sin2x+2、：'3sin(x+)cos(x-已知函数f(x)=sin2x+44求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;兀25求函数f(x)在-©至兀上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值.16)(本小题共12分)已知函数g(x)是f(x)二x2(x〉0)的反函数，点M(x0,y0)、N(y0,x0)分别是f(x)、g(x)图象上的点，l、l分别是函数f(x)、g(x)的图象在M,N两点处的切线，且l〃l.1212求M、N两点的坐标；求经过原点O及M、N的圆的方程.17)(本小题共14分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，心1,AA]i3・C1求证：BC//平面ADC；C111求C到平面ADC的距离；11求二面角D-AC-A的大小.1(18)(本小题共14分)某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T(单位：年)有关.若T<1，则销售利润为0元；若求p,p,p的值；123记g表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求g的分布列；求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.<T<求p,p,p的值；123记g表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求g的分布列；求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.无故障使用时间T<1，1<T<3及T>3这三种情况发生的概率分别为p,p,p，又知p,p是方12312程25x2-15x+a=0的两个根，且p=p.23(19)(本小题共14分)已知点A0,1、B0,—1,P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为一2-求动点P的轨迹C的方程；设Q2,0，过点一1,0的直线l交C于M、N两点，AQMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S<XtanMQN恒成立，求九的最小值.20)(本小题共14分)如果正数数列｛a｝满足：对任意的正数M,都存在正整数n，使得a>M，则称数列｛a｝是一n0n0n个无界正数列．1(I)若a1(I)若a=3+2sin(n)(n=1,2,3,…)，bn=<：+]n=I，3,5,…，2,4,6,…，分别判断数列｛a｝、b是nn否为无界正数列，并说明理由；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"aaa1若a=n+2,是否存在正整数k,使得对于一切n>k,有亠+2+•・•+—<n--成立;\o"CurrentDocument"naaa223n+1若数列｛a｝是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得naaa亠+亠+・・・+—<m一2009aaa23m+1

海淀区高三年级第一学期期末练习数学海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)参考答案及评分标准2009.01一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)CABABDDA二、填空题(本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分)(9)1(10)1,[0,1](11)迈+1(12)94(13)(―2,—*2]UW'2,2)(14)4,(5,1,3)三、解答题(本大题共6小题,共80分)(15)(本小题共12分)解：(I)f(x)=sin2x+2j3sin(x+)cos(x一)一cos2x一*344=2\3sin2(x+)一cos2x一*34=<3sin2x—cos2x兀TOC\o"1-5"\h\z=2sin(2x)4分6f2兀所以T=—兀.5分\o"CurrentDocument"兀兀3兀由2k兀2x2k兀kEZ得—6—27兀75兀7rk兀x<k兀kEZ__6兀5兀所以函数f(x)的最小正周期为兀，单调递减区间为伙兀,k兀](keZ).367分兀(II)由(I)有fx=2sin(2x).6因为x因为x&兀2512,36K兀11,——兀39.4.11sin兀<sin兀39所以当x=—12时，函数f（x）取得最小值一J3；当x=—时，函数f（x）取得最大值2.………………12分（16）（本小题共12分）解：（I）因为f（x）=x2（x>0），所以g（x）=<x（x〉0）.从而f'(x)=2x,3分所以切线1,1一的斜率分别为k=八x22计k2=g'（y0）=无］12又丁x:（x0〉°），所以k-=14分因为两切线\12平行,5分从而（2x）2=1.0因为x>0，01所以x.02所以M,N两点的坐标分别为（1，1），（1，1）.7分2442（II）设过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过原点，所以F=0.因为M、N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上.所以D=E.又因为M（学1）在圆上,24所以D=E=—.所以过O、M、N三点的圆的方程为:5x2+y2—x—1212分17）（本小题共14分）（I）证明：连结AC交AC于点G,连结DG.11在正三棱柱ABC—ABC中，四边形ACCA是平行四边形,11111精选文档精选文档精选文档精选文档V精选文档V精选文档精选文档精选文档1GDC1GDC・・.AG二GC.1・.・AD=DB,2分:、DG//BC2分1・DGu平面ADC,BCw平面ADC,111:.BC〃平面ADC.114分解法一：(II)连结DC，设C到平面ADC的距离为h.111•・•四边形ACCA是平行四边形，11：・S=AACA]S：・S=AACA]SAA]CC]:VD-ACA]=VD-A1CC1•VD-ACA1:VC1-A1CD=V=—S-AA=—A]-ACD3AACD1816分在等边三角形ABC中，D为AB的中点,•:g斗CD^AB-•AD是AD在平面ABC内的射影，18分•:CD丄AD8分1■cDC-DA_739TOC\o"1-5"\h\z・・S—1—AADC28「3V<399分：h—Ci-A1DC9分\o"CurrentDocument"S13AA1DC(III)过点D作DE丄AC交AC于E，过点D作DF丄AC交AC于F，连结EF.11••平面ABC丄平面ACCA，DEu平面ABC，平1D.CC1111D.CC1面ABCPl平面ACCA—AC，11

・・・DE丄平面ACCA.11・・・EF是DF在平面ACCiAi内的射影.・・.EF丄AC.1：MDFE是二面角D-AC-A的平面角.在直角三角形ADC中，d^adcc、“ADDC739同理可求：DF—AC1AsinDFE=DE=匹DF13讥DFEP引AZDFE=arcsin空313解法二：过点A作AO丄BC交BC于O,过点O作OE丄BC交BC于E.因为平面ABC丄平面CBBC，所1111以AO丄平面CBBC.分别以CB,OE,OA所在的直线为11x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=hAAi=v'3，AABC是等边三角形，所以O为BC/\/3（1\的中点.则O（0,0,0），A0,0,牛，C--,0,0，2\2丿12分14分A1，DU，0,，C1-—，■^3,0.612分14分112丿44112丿(II)设平面£DC的法向量为n=(x,y,z)，贝ij一n-cd=0,n-AC=0.1

•••CD=（|,0冷），A—C=（-2,-嬴-冷0—x+——z=0,4-—x-羽y一逼z=0.〔22取x仝，得平面A1DC的一个法向量为n二取x仝，得平面A1DC的一个法向量为n二8分・•・C—到平面A-DC的距离为:CC-n1n13（III）解：同（II）可求平面ACA1的一个法向量为n1二C3,0,-1）.10分12分则则cos0=cos<n,n>亠=空1g213设二面角D—AC—A的大小为e—・.・0<E（0,兀）,14分0=14分13（18）（本小题共14分）解：（I）由已知得p+p+p=1.123•/p=p,p+2p=1.TOC\o"1-5"\h\z2312・・・*p2是方程25X2-15X+a=0的两个根,p1+p3分（II）g的可能取值为0,100,200,300,400.4分P€=0）=x525’P€=100）=2x1x2=—5525’P（g=200）=2x1x-+-x-=A\o"CurrentDocument"555525'精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档P《=300)=2X-X-=A5525'9分P《=400)=-x-=9分5525'随机变量g的分布列为：g随机变量g的分布列为：g0100200300P148825252525(III)销售利润总和的平均值为148Eg=0x+100x+200x+300x・8+400X.4=240.2525252525•••销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.400425……………11分14分注：只求出Eg，没有说明平均值为240注：只求出Eg，没有说明平均值为240元，扣1分.(19)(本小题共14分)y—1y+1解：(I)设动点P的坐标为x,y，则直线PA,PB的斜率分别是，上二xxy—1y+11由条件得xx2所以动点p的轨迹C的方程为刁+y2=】xh0.5分注：无xH0扣1分.(II)设点M,N的坐标分别是x,y,x,y1122当直线l垂直于当直线l垂直于x轴时,x=x=—1,y=—y12121TP所以QM=x—2,y,QN=x2,yx2,—y.112211所以QM・QN=+_22_y17、2=2-7分当直线1不垂直于X轴时，设直线1的方程为y=kx+1,—+y2=1,由｛2得l+2k2x2+4k2x+2k2—2=0.y=k(x+1)4k2所以x14k2所以x1+x2"订莎,xx129分所以QM・QN=x—21xx—2x+x12+4+y1y2•因为y=kx+1,y=kx+1，1122所以QM・QN=k2+1xx+k2—212X+X12+k2+417所以QM・QN=k2+1xx+k2—212X+X12+k2+417~21321+2k217七.综上所述QM•QN的最大值是耳.11分因为S<XtanMQN恒成立,即1丨QMI-1QNIsinMQN<九SinMQN恒成立.2cosMQN1713由于QMg厂mr>0.所以cosMQN〉0.所以QM-QN<2九恒成立.13分所以九的最小值为147.414分注：没有判断/MQN为锐角，扣1分.20)(本小题共14分)解：(I)｛a｝不是无界正数列•理由如下:n取M=5,显然a=3+2sin(n)<5，不存在正整数n满足a>5；n0n0｛b｝是无界正数列•理由如下：9分9分因为n一aaaa—aa—aa——+2+•••+=21+2■+・<…+—n+1.aaaJaaa23n+123n+11111111二—+—+■••+>-+—+—>45n+3_4562aaa1对任意的正数M,取n为大于2M的一个偶数，有b二耳1>-上1>M，所以｛b｝是0n022n无界正数列．………4分(II)存在满足题意的正整数k.理由如下：当n>3时，(\即取k=3，对于一切n>k，有一^+亠+•・・+―〜Vn-刁成立.CLCLCL223n+1注：k为大于或