与圆有关的最值问题-高三数学备考练习

问题32与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.二、经验分享与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．y-b⑵与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u=二a型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如仪一&)2十(丫一52型的最值问题，可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题.2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化三、知识拓展.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于I尸C|-L.圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径..设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为24户一|卬』『.四、题型分析(一)与圆相关的最值问题的联系点与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k=tana(aW900)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,n）,而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分一0,万｝与6，冗）两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当a£_0,5）时，斜率k£[0,十8）；当&=万时,斜率不存在；当a^G.n）时，斜率k£（—8,0）.【例1】坐标平面内有相异两点支二』，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）.A.C.D.A.C.D.【答案】C=宜/£-1=_8/日=_【解「析】-一:一”一』-匚「一一，且kAB丰°.设直线的倾斜角为a，当0V晨<1时,:41比1上V】 〜 八/,兀一：=：「<二 一】V〔EIQ41 〜则 ，所以倾斜角a的范围为0<a<-.当---时，则 ，所以倾斜角a3兀/的范围为—<aV兀【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y=tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y=tanx的单调性求k的范围.【小试牛刀】若过点「一-'' 的直线与圆12+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A.( 九'°，6V °?B.°,-L3C._°,2_D.(°,-V3【答案】B【解析】当过点,的直线与圆12+y2=4相切时，设斜率为k，则此直线方程为卜一工士仁+工#） kx—^+2-7^-2=0 11^3k—2\，即 .由圆心到直线的距离等于半径可得 也,=■，求得k=0或k=后,故直线的倾斜角的取值范围是[。,4],所以B选项是正确的.与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】过点M（1,2）的直线l与圆C： 一3一一二二交于A,B两点，C为圆心，当ZACB最小时,直线l的方程是 .x+y-3=0答案：解析：要使ZACB最小，由余弦定理可知,需弦长Abb最短.要使得弦长最短，借助结论可知当M（1,2）为弦的中点时最短.因圆心和M（1,2）所在直线的一二二二一二-,则所求的直线斜率为-1,由点斜式可得J—1>?-1=-（jr-2）=>t-Fj-3=0.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题./++2%”一九+3=0 2iw+£jv+6=0【例3】若圆C： - _ ''-"关于直线' 对称,则由点（a,b）向圆C所作的切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】圆C：" '一"'化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为、,；2—V+/+2，一“+3=0、，.一,、 一…，一一一一口圆C： 关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3.点（a,b）与圆心的距离,所以点（a,b）向圆C所作切线长：/口+1>二+[>_2『7='抄+」『+（>一方-2=+1624当且仅当b=-1时弦长最小，为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线"上一点一「到焦点的距离为，■,•」,‘分别为抛物线与圆'''1 '■:上的动点，则叫■■的最小值为（）A.」：B.--二C.二…D."-」

【答案】DC：y=2pjc(p>0] p【解析】由抛物线 ,焦点在若由上，准线方程:-.,P则点QJ型焦点的距离为.一..―，则：••二二，所以抛物线方程：广1.、.设I：/，圆•“.一•'1•二'--，圆心为川】I，半径为1，则…尸、、—"则当」"时，；'Q取得最小值，最小值为‘；；「一」故选D.1.3与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】在平面直角坐标系中，AB分别是x轴和>轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2a--I-v—4=04A一兀5TOC\o"1-5"\h\z'相切，则圆C4A一兀53兀C.(6—2飞务兀 D.5兀4 4【答案】A2M+l—4=0 ]【解析】设直线/：--"二因为:：二三•.上，所以圆4C的轨迹为以o为焦点，/为准线的1.1抛物线.圆C半径最小值为丁二1.1抛物线.圆C半径最小值为丁二=7/=忑，圆C面积的最小值为忑=7选A.【例5】动圆C经过点F(1,0),并且与直线X=-1相切,若动圆C与直线：二二一.C一一总有公共点,则圆C的面积()A.有最大值8冗 B.有最小值2兀 C.有最小值3九 D.有最小值4兀【答案】D一、 二CF=二—一 1,【解析】设圆心为(a,b)，半径为r, ，即‘,即a=4b2,・••圆心为,1— 1 - 「(4b2,b),r=4b2+1，圆心到直线 的距离为:= 忑 三二—-，•••，“二退-3或b>2,当b=2时，.二二二一二二，J，二-二一二【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知。为坐标原点，直线' - 〔若直线l与圆C交于A,B两点，则^OAB面积的最大值为()A.4B.j、/'C.2D.【答案】C【解析】由圆的方程：=’可知圆心坐标'」。.；「|,半径为2,又由直线；-入--：，可知;i。；；，即点D为OC的中点，所以二公产：….，设「，，又由‘‘一：‘'一"一，所以二」」•「』-■：•」，L 江 江又由当，：二上此时直线一道，使得J的最小角为,,，即.•・・「,•・•)■lJ aJn 比=25第8当。.时，此时… 的最大值为2,故选C。(二)与圆相关的最值问题的常用的处理方法2.1数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.【例6】已知实数x,y满足方程X2+y2—4x+1=0,求：y(1)X的最大值和最小值；(2)y—x的最大值和最小值；(3)X2+y2的最大值和最小值.【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x—2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，半径r=\门的圆.y 厂⑴设x=k,即y=kx,由题知,直线y=kx与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径;3.

|2k—0| _ __ly _ _••\：'kT1W%：3.，k2W3,即一\；3WkW«3,，X的最大值为43,最小值为一-J3.|2-0+b|⑵设y—x=b,则当直线y—x=b与圆相切时,b取最值，由—彳2—=\；3,得b=—2土寸6,，y—x的最大值为\；6—2,最小值为一2一、；6.⑶令d=\；'x2+y2表示原点与点(x,y)的距离,・•原点与圆心(2,0)的距离为2,・・.dmax=2+4,dmin=2—y3.“十丫2的最大值为(2+\,3)2=7+4^'3,最小值为(2—.；3)2=7-4-.；3.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种y-b类型：①形如口=三形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．/:工+v-6=0 +V3-2v-2v-^=0【小试牛刀】已知直线 ' 和曲线一……-一"，点A在直线l上,若直线AC与曲线M至少有一个公共点C，且 ，则点A的横坐标的取值范围是()A.（0,5） B.心］C.OH D.（。3【答案】B【解析】设‘二二一工，依题意有圆心到直线的距离'"二士・，即.：•一二-5---：---解得与eL，5]建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行

求解.… 「-『」二 X2 …【例7】设P,Q分别为 和椭圆10+y2=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是( )A.5<2B.■<46+v'2C.7+"’2 D.6<2【答案】D【解析】依题意尸,Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径J2.设二卜工一十一三1W.所d+(¥—6)2= 二卜工一十一三1W.所Q(x,y).圆心到椭圆的最大距离 ’’以P,Q两点间的最大距离是6舱.故选D.利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a•b或者a+b的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.mx—v—m+3=0【例8】设meR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线' 交于点P(x,y),TOC\o"1-5"\h\z则|PA|•|pB|的最大值是 .xIPAf+|P5|:= = 口【分析】根据 ，可用均值不等式求最值.一成0=0)4(L3) / +口：_..九=0 .. ..【解析】易得 .设P(x,y)，则消去m得： ’’ ”，所以点P在以AB为直径的圆+网七典” 回.上，PA±PB，所以 ， 二【小试牛刀】设m,neR，若直线--：—'二-与圆二一--相--=一相切，则m+n的取值范围是()A.T-石」+看「 B.(一』-网―1+"一网C.72-2g+再 D.(-,2-2^*7+271。)【答案】D成十" = n+2【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即一，化简得由基本不等式得“.」；=：「工加+由基本不等式得“.」；=：「工加+h',令t=m+n，贝u ，解得”二-20- +20M四、迁移运用.【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：J；”匚，•：、；分别为半圆:与轴的左、右交点，直线；过点:••且与」轴垂直，点，在直线•；：上，纵坐标为「若在半圆:•上存在点Q使""。：',则1的取值范围是（）8 则1的取值范围是（）8 6「二。'」。二2书 2满D.：「二n,「二丁|【答案】A【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T,则|PB|=|t|,7T由于BP与x轴垂直，且NBPQ ，则在Rt^PBT中，|BT|—[|PB|—；|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q,PT与半圆相切时，|BT|有最大值3,此时t有最大值」,当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2,|t|有最大值‘：'，则t取得最小值 .,t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为［1,0）UF,故选：A..【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断】已知点i为圆'''： ■'' ■上一点，f,则“一”的最大值为（）.，,一二\C.入汨—ID.入•“,一二【答案】C【解析】取AB中点D（2,-3）,‘「「.”.一’「二：：,・'3：的最大值为人汨-I,故选C.3.【河北省唐山市2018-2019学年高三上学期期末】已知点『在圆上T—［上，二.二小，；.々、R为:J中点，则—.；」,好的最大值为（【答案】B【解析】设点M的坐标为肘口：•，则广：＞；・：",将点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为卜如图所示，当」，好与圆；相切时，「••上，"」四取得最大值，「MK1此时,, ；本题选择B选项.

4.【广西柳州市4.【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟】已知点四是抛物线1—2二上的动点，以点一M为圆心的圆被■，轴A.：匚B. C.8A.：匚B. C.8D.二'S=『一16,八,一口、+『一16=口・d十跖=/当；匚时，得 】-故选D.5.【山东省滨州市2019届高三期末】直线'1被圆L--T—'所截得的最短弦长等于()A..匕B.「二C.「二、D.」【答案】C【解析】圆的方程为圆(x-2)2+(y-2)2=5,圆心(3(2,2),半径为.直线y-3=k(x-1),・••此直线恒过定点(1,3),当圆被直线截得的弦最短时，圆4C(2,2)与定点P(1,3)的连线垂直于弦，弦心距为:

・•・所截得的最短弦长：2；「"故选：CMI了y.【湖南省长沙市2019届高三上学期第三次调研】已知双曲线:的左、右焦点分别Ra-j-y-Ra-j-y-2y=0，点N在圆, ,上，则为，，■，实轴长为2,渐近线方程为「一；...，的最小值为【答案】C的最小值为【答案】C，圆所以点乂在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以，设圆心为”:.,过点；作与“垂直的直线咬直线/于点3则，圆所以点乂在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以，设圆心为”:.,过点；作与“垂直的直线咬直线/于点3则M的横坐标范围是（）【答案】A【解析】设P。'31),则Q⑵,'、，'•"2；1),当工;W0时，【解析】囚『］|一=2=2^：因为 ^ ,则有「•••・：］ । ■■■ ■■ ,’,选C..【江西省南昌市2019届高三第一次模拟工已知「…小J「二J：，为圆；—「一一上的动点，“「」,直「线QB：y-0-...（x-,..」），②小+xu联立①②消去y得x：——X_、3:、；一,..,由1r,i<1得x2>1,得|x|>1,当不；=0时，易求得|x|=1,故选：A.上的动点，过点[引圆8.【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知点』是直线‘'上的动点，过点[引圆r（r>0],一，…八 „ , ，江， ， ,的两条切线「为切点，当以"'A的最大值为.，时，则•的值为（）■rA.4B.3C.2D.1A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】结合题意，绘制图像，可知MCr当5门取到最大值的时候，则小心•也取到最大值，而:,：.一，当PC取到最小值的时候，IS（-0-FO-71tf±± [_ —±±2二二"[取到最大值，故pc的最小值为点c到该直线的最短距离，故 •一二，故..二一「■；；」一.，解得■】，故选D。2 29.【四川省成都市2019届高三11月阶段性】已知圆I,圆' [,'',:'■… —二，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线印.，巴：，切点分别为上」•，则所行的最小值是（）A.二'"；B.3C.、；D..：

【答案】D【解析】由题意，圆匚的圆心为（1,0）,半径为1,圆匕的圆心（：为⑺内），半径为2,所以\CM\.= +〔4斯话/=4 i 而乐口|国|阳 产一一，而।I,所以两圆相离。 ，要使可：取得最小值，需要；'：和门越小，且越大才能取到，设直线门『和圆：』交于:「两点（如下图）。则.1标=2.1标=2产；PF的最小值是M•八所以南丁:「"•卜10．【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k。1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点48间的距离为2动点P与内两定点48间的距离为2动点P与AB距离之比为t.'T，当P,A,B不共线时，APAB面积的最大值是A.2<2 B.五C.2<2丁D.【答案】A【解析】如图，以经过,z口【解析】如图，以经过,z口o），A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为丁轴，建立直角坐标系；则:11.【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考】如图，两条距离为4的直线都与丁轴平行，它们与抛物线上 和圆二一一一：一二：■'分别交于AB和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当ABCD取得最大值时，直线AB的方程为（）A.x=-2B.x=―、33 C.x=一、22 D.x=-1【答案】Bp【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得q=1或7,乂0<P<14，故P=2设直线AB的方程为"，则直线CD的方程为x=4-1则朋一|m=2阮2R=S师二％3）设*卞俨户》（。-3）则.「，「：3令二一二；」包令.【八=右—故.一:〜后，此时直线AB的方程为x=一、.,3，故选BV"+V-4jc-+-I=012.【西藏拉萨市2018届高三第一次模拟】已知点P在圆C： ' 'r"上运动，则点Px—2y—5=0到直线l： '的距离的最小值是（）A.4B.J5 C.<5+1D.55-1【答案】D【解析】圆c:‘'!''":''化为=一，圆心。（2,1）半径为1,先求圆心到2-2-5|_握 ,V--5=0直线的距离丁二T= ,则圆上一点P到直线l： 的距离的最小值是。'5-1.选D./一2\-+/=013.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟】已知圆C的方程为「-' ",直线/■丘一l+2—2上=0''"'' "与圆C交于A，B两点，则当AABC面积最大时，直线l的斜率k=（ ）1B.6C.1或7D.2或6【答案】C【解析】圆可化标准方程：二一1一二=’直线可变形为•‘"吊：一■，即圆心为（1,0），半径r=1,直线过定点（2，2），由面积公式、，二二三飞mF二三jlJ工j—在三二三八兀 J2 -二11L正所以当9=-时，即点到直线距离为时取最大值." =二，解得k=1或7,选C.14.【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】过点P（-3,0）作直线・二'：一二一「一,」二」（a，b不同时为零）的垂线，垂足为M，点N（2,3），则|MN|的取值范围是（）A,[0,5+55]5-55,5[5,5+55]D.-一点5+小]【答案】D【解析】.：：一■「=，整理为：二■"一「''..二.'得直线恒过点Q（1,-2），画出图像ZPA/O=90: 「可知’ 或者M与P,Q之一重合，PQ=2v'5，故点M在以PQ为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F，则线段MN满足的范围为盯一正三二门飞灯十件所以：MN的取值范围是正不+⑹

15.【陕西省西安市2018届高三上学期期末】直线：~二二"r被圆”二一二一二二一所截得的最短弦长等于（）A.73B.2；3C.2c2 D.西【答案】C【解析】圆T一二一二二一的圆心。（2,2），半径为2，直线：-一二二工-二，...此直线恒过定点（3,1），当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2,2）与定点P（3,1）的连线垂直于弦，弦心距为1"一」〕＞：：，・二所截得的最短弦长二J1-J3-二二E，故选C.16.【山西省2018届高三第一次模拟】若点」为圆/一上的一个动点一点」］：.,-wu为两个定点，则--B的最大值为（）?B.21；C.-1D.『一【答案】B【解析】・・・NAPB=90°,【解析】・・・NAPB=90°,•・小"八由不等式可得「；町IfaJ'*IpbI7・・d,•，故选:B17.【重庆市梁平区201817.【重庆市梁平区2018届二调】过点PJ1』）作圆C：(元-)+[v—+2)3=l(feR）的切线，切点分别为A,B,贝I」PA.PB的最小值为（ ）10A.T10A.T-r-C. D.2%2—3I【答案】C—一【解析】由题意可得圆心坐标为C（t/—2），半径r=1i^r=W=FC『一1二i^r=W=FC『一1二21—4『+9PC2f-K+9二—，利用平面向量数量积的定义有：设"d」「"，则:其中PCp=（-lT『+（lT+2『=2?-4f+10,其中为-苑=一酬+（冽+1）］然一^-=^^=2（加+1）+^——3一 ,制十1谓十】 rn+1 ，结合对勾函数的性质可得：/（m）=2（zM+l）+^—-3 ［3 ］一仁一1+00函数^在融十1在区间H十叼=上L+cj上单调递增当m3时，三：•一三二二----;=—本题选择C选项.18.【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】过直线v；丁，上的点作圆；一：「”」的切线，则切线长的最小值为（）A.•••,11B.九：.C.迎1D.【答案】A【解析】直线.，.；一■上上任取一点，："「..作圆-0c的切线，设切点为A.圆"即一屋二0二二圆心为「.二，半径为"一切线长为3"一、「丁；

所以切线长的最小值为‘•二T-'二.故