高中数学竞赛中不等式的解法

摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并

切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式n

n

...

,

b

b

... b

n

n

(倒序积和)b

n

(倒序积和)

n

n

...

b

rn

n

n

b

b

rn

n

n

r

r

b

b

...

b

n

时成立.r

r

n

时成立.

b

b

,...,b

...

n

b

b

... b

顺序积和.）

rn

rn

b

b

...

b

r

r

r

rn

r

r

r

r

r

b

b

...

b

的意义：当

n

时，S

达到最大值n

b

b

... n

n

n

(

)

.因此，首先证明

b

rn

n

n

b

rn rn

b

b

b

rn rn

rn

rnrn

b

b

(

b

b

)

(b

b

)(

rn

rnrn

rn

bn

b

rn

nn

n

b

b

...

bn

n

n

n

b

rn

b

b

...

rn

b

b

...

bn

n

r

r

再证不等式左端,

/

...

,b

b

n

n

n

...

b

r

r

r

r

rn

n

n

...

b

)

(b

b

...

b

)n

rn

r

rn

r

r

n

n

...

b

b

b

...

bn

bb

b

思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设

b

bbb

bbbb

bb bb bbbb

bb

b

b

bb

例2

b

b

b

b

b

思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设

b

b

b

b

b b b

b

b b b

/

b

b b

b

b

b b

b b

b

b b

b b 综上所述，原不等式得证.

j

j

,...,

j

...

b

j

j

,...,

j n n

i

i

,...,i

的两个排列.

br

n

n

ir

jr

n

n

b

（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令

证明：令

d

r

（r=

n

b

j d

d

...

d

nn

b

b

n

... r

r

r

n

br

d

...

n

d

d

ir

d

n

n

n

n

br

n

/

br

r

br

r

d

ir

i

j

jr

ir

n

n

n

n

b

n

d

d

r r

原式得证.

,

,...,

n

称为均值不等式.

...

n

,

,...,

...

n()

...

...

()

n

的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.

...

...

b

i

i

b

b

...b

n bb

...b

nn

...

nn

b

n

b

,

b

,...,bn

n

,

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n

.nn

b

b

... b

n

...

n

n

n

n

/

...

...

(

)

(

)

...(

) n n (

)

(

)

...(

)

... (

...

n

...

...

)

...

n时，不等式取等号.

, ,...,

n

...

...

...

（等号成立的条件是显然的）.

证明：由于

(这时

)时取得

b

b

/

证明：令

证明：令

,

b

,

,

,

任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.

（2-1）

（2-1）式成立.

（2-1）式得证.

,

,...,

...

n

n

...

n

...

...

n

n

n

n

n

i

i

ni

n

i

i

数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为 n ni iiii

i

,

,...,

n

n

ni

i

i

nnini

/

i

i

i

i

(

i

i

i

i

i

i

i

3．柯西不等式

b

b

.b

b

i

n

n

ni

i

i

i

ii

i

i

b

b

...

bnn

等式成立.

b

b

b

n

n

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C

b

i

i

i

i

i

i

i

,

,

,

n

C

b

b

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n

ni

i

i

i

i

ii

i

,

,

,

b

,

b

,

,

b

,

,

b

b

b

b

.

,

bi

b

b

b

i i

i

i i

i i

ii i

,

b

b

b

b

b

b

b

b

/

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

n n

b

b

b

b

b

b

b

,

b

b

,

,

b

b

b

b

b

b

n

n

,

,

,

;

b

,

b

,

,

b

n

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

/

命题1

与b

b

b

i i

i

i

i

i

ii

i

i

i

n

n

b

b

b

b

,

bi

i i

i

i i

i i

b

b

b

i i

i

b

b

i i

i ii i i

i i ii i i i ii i命题2

与

与b

n

b

b

,b

i i

i

ni

ii

i

N

i

ii

i

,g

b

g

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bg

,

g

,b

与g

、

、g

,, ,b

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,

g

g

i

i ii

,

bg

g

i

i

i

i

,

b

g

n n

与b

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ii

i

g

g

,

i

i

i

g

g

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

b

g

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bg

/

b

p

b

p

p

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qq

i i

i i

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i

,n),

p

q

p

q

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i

i

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i .b

q

,n;

i .i

p

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p q p q

,

P

P

q

p

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P

q

.q

q

p

q

p

p

p

qb

n

i i

p

,

bn

i

i

q

,

代入以上不等式并对于

,n

，把这

个不等式相

b

q

b

q

p q

b

q

p q

p

qq

p

b

i

i

i

b

p

i

i

i

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i

ib

b

qp

b

i

i i

b

q

bi

i ii

p

q

pi

i

p

i

i

q

,例7

,

,...,

...

ii

...

思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.

,

,...,

n

...

...

n

n

n

n

.

.

...

.

n

.

n

n

n

...

n

...

...

/

,

b,,d

，e

bd

b

d

的取值范围.思路分析：由

解：因为

b

d

e

联想到应用柯西不等式.

b

d

)

b

d

)

(bd)

,

)

)

e

ee e

e

ee

e

评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.例9

,

,

解：容易猜到

解：容易猜到

..

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

( )(

)

i ii i

（3-1）

( )(

)

/

( )(

)

( )(

)

评述：柯西不等式中的

b

b

i

i

i

i

i

i

)

b

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.

,

,...,

(

满足什么条件是，存在实数

,

,...,

n

n

使得

...

...

(i

)的范围.i解：将

...

, n

n

n

使（3-2）成立，则

使（3-2）成立，则

n

n

n

n

（3-3）

，由（3-2）可知

n n

n

n

/

n

反之若（3-4）成立，有两种情况：

n

，k=0,1,2,…,n，显然（3-2）成立.

,...,

n n n

n

易知（3-2）成立.n 4．切比雪夫不等式

,

.定理

,

,...,

n

,

,...,

n

为任意两组实数，若

...

n

...

n

...

n

...

n

n n n

i

i

i

i

n

n

n

（4-1）

...

n

...

n

...

n

...

n

n n n

i

i

i

i

n

n

n

...

n

...

n

证明：

,

,...,

,

,

,...,

n

n

...