高中数学完整讲义-排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

1．基本计数原理⑴加法原理

m

m

m

N

m

m

m

⑴乘法原理

m

m

m

N

m

m

m

⑴加法原理与乘法原理的综合运用算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．

排列与组合⑴排列：一般地，从

个不同的元素中任取m(m≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出m

个不同的元素中取出m(m≤)个不同元素中取出m

个元素的排列数，用符号Am

表示．排列数公式：Am

nn

n

nm

，m

，并且mn． 全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用n!表示．规定：

．思维的发掘 能力的飞跃 ⑴个不同元素中，任意取出m

(m≤)个元素并成一组，叫做从个元素中任取m

个元素的一个组合．组合数：从个不同元素中，任意取出

m

(m≤)个元素的所有组合的个数，叫做从

个不同元素中，任意取出m

个元素的组合数，用符号m

表示．组合数公式：组合数公式：m

nn

n

nm

m!

m!(nm)!

n!

，m,

，并且mn．组合数的两个性质：性质1：m

m；性质

2：m

m

m．（规定

） ⑴排列组合综合问题列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；层次清楚，不重不漏．．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．“捆成一个”然后再给那“一捆元素”内部排列．．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．m(m≤)——把个元素排成一排，从n

个空中选m个空，各插一个隔板，有

m．．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有m

堆（组）元素个数相等，必须除以m

！．错位法：编号为

至的个小球放入编号为

到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n，，，

时的错位数各为，，，．关于、、

个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为

个、

个、

个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 思维的发掘 能力的飞跃还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．排队问题

⑴⑴⑴⑴思维的发掘 能力的飞跃

⑴共有多少种不同的排法？⑴若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？

五个字母排成一排，若的位置关系必须按

A

居中、C

在后的原则，

思维的发掘 能力的飞跃

记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A．

种 B．

种 C．

种 D．种

名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A．A

B．A

C．A

D．A

，

，

思维的发掘 能力的飞跃

位男生和

位女生共

位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A． B． C． D．

在

，

，，

，

式共有（ ）种．A． B． C． D． 思维的发掘 能力的飞跃

从集合

与

字均不能重复）．每排中字母

和数字

至多只能出现一个的不同排法种数是_________P

从集合

{，

，

，

，}与

{0，P

数字均不能重复）．每排中字母

，

和数字

至多只能出现一个的不同排法种数是_________个人坐在一排个座位上，问⑴

空位不相邻的坐法有多少种?⑵

个空位只有

个相邻的坐法有多少种?⑶

个空位至多有个相邻的坐法有多少种?

位男生和

位女生共

位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A． B． C． D．思维的发掘 能力的飞跃 12

4

人后排

8

8

人中抽

2

人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A．A

B．A

C．A

D．A

两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷

本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是_______．

年

月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对列电煤货运列车进行编组调度，决定将这列列车编成两组，每组

列，且甲与乙两列列车不在

）A．

种 B．种 C．种 D．种数字问题给定数字、

、、

、、，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？

思维的发掘 能力的飞跃在

，，，，

中任取

个数字，在，，，，

中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．

，

，，

，

L

，，

L

用数字

，

，

，

，

，

，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______

，

，，

思维的发掘 能力的飞跃

，

，，

，

，

，

，

，

思维的发掘 能力的飞跃求无重复数字的六位数中，能被

整除的数有______个．用数字

，

，

，

，

，

，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有

从

，，

个数为（ ）A． B． C． D．

从

，，

个数为（ ）A． B． C． D．从

到的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？思维的发掘 能力的飞跃 ⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？用到这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

，

，，

在由数字

，

，，

，

组成的所有没有重复数字的位数中，大于

共有（ ）个A．个 B．个 C．个 D．个由

0，1，2，3，4

这五个数字组成的