2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称（含解析）

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称一．选择题（共13小题）1．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）2．（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC3．（2022•婺城区校级模拟）矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示．若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ＝（）A．45 B．35 C．2554．（2022•景宁县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，E是边CD上一动点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连结BF，若E，F，B三点在同一条直线上，则DE的长度等于（）A．1 B．3 C．5 D．25．（2022•常山县模拟）如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若AC＝24，BC＝18，CD＝8，CE＝6，则当PD+PE取得最小值时AP的长是（）A．18 B．895 C．735 D6．（2022•衢州一模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF、GN折叠，使点A和点C重合于点M，点D与点H重合，点B落在边AD上的点P处，且MN经过点P．已知EPPG=43，FN＝10A．245cm B．435cm C．445cm D7．（2022•上虞区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=3，点P是斜边AB上一动点，连结CP，将△BCP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，B点的对称点为B'，连结AB'，则在P点从点A出发向点B运动的整个过程中，线段AB'A．1 B．3 C．3-1 D．38．（2022•嘉兴一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝33，AD＝3，∠A＝60°．点E在AB边上，将△ADE沿着直线DE翻折得△A′DE．连结A′C，若点A′恰好落在∠BCD的平分线上，则A′，C两点间的距离为（）A．3或6 B．3或332 C．3329．（2022•温岭市一模）如图，边长为1的正方形ABCD沿着过中心O的直线EF（EF不为对角线）对折，下列结论不正确的是（）A．△DHF的周长为定值 B．∠HOF的度数为定值 C．四边形HCNO的面积为定值 D．△NOE的面积为定值10．（2022•新昌县模拟）将正方形纸片按图1方式依次对折得图2的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开展开后得到一个正方形，则点D应满足（）A．AD＝AB B．BD⊥AC C．DB＝2AD D．∠ADB＝60°11．（2022•余姚市一模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，若AB：AD＝3：5，则下列BM：MC的值能达成这一翻折的是（）A．1：4 B．2：5 C．1：9 D．4：912．（2022•苍南县二模）如图，将▱ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A'处，若∠A＝60°，BC＝3，则A'B的长为（）A．5 B．33 C．6 D．4313．（2022•婺城区一模）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD＝45°，AB＝10．将纸片折叠，使得点A的对应点A′落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA′分别于点E、F、G．继续折叠纸片，使得点C的对应点C落在A′F上．连结GC′，则GC′的最小值为（）A．52 B．522 C．54二．填空题（共9小题）14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．15．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF的度数为，折痕CD的长为．16．（2022•婺城区校级模拟）折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为240mm，宽为180mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A'B'与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边HG与A'B'的距离也为x）．则：（1）x的值是mm；（2）PD的长是mm．17．（2022•义乌市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到△CDB'（其中C，D，B′，A在同一平面内），∠ADB'＝30°，则AD＝．18．（2022•常山县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的长为．19．（2022•柯城区校级三模）图1是可折叠琴谱架上半部分的实物图，图2是图1的平面示意图（琴谱架钢条的宽度忽略不计），四边形ACDF为矩形，AC=12AF＝32cm，B、E分别为AC、DF的中点，H、G分别为AF、CD的中点．MN，PQ为滑动轨道，滑道MN比MH小4cm，折叠琴谱架时，AH上点X、FH上点Y分别在滑道MN、PQ上滑动时，各钢条可以绕连接点A、B、C、D、E、F、G、H、O转动．当点X、Y分别滑到N、Q时，此时A、B、C、D、E、F、G、H、O、M、N、P、Q、X、（1）琴谱架中ON的长为cm．（2）当琴谱架折叠成图3，图4是图3的平面示意图，当B、H、E三点共线时，求滑动的距离MX为cm（结果保留根号）．20．（2022•萧山区校级二模）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设DECE=（1）若点F与点C重合，则k＝；（2）若点F是边BC的中点，则k＝．21．（2022•上城区校级二模）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝5，E为DC上的点，连结AE，将△ADE沿AE翻折，点D的对应点为F，AF交BC于G，EF交BC于N，H为AB上的点，将△BHG沿HG翻折，使B点的对应点M正好落在AF上，若∠AGB＝30°，则AM＝，DEFN=22．（2022•镇海区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB＝3AD，AC＝3，BC＝6，CG＝0.8，则CE的值为．三．解答题（共5小题）23．（2022•鹿城区二模）在Rt△ABC中，AB=35，BC=45，过点C作CG∥AB，CF平分∠ACD交射线BA于点F，D是射线CG上的一个动点，连结AD交CF于点（1）求CF的长．（2）当△ACE是等腰三角形时，求CD的长．（3）当B关于AD的对称点B'落在CF上时，求DEAE24．（2022•仙居县二模）如图，已知矩形纸片ABCD的长BC＝8，宽AB＝4，点E，F分别是边BC，AD上的点，AF＝CE．把矩形纸片沿着直线EF翻折，点A，B的对应点分别为A'，B'．直线A′C交射线AD于点G．（1）若EB′交AD于点P，求证：PE＝PF，PB'＝PD；（2）若EB′交AD于点P，求证：四边形CEFG是平行四边形；（3）若四边形CEFG为菱形，求它的对角线长的比值CFEG25．（2022•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（3，2），B（1，1），C（4，0），△DEF各顶点的坐标为D（3，﹣4），E（5，﹣3），F（2，﹣2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是；（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小．26．（2022•温州模拟）如图，在7×7的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上．请按照以下要求画图．（1）在图1中画格点△BCP，使△BCP与△ABC关于某条直线对称．（2）在图2中画格点△BCQ，使△BCQ的面积为△ABC面积的2倍．27．（2022•乐清市一模）如图，将矩形MNPQ按照图1方式剪成4个直角三角形，再将这4个直角三角形按照图2方式无缝拼接成▱ABCD，连结DG，BE．（1）求证：四边形DEBG为平行四边形；（2）当AE＝3，AD＝5，∠FAB＝∠GDE，求BE的长．

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：12图形的对称参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，∴飞机D的坐标为（﹣40，a），故选：B．2．（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD=AB故A选项不符合题意；∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，故B选项不符合题意；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，∴EG∥FH．故C选项不符合题意；∵GH＝2，∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，设FC＝HF＝x，则BF＝8﹣x，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CF＝3，∴BFCF又∵BGDG∴BFCF若GF⊥BC，则GF∥CD，∴BFCF故D选项符合题意．故选：D．3．（2022•婺城区校级模拟）矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示．若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ＝（）A．45 B．35 C．255【解答】解：过D作DH⊥AC于H，如图：根据题意可得：∠EOA＝∠EOC＝90°，∠MOD＝∠MOB＝90°，∴∠EOD+∠DOH＝90°，∠MOE+∠EOD＝90°，∴∠DOH＝∠MOE＝θ，由矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，设AB＝m＝CD，则BC＝2m＝AD，∴AC=AD2∴OA＝OC＝OD=52∵2S△ADC＝AD•CD＝AC•DH，∴DH=AD⋅在Rt△DOH中，sin∠DOH=DH∴sinθ=4故选：A．4．（2022•景宁县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，E是边CD上一动点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连结BF，若E，F，B三点在同一条直线上，则DE的长度等于（）A．1 B．3 C．5 D．2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠C＝90°，∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴AF＝AD＝4，∠AFE＝∠D＝90°＝∠AFB，DE＝FE，在Rt△AFB中，BF=AB设DE＝FE＝x，则CE＝5﹣x，BE＝x+3，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴42+（5﹣x）2＝（x+3）2，解得x＝2，∴DE＝2，故选：D．5．（2022•常山县模拟）如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若AC＝24，BC＝18，CD＝8，CE＝6，则当PD+PE取得最小值时AP的长是（）A．18 B．895 C．735 D【解答】解：如图，连接DE，过点D作DG⊥AB于G，延长DG到F，使FG＝DG，连接EF，交AB于P，则PD+PE＝PF+PE＝EF，此时PD+PE取得最小值．∵AC＝24，BC＝18，CD＝8，CE＝6，∠C＝90°，∴DE=CD2+∴△CDE∽△CAB，∴∠CDE＝∠A，∴DE∥AB，∵cosA＝cos∠CDE，∴AGAD=CD∴AG=64∵PG∥DE，FG＝DG，∴PG是△FDE的中位线，∴PG=12DE＝∴AP＝AG+PG=645+故选：B．6．（2022•衢州一模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF、GN折叠，使点A和点C重合于点M，点D与点H重合，点B落在边AD上的点P处，且MN经过点P．已知EPPG=43，FN＝10A．245cm B．435cm C．445cm D【解答】解：如图，作PR⊥BC于R，∴∠PRB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，∴∠BEF＝∠PEF，四边形ABRP是矩形，∴PR＝AB，由折叠得，∠PFE＝∠BFE，∠FPM＝∠B＝90°，∴∠PFE＝∠PEF，∠FPN＝90°，∴PF＝PE，同理可得：PN＝PG，∴PFPN设PF＝4a，PN＝3a，∴FN＝5a，∴5a＝10，∴a＝2，∴PF＝4a＝8，PN＝3a＝6，∵S△∴PR=PF∴AB＝PR=24故选：A．7．（2022•上虞区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=3，点P是斜边AB上一动点，连结CP，将△BCP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，B点的对称点为B'，连结AB'，则在P点从点A出发向点B运动的整个过程中，线段AB'长度的A．1 B．3 C．3-1 D．3【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC=3，∠CAB＝30∴AC=3BC＝3∵AB′≥AC﹣CB′＝3-3∴AB′的最小值为3-3故选D．8．（2022•嘉兴一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝33，AD＝3，∠A＝60°．点E在AB边上，将△ADE沿着直线DE翻折得△A′DE．连结A′C，若点A′恰好落在∠BCD的平分线上，则A′，C两点间的距离为（）A．3或6 B．3或332 C．332【解答】解：由翻折可得，AD＝AD'＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝33，∠A＝60°，∴AB＝CD＝33，∠BCD＝∠A＝60°，∵A'C平分∠BCD，∴∠A'CB＝∠A'CD＝30°，当点A'在平行四边形ABCD内部时，过点A'作A'M⊥CD于点M，设A'M＝x，在Rt△A'CM中，tan∠A'CM＝tan30°=A∴MC=3x，DM＝CD﹣MC=3在Rt△A'DM中，由勾股定理可得，A'D2＝A'M2+DM2，即32解得x=32或∴A'C＝2A'M＝3；当点A'在平行四边形ABCD外部时，过点D作DN⊥A'C于点N，在Rt△CDN中，CD＝33，∠A'CD＝30°，∴sin∠A'CD＝sin30°=DNcos∠A'CD＝cos30°=CN∴DN=332，在Rt△A'DN中，A'N=A∴A'C＝A'N+CN=32综上所述，A'C＝3或6．故选：A．9．（2022•温岭市一模）如图，边长为1的正方形ABCD沿着过中心O的直线EF（EF不为对角线）对折，下列结论不正确的是（）A．△DHF的周长为定值 B．∠HOF的度数为定值 C．四边形HCNO的面积为定值 D．△NOE的面积为定值【解答】解：如图，连接AO，BO，CO，D′O，作OP⊥AD′，OQ⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴OP＝OQ，AO＝BO＝CO＝D′O，∠OBE＝∠OD′F＝∠OBN＝∠OAH＝∠OCN＝45°，AB＝CD，∵∠FOD′＝∠BOE，∴△BOE≌△D′OF（ASA），∴BE＝D′F＝DF，∵∠DHF＝∠AHG，∠AHG+∠AGH＝90°，∠AGH＝∠CGN，∠CGN+∠CNG＝90°，∠CNG＝∠BNE，∴∠DHF＝∠BNE，∵∠D＝∠NBE＝90°，∴△DFH≌△BEN（AAS），∴DH＝BN，HF＝NE，∴AB﹣BN＝CD﹣DH，∴AN＝CH，∵AO＝CO，∠OAN＝∠OCH＝45°，∴△OAN≌△OCH（SAS），∴OH＝ON，∴Rt△ONQ≌Rt△OHP（HL），∴∠NOQ＝∠HOP，∵OP⊥AD′，OQ⊥AB，∴∠APO＝∠BQO＝90°，∴∠PAO+∠AOP＝∠QBO+∠BOQ＝90°，∵∠PAO＝∠QBO＝45°，∴∠AOP＝∠BOQ，∴∠AOH+∠HOP＝∠BON+∠NOQ，∴∠AOH＝∠BON，∴△AOH≌△BON（SAS），∴AH＝BN＝DH，∴△DHF的周长＝DH+DF+HF＝AH+HF+FD′＝AD′＝1，故选项A正确；∵∠HOP+∠HOQ＝90°，∠HOP＝∠NOQ，∴∠NOQ+∠HOQ＝90°，∴∠HON＝90°，∴∠HOF+∠NOE＝90°，∵HO＝NO，EO＝FO，HF＝NE，∴△HOF≌△NOE（SSS），∴∠HOF＝∠NOE＝45°，故选项B正确；∵∠OHF＝∠ONE，∴∠AHO＝∠CNO，∵∠OAH＝∠OCN，AO＝CO，∴△AOH≌△CON（AAS），∴AH＝CN，∵∠AGH＝∠CGN，∠GAH＝∠GCN，∴△AGH≌△CGN（AAS），∴S△AGH＝S△CGN，∴S四边形HCNO＝S四边形HANO，∵S△AHO＝S△BNO，∴S四边形HCNO＝S四边形HANO＝S△ABO=12×AB×故选项C正确；∵点E，F位置不固定，∴△NOE面积不固定，故选项D错误；故选：D．10．（2022•新昌县模拟）将正方形纸片按图1方式依次对折得图2的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开展开后得到一个正方形，则点D应满足（）A．AD＝AB B．BD⊥AC C．DB＝2AD D．∠ADB＝60°【解答】解：动手操作，沿线段BD剪开展开后得到一个正方形，则△ABD是正方形的八分之一，如图：线段AD是正方形对边中点连线的一半，∴BD⊥AD，即BD⊥AC，故选：B．11．（2022•余姚市一模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，若AB：AD＝3：5，则下列BM：MC的值能达成这一翻折的是（）A．1：4 B．2：5 C．1：9 D．4：9【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，∴AP＝PE＝BP，BM＝ME，MF＝MC，QD＝QF，DN＝FN＝CN，∠BMP＝EMP，∠CMN＝∠FMN，∠CNM＝∠FNM，∠DNQ＝∠FNQ，∴∠BMP+∠CMN＝90°，∠CMN+∠CNM＝90°，∠CNM+∠DNQ＝90°，∠DNQ+∠DQN＝90°，∴∠BMP＝∠CNM，∠CNM＝∠DQN，∠MNQ＝90°，∴∠BMP＝∠DQN，∴△△BMP≌△DQN（AAS），∴BM＝ME＝DQ＝QF，∴MQ＝MF+QF＝MC+BM＝BC，设AB＝CD＝6a，BM＝ME＝QF＝DQ＝x，∵AB：AD＝3：5，∴BC＝AD＝10a，∴MF＝MC＝10a﹣x，AP＝PE＝BP＝3a，DN＝FN＝CN＝3a，MQ＝10a，∴MN2＝MC2+CN2＝（10a﹣x）2+（3a）2，QN2＝DQ2+DN2＝x2+（3a）2，∵MQ2＝MN2+QN2，∴（10a）2＝（10a﹣x）2+（3a）2+x2+（3a）2，解得：x＝a或x＝9a，当x＝a时，BM＝a，∴MC＝BC﹣BM＝9a，∴BM：MC＝1：9，当x＝9a时，BM＝9a，∴MC＝BC﹣BM＝a，∴BM：MC＝9：1，故选：C．12．（2022•苍南县二模）如图，将▱ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A'处，若∠A＝60°，BC＝3，则A'B的长为（）A．5 B．33 C．6 D．43【解答】解：∵将▱ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A'处，∴∠ADB＝∠A'DB＝90°，AB＝A'B，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝3＝AD，∵∠A＝60°，∴∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝6，∴A'B＝6，故选：C．13．（2022•婺城区一模）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD＝45°，AB＝10．将纸片折叠，使得点A的对应点A′落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA′分别于点E、F、G．继续折叠纸片，使得点C的对应点C落在A′F上．连结GC′，则GC′的最小值为（）A．52 B．522 C．54【解答】解：过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥A'F于Q，过A'作A'R⊥AD于R，如图：∵∠BAD＝45°，AB＝10，∴BH=22AB＝5∵四边形ABCD是平行四边形，BH⊥AD，A'R⊥AD，∴四边形BHRA'是矩形，∴A'R＝BH＝52，∵GP⊥AD，A'R⊥AD，∴GP∥A'R，∵将纸片折叠，使得点A的对应点A′落在BC边上，折痕EF，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP是△A'AR的中位线，∴GP=12A'R∵GP⊥AD，GQ⊥A'F，∴GP＝GQ=5∵折叠纸片，使得点C的对应点C落在A′F上，∴当C'与Q重合时，GC'最小，最小值即是GQ的长，∴GC'最小为52故选：B．二．填空题（共9小题）14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为33；当点M的位置变化时，DF长的最大值为6﹣33．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等边三角形，当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×32=如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR．∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB•sin60°＝33，∵OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT=3∵OK⊥AD，∴OR≥OK=3∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥33，∴AF的最小值为33，∴DF的最大值为6﹣33．解法二：如图，过点D作DT⊥CB于点T．∵DF＝AD﹣AF，∴当AF最小时，DF的值最大，∵AF＝FM≥DT＝33，∴AF的最小值为33，∴DF的最大值为6﹣33．故答案为：33，6﹣33．15．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF的度数为60°，折痕CD的长为46．【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，∵将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，则EF的度数为60°；∵∠AOB＝120°，∴∠O′OF＝60°，∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，∴OO′=O'F∴O′H＝23，∴CH=O'C∴CD＝2CH＝46．故答案为：60°，46．16．（2022•婺城区校级模拟）折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为240mm，宽为180mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A'B'与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边HG与A'B'的距离也为x）．则：（1）x的值是20mm；（2）PD的长是220﹣1302mm．【解答】解：（1）延长ME′交CD于T，在TM上截取TW＝TP，设DP＝m．由题意HW＝HM＝100，3x＝240﹣180，x＝20，（2）∵TW＝TP＝60mm，MT＝160mm，∴∠PWT＝45°，∵∠PWT＝∠PMT+∠MPW，∠PMW＝22.5°，∴∠WMP＝∠WPM＝22.5°，∴MW＝PW=2（100﹣m∴2（100﹣m）+90﹣m＝160，解得m＝（220﹣1302）mm．∴PD＝（220﹣1302）mm．故答案为220﹣3602．17．（2022•义乌市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到△CDB'（其中C，D，B′，A在同一平面内），∠ADB'＝30°，则AD＝3-1【解答】解：∵∠ADB'＝30°，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠BDB′＝180°﹣30°＝150°，∠B＝30°，∵将△CDB沿CD翻折，得到△CDB′，∴∠CDB＝∠CDB'=12（360°﹣150°）＝∴∠BCD＝180°−105°−30°＝45°，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2，BC=3设AD＝x，则BD＝2﹣x，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠B＝30°，∴DE=12BD=1-12x在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠DCE＝45°，∴CE＝DE=1-∴CE+EB＝BC，∴1-解得x=故答案为：3-18．（2022•常山县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的长为2512【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=AC由翻折的性质得，∠ADB＝∠EDB，ED＝AD，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠ADB=12（360°﹣90°）＝∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣135°＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BC＝5，∴ED＝AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7，∵∠BCF＝∠EDF，∠BFC＝∠EFD，∴△BCF∽△EDF，∴CFDF即CF5-解得CF=25故答案为：251219．（2022•柯城区校级三模）图1是可折叠琴谱架上半部分的实物图，图2是图1的平面示意图（琴谱架钢条的宽度忽略不计），四边形ACDF为矩形，AC=12AF＝32cm，B、E分别为AC、DF的中点，H、G分别为AF、CD的中点．MN，PQ为滑动轨道，滑道MN比MH小4cm，折叠琴谱架时，AH上点X、FH上点Y分别在滑道MN、PQ上滑动时，各钢条可以绕连接点A、B、C、D、E、F、G、H、O转动．当点X、Y分别滑到N、Q时，此时A、B、C、D、E、F、G、H、O、M、N、P、Q、X、（1）琴谱架中ON的长为28cm．（2）当琴谱架折叠成图3，图4是图3的平面示意图，当B、H、E三点共线时，求滑动的距离MX为（437-20）cm【解答】解：（1）设MN＝xcm，则MH＝（x+4）cm，∵AC=12AF＝32∴OH=12AC＝16∴OM=O∵ON＝OH+HM＝OM+MN，∴16+（x+4）=16整理得：（x+4）2＝144，解得x＝8或x＝﹣16（舍去），∴ON＝16+x+4＝28（cm），故答案为：28；（2）如图4，设OQ与BE交于点T，在Rt△OHE中，OH＝16cm，OE＝32cm，∴HE=OE2-O∴TE＝HE﹣HT＝（163-HT）cm由题意可知：HY＝MH＝8+4＝12（cm），∵HF∥OE，∴△HYT∽△EOT，∴HYOE∴1232∴HT=483在Rt△OHT中，根据勾股定理得：OT=OH2∵△HYT∽△EOT，∴YTOT∴YT32∴YT=1237∴OY＝OT+YT=323711+12∵OP＝OM=122+1∴PY＝OY﹣OP＝（437-20）cm∴MX＝PY＝（437-20）cm∴滑动的距离MX为（437-20）cm故答案为：（437-2020．（2022•萧山区校级二模）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设DECE=（1）若点F与点C重合，则k＝1；（2）若点F是边BC的中点，则k＝2．【解答】解：（1）当F与C重合时，DE＝CE，∴k=DE故答案为：1；（2）延长AE，与BC的延长线交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAH＝∠FHA，由折叠性质知，AD＝AF，∠DAH＝∠FAH，∴∠FAH＝∠FHA，∴FH＝FA＝AD，∵F是BC的中点，∴CF=12∴CF=12∴CH＝CF=12FH=∵AD∥CH，∴△ADE∽△HCE，∴DE故答案为：2．21．（2022•上城区校级二模）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝5，E为DC上的点，连结AE，将△ADE沿AE翻折，点D的对应点为F，AF交BC于G，EF交BC于N，H为AB上的点，将△BHG沿HG翻折，使B点的对应点M正好落在AF上，若∠AGB＝30°，则AM＝4﹣23，DEFN=103-【解答】解：（1）设AM＝x，∵∠AGB＝30°，∠B＝90°，∴∠HAM＝60°，∵∠HMC＝∠B＝90°，∴∠AMH＝90°，∠AHM＝30°，∴AH＝2AM＝2x，HM=3x＝HB∵AH+HB＝AB，∴2x+3x＝2解得：x＝4﹣23，即AM＝4﹣23；（2）方法一：在Rt△ABG中，BG＝ABtan∠GAB＝2×3=23，BH=3x＝4∵AD∥BC以及翻折得：∠BGH=12∠BGA=12∠又∵∠B＝∠D＝90°，∴△BHG∽△DEA，∴BHDE=BG解得：DE＝10﹣53，∵AB＝2，∠AGB＝30°，∠B＝90°，∴AG＝2AB＝4，∴GF＝AF﹣AG＝AD﹣AG＝5﹣4＝1，又∵∠AGB＝∠FGN＝30°，∠GFN＝∠D＝90°，∴tan∠FGN=NF∴NF＝GF×tan30°＝1×3∴DEFN=10-53故答案为：33；103-（2）方法二，如图：过点F作FQ⊥AD于点Q，FQ交BC于点K，过点F作FO⊥DC，交DC的延长线于点O，∴四边形ABKQ与四边形FODQ都是平行四边形，FK⊥BC，∵AD∥BC，AD＝AF＝5，∴∠AGB＝∠FAQ＝30°，∴QF=12AF=12×5=5∴QD＝FO＝AD﹣AQ＝5-5∵AB＝QK＝2，∴FK＝QF﹣QK=52-∵∠AGB＝∠FGN＝30°，∠GFN＝∠D＝90°，∴∠FNK＝60°，在Rt△FKN中，sin∠FNK=KF∴sin60°=1解得：FN=3∵FQ∥DC，∴∠FEO＝∠NFE＝30°，∴FE＝2FO＝10﹣53=DE∴DEFN=10-53故答案为：33；103-22．（2022•镇海区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB＝3AD，AC＝3，BC＝6，CG＝0.8，则CE的值为32【解答】解：如图，作DH⊥BC于H，作DT⊥AC与T，交EF于R，∴∠BHD＝∠CHD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BHD，∴△BHD∽△BCA，∴BHBC∵AB＝3AD，∴BD=23∴BH6∴BH＝4，DH＝3，∴CH＝BC﹣BH＝2，∴CH＝DH，∵∠ACB＝∠DHC＝∠DTC＝90°，∴四边形DTCH是矩形，∴矩形DTCH是正方形，∴CT＝DH＝2，DT∥CH，∴TG＝CT﹣CG＝2-45=65∴RTCE设CE＝2x，RT＝3x，∴DR＝DT+RT＝2+3x，EH＝CH﹣CE＝2﹣2x，由折叠得：∠BED＝∠FED，∴DQ＝DH＝2，EQ＝EH＝2﹣2x，∵DT∥CH，∴∠BED＝∠RDE，∴∠FED＝∠RDE，∴RE＝DR＝2+3x，∴RQ＝RE﹣EQ＝（2+3x）﹣（2﹣2x）＝5x，在Rt△DQR中，RQ2+DQ2＝DR2，∴（5x）2+22＝（2+3x）2，∴x1=34，x2＝∴CE＝2x=3故答案为：32三．解答题（共5小题）23．（2022•鹿城区二模）在Rt△ABC中，AB=35，BC=45，过点C作CG∥AB，CF平分∠ACD交射线BA于点F，D是射线CG上的一个动点，连结AD交CF于点（1）求CF的长．（2）当△ACE是等腰三角形时，求CD的长．（3）当B关于AD的对称点B'落在CF上时，求DEAE【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=35，BC=4∴AC＝55，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF，∵CG∥AB，∴∠F＝∠DCF，∴∠F＝∠ACF，∴AC＝AF＝55，∴BF＝AB+AF＝85，在Rt△BCF中，CF=CB（2）①当∠ECA＝∠AEC时，△ACE是等腰三角形，∴∠CAE＝∠AEC＝∠F＝∠DCF，∴△ACE∽△CFA，∴ACFC∴55∴CE=25∴EF＝CF﹣CE=55∵CG∥AB，∴△DCE∽△AFE，∴CDAF∴CD=25②当∠CAE＝∠AEC时，△ACE是等腰三角形，如图所示：∴AC＝CE＝55，∴EF＝CF+CE＝20﹣55，∵CDAF∴CD=100+25③∵∠CEA＞∠CFA，∠F＝∠ACF，∴∠CEA＞∠ACE，∴∠CEA≠∠ACE，综上所述：CD的长为25511或（3）作DM⊥BA，垂足为M，作B′N⊥BF，垂足为N，∴∠DMB＝∠DMA＝90°，∠B′NB＝90°，∵CG∥AB，∠B＝90°，∴∠CDM＝∠DMA＝90°，∴四边形CBMD是矩形，∴DM＝CB＝45，∵B关于AD的对称点为B'，∴BB′⊥AD，AB＝AB′＝35，∵tanF=BC∴tanF=B∴FN＝2B′N，设B′N＝x，则FN＝2x，∴AN＝AF﹣FN＝55-2x∵AN2+NB′2＝AB′2，∴(55-2x解得x＝2+25或x＝﹣2+25，当x＝﹣2+25时，AN=5-4＜∴B′N＝2+25，∴AN＝4+5∴BN＝AB+AN＝4+45，∵∠B′BA+∠BAN＝∠BAN+ADM＝90°，∴∠B′BA＝∠ADM，∴△ADM∽△B′BN，∴DMBN∴45∴AM＝35-5∴BM＝CD＝AB﹣AM＝5，∴DEAE24．（2022•仙居县二模）如图，已知矩形纸片ABCD的长BC＝8，宽AB＝4，点E