2023年数学中考复习重难点突破-二次函数与一次函数的综合应用（含答案）

2023年数学中考复习重难点突破——二次函数与一次函数的综合应用一、单选题1．直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是().A．0 B．1 C．2 D．不确定2．如图，一次函数y1=mx＋n（m≠0）与二次函数y2=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于两点A（－1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围()

A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥93．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2﹣a的图象可能是（）A． B．C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO=（）A．8：1 B．6：1 C．5：1 D．4：15．已知二次函数y=ax²+bx-1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，-1）三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）A．最大值为-1 B．最小值为-1C．最大值为- D．最小值为-6．如图，点A（a，b）是抛物线上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．248．如图，直线(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(−4，0)、B(0，3)，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是()A．2 B．4 C．2.5 D．39．定义符号min｛a,b}的含义为：当a≥b时min｛a,b}=b；当a＜b时min｛a,b}=a.如min｛1,-3}=-3,min｛-4,-2}=-4,则min｛-x2+1，-x}的最大值是（）A． B． C．1 D．010．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是．12．已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则的取值范围为．13．已知函数使成立的的值恰好只有个时，的值为.14．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④，其中正确的有15．如图，平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是.三、解答题16．已知抛物线y=x2﹣4x+7与y=x交于A、B两点（A在B点左侧）．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积．17．已知：如图，二次函数y=-x2+2x+m的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标。18．直线与抛物线交于A、B两点，点P在抛物线上，若三角形PAB的面积为，求点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．20．某公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：yA=kx；如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx．根据公司信息部的报告，yA、yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值（如下表）x15yA0.63yB2.810（1）求正比例函数和二次函数的解析式；（2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？21．如图，抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；（2）求证：BC∥y轴；（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】（﹣4，﹣20）12．【答案】13．【答案】214．【答案】②③④15．【答案】或16．【答案】解：（1）由题意得：解得：或∴A（2，1），B（7，）；（2）∵y=x2﹣4x+7=，∴顶点坐标为：C（4，﹣1）过C作CD∥x轴交直线于D∵y=x令y=﹣1得y=x=﹣1，解得：x=﹣2∴CD=6∴S△ABC=S△BCD﹣S△ACD=﹣×6×（1+1）=7.517．【答案】解：∵二次函数y=-x2+2x+m的图象过点A(3，0)，

∴-9+6+m=0

解之：m=3

∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4,

∴顶点坐标为（1，4）

当x=0时，y=3

∴点B（0，3）

设直线AB的解析式为y=kx+b，

解之：

∴直线AB的解析式为y=-x+3；

∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P

∴当x=1时，y=-1+3=2

∴点P（1，2）18．【答案】由，解得A（，0），B（，0）AB=，则P点到AB的距离为，故P点纵坐为0或－4，故P点为坐标原点（0，0）或（－2，－4）或（2，4）．19．【答案】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣x+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣+，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．20．【答案】（1）解：把点（1，0.6）代入yA=kx中，得：k=0.6，

则该正比例函数的解析式为：yA=0.6x，

把点（1，2.8）和点（5，10）代入yB=ax2+bx．得：，

解得：，

则该二次函数的解析式为：yB=﹣0.2x2+3x；（2）解：设投资开发B产品的金额为x万元，总利润为y万元，则y=0.6x（20﹣x）+（﹣0.2x2+3x）=﹣0.2x2+2.4x+12=﹣0.2（x﹣6）2+19.2∴当x=6时，y最大=19.2．答：投资6万元生产B产品，14万元生产A产品可获得最大利润19.2万元．21．【答案】（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，

∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．

∴a=∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m﹣2．

（2）证明：如图1，

设直线PA的解析式为y=kx+b，

∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．

∴．解得：．

∴直线PA的解析式是y=x+m﹣1．

当y=0时，x+m﹣1=0．

∵m＞1，∴x=﹣m．

∴点B的横坐标是﹣m．

设直线OP的解析式为y=k′x，

∵点P的坐标为（m，2m﹣2），

∴k′m=2m﹣2．

∴k′=．

∴直线OP的解析式是y=x．

联立解得：或．

∵点C在第三象限，且m＞1，

∴点C的横坐标是﹣m．

∴BC∥y轴．

（3）方法一：解：若点B′恰好落在线段BC′上，设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．

∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，

∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．

∴∠PBC+∠PB'B=180°．

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO=180°．

∴∠PB′B=∠BAO．

∵PB=PB′，PC=PC′，

∴∠PB′B=∠PBB′=，

∴∠PCC′=∠PC′C=．

∴∠PB′B=∠PCC′．

∴∠BAO=∠PCC′．

∵点C关于直线l的对称点为C′，

∴CC′⊥l．

∵OD⊥l，

∴OD∥CC′．

∴∠POD=∠PCC′．

∴∠POD=∠BAO．

∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，

∴△BAO∽△POD．∴=．

∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，

∴=．

解得：m1=2+，m2=2﹣．

经检验：m1=2+，m2=2﹣都是分式方程的解．

∵m＞1，∴m=2+．

∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+．

方法二：∵点C关于直线l的对称点为C″，

∴，

∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），

∴m=，

∴C′X=3m，

∴C′（3m，2﹣2m），

∵将△PBC绕点P逆时针旋转，

∴△BCP≌△B′C′P，

∵点B