2023 年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用 解答题专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答题专题训练（附答案）1．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．2．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h．如图，在一条笔直公路l的上方A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD＝32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD＝28°，2秒后到达C点，测得∠ACD＝45°（sin28°≈，cos28°≈，tan28°≈）（1）求CD，BD的长度．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．3．黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°，量得BC的长为300m．求河的宽度．（结果精确到1m，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）4．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）5．图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）6．疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．（1）求线段AG的长度；（结果精确到0.1m）（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）7．小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度．（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）8．某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）9．吾悦广场准备在地下停车场北侧建设一个供小型货车进出的专用入口，如图入口设计示意图中，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝300cm，一楼到地平线的距离BC＝90cm．经调查，送货的小型货车高度都低于268cm，为了保证货物安全，入口处货车顶部要留有不少于20cm的安全距离．为尽量减少施工量，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡AD的施工？10．中国溱潼会船节，属于国家级非物质文化遗产，被誉为“民俗文化之大观，水乡风情之博览”，撑篙子船是会船节活动中最具有特色的比赛项目．某篙子手发现篙子刚开始触及到河床的O点时，篙子与水面所成的角∠ACE＝60°，紧握篙子的右手A处离水面的高度AE为2米．俯身发力后，篙子与水面所成的角∠A′DF＝45°，此时紧握篙子的右手A′处离水面的高度A′F为1米，整个过程右手与篙，篙与河床均无滑动，河床近似地看作与水面平行，求此处水面离河床的高度是多少米？（结果精确到0.01米，）11．图1是某液压升降台实物图，图2是由该液压升降台抽象出的平面示意图．已知活动支架BD可以绕点B转动，支架FC的端点C可以在底盘平台BK上左右移动，BD，FC相交于点A，设∠DBC＝α，可通过调节a的大小来调节载货平台FG的升降．现测得底盘BK与地面的距离为12cm，AB＝AC＝AD＝AF＝FE＝ED＝50cm，EG＝60cm．（1）当BC＝80cm时，求点D到地面的距离．（2）当α＝37时，求点G到地面的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536）12．如图，一个书架上的方格中放着七本厚度和长度相同的书，其中左边六本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角G正好靠在方格内侧上．若书架方格内侧长BF＝35cm，∠DCE＝37°，书的长度AB＝20cm．（1）求DE的长度．（2）求每本书的厚度．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼BD的影子刚好落在楼AC的底部；（2）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子落在楼AC的第几层？（参考数据：≈1.732）14．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）15．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．16．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．17．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）18．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）19．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）20．将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．（1）求线段FG的长度；（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．参考答案1．解：法一、如图，∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA＝≈0.80，cos∠EBA＝≈0.60，∴AE＝8cm，BE＝6cm，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，∴sin∠BCF＝≈0.80，cos∠BCF＝≈0.60，∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，∴EF＝6+4.8＝10.8cm，∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2），S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2），S△BCF＝•BF•CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2），∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．法二、如图，延长AB交DC的延长线于点M，∴∠BCM＝∠A＝53°，∴cos53°＝≈0.6，∴CM＝10，∴BM＝8，∴AM＝AB+BM＝18，∵AD＝AM•sinA＝14.4，DM＝AM•cosA＝10.8，∴截面的面积＝S△ADM﹣S△BCM＝＝AD•DM﹣BC•BM＝53.76（cm2）．2．解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，AD＝32m，∴CD＝AD＝32m，在Rt△ABD中，∠ABD＝28°，AD＝32m，∴BD＝≈＝60（m），答：CD＝32m，BD＝60m；（2）BC＝BD﹣CD＝60﹣32＝28（m），∴汽车行驶的速度为28÷2＝14（m/s）＝50.4km/h，∵50.4＞50，∴超速了．3．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm，由图可知，∠ABD＝65°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝65°，AD＝xm，∴BD＝≈0.47x，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴CD＝xm，∵BD+DC＝BC，∴0.47x+x＝300，∴AD＝x≈204m，答：河的宽度约为204m．4．解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm，即CN＝90cm时，CM＝60cm，在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，∴sin∠ABE＝sin70°＝≈0.94，∴BC≈64cm，∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）．答：CE的长为24cm．5．解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10cm，则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，在Rt△ABF中，∠BAF＝146°﹣90°﹣26°＝30°，AB＝8cm，则BF＝AB•sin∠BAF＝8×＝4cm，∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，答：旋转头的固定点O与地面的距离约为177cm．6．解：（1）在Rt△ABE中，，在Rt△ACE中，，设AE＝xm，则，解得x≈2.89m，∴AG＝AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m．答：线段AG的长度约为3.5m；（2）当线段AF⊥AC时，∵AE⊥BC，∴∠FAE+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACE＝90°．∴∠FAE＝∠ACE＝31°．∴，∴．答：点F与点G之间的距离约为2.1m．7．解：在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，PO＝0.1∴BO＝PO＝0.1，在Rt△AOP中，∠APO＝59°，PO＝0.1，∴AO＝PO•tan59°≈0.1×1.66＝0.166，∴AB＝AO﹣BO＝0.166﹣0.1＝0.066，∴0.066÷＝59.4，答：该轿车在这4秒内的行驶速度为每小时59.4千米．8．解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，∴cos37°＝＝＝0.8，∴DE＝4，∵sin37°＝＝＝0.6，∴AE＝3．在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE＝，∴AC＝2CE＝2，∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．9．解：过点C作CH⊥AD于H，则∠CDH+∠DCH＝90°，∵∠CDH+∠DAB＝90°，∴∠DCH＝∠DAB，∵CD＝300cm，CH＝268+20＝288（cm），∠CHD＝90°，∴DH＝＝＝84（cm），∴tan∠DAB＝tan∠DCH＝＝＝，∴tan∠DAB＝＝＝，解得AB＝720cm，答：应在地面上距点B720cm的A处开始斜坡AD的施工．10．解：由题意可得，AO＝A′O，设AO＝A′O＝m米，EB＝FB′＝x米，∵∠ABO﹣90°，∠AOB＝60°，sin∠AOB＝，AB＝AE+DB，AE＝2米，∴sin60°＝，∴m＝，∵∠A′B′O＝90°，∠A′OB′＝45°，A′F＝1米，sin∠A′OB′＝，∴sin45°＝，∴m＝，∴＝，即＝，解得x≈3.45，即此处水面离河床的高度约为3.45米．11．解：（1）连接CD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AD＝AC，∠ADC＝∠ACD，∵∠ABC+∠BCD+∠BDC＝180°，即∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝180°，∴2∠ACB十2∠ACD＝180°，∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，∴DC⊥BC，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∵BD＝AB+AD＝50+50＝100（cm），BC＝80cm，∴DC＝＝＝60（cm），∵BC与地面平行，底盘BK与地面的距离为12cm，∴60+12＝72（cm），∴点D到地面的距离约为72cm；（2）连接DC，DF，过点G作GH⊥FD交FD的延长线于H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝α＝37°，∵AD＝AF，∠ADF＝∠AFD，根据三角形的内角和定理可得：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝∠DAF+∠AFD+∠ADF＝180°，根据对顶角的性质可得∠BAC＝∠DAF，∴∠ADF+∠AFD＝∠ABC+∠AC'B，即2∠AFD＝2∠ABC，∴∠AFD＝∠ABC＝37°，∴DF∥BC，∵AD＝AF＝EF＝ED，∴四边形ADEF是菱形，FD平分∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA＝37°，由（1）可知∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，∠DBC＝37°，BD＝100cm，∴sin∠DBC＝，∴DC＝DB．sin∠DBC＝100×sin37°≈100×0.6018＝60.18（cm），在Rt△FGH中，∠FHG＝90°，∠GFH＝37°，FG＝FE+EG＝50+60＝110（cm），∵sin∠GFH＝，∴GH＝FG•sin∠GFH＝110×sin37°≈110×0.6018＝66.198（cm），∴GH+DC+12＝66.198+60.18+12≈138.4（cm）．答：点G到地面的距离约为138.4cm．12．解：（1）在Rt△DCE中，CE＝AB＝20cm，∠DCE＝37°，∴DE＝CE×sin∠DCE＝20×sin37°≈12.0（cm）；答：DE的长度为12.0cm；（2）设每本书的厚度为xcm，在Rt△GEF中，∠GEF＝37°，EG＝xcm，∴EF＝EG•cos∠GEF≈0.8x（cm），∴6x+12.0+0.8x＝35，解得x≈3.4（cm），答：每本书的厚度为3.4cm．13．解：（1）由题意得，AC＝BD＝3×10＝30（米），所以tan∠BCD＝＝1，所以∠BCD＝45°，即太阳光线与水平面的夹角为45°时，楼BD的影子刚好落在楼AC的底部；（2）如图，延长GB交AC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则EF＝CD＝30，在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，EF＝30,∴BF＝30×tan30°＝10（米），∴CE＝DF＝BD﹣BF＝30﹣10≈30﹣17.32＝12.68（米），12.68÷3≈4.23≈5（层），答：此刻楼BD的影子落在楼AC的第5层．14．解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．15．解：设CD＝xm，在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝，∵AD+BD＝AB，∴，解得，x≈33.4．答：宝塔的高度约为33.4m．16．解：（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，在Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．（2）手臂端点D能碰到点M，理由：由题意得，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远距离，如图：BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB²+AD²＝BD²，∴AD＝120cm＞110cm．∴手臂端点D能碰到点M．17．解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝59.5+64≈123.5≈124（mm）．（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．在Rt△B′C′D中，∵tan∠B′DC′＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，∴∠B′DC′＝26.6°．∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．18．解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），所以铁环钩离地面的高度为10cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，∴DE＝＝，在Rt△DEN中，∠DN