数理统计第二章抽样分布2.7节充分量

2.712{样本X中的信息={T(X)中所含样本的信息+{在知道T(X)后样本X含有的剩余信息因此T(X)为充分统计量的要求归结要求后一项信息为用统计语言描述为，即要P(XA|Tt)3样本X的条件分布与参数无关，则称Ｔ(Ｘ)充分统计量必存顺序(次序)统计量是充分统计4nT(X)

为充分统计n件概率与参数无关.nxit0P(X1x1,X2 ,Xnxn|T5P(X1x1,X2 ,Xnxn|Tt0P(X1x1,X2 ,Xnxn,Tt0)P(X1x1,X2 ,Xnt0-

t0 nt t0

nt t06因此P(X1x1,X2

,Xnxn|T(x)t0)n

xinnt0

xinnn因此TXXi是充分统计量i 例2.7.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从正态总体n中抽取的样nT(X)

Xini

为充分统计时X的概率分布与参数无关.但是计算复其中A是正交阵,8nn1 1 1nn nA

a2naann因

nn1Xi nnnnn,Y X,j,

k

9ii ii由定理2.2.3的证明过程可

Y2X2Y,Y

,Y1~N( Yi~N(0,1),i2,,，XX(X1,X2, ,Xn性Y1Y1,Y2, Y1,Y2 n/

1

y21(y 2f(y1,y2

22

n)

f(y exp1(y f(y,

,y|y)=f(y1,y2,yn ,yn

fY(1

1

i2i

y2TXX

例2.7.3设X=(X1,X2,…,Xn)是从指数分布Exp(中抽取的样nT(X)

为充分统计证明：X1的概率密度f(x,) xn则X=(X1,X2,…,Xn)的联合nf(x,)ne

ii作变

Y1Yn1Xn1XnX1XXnnnTX)Xi 对原样本 的充分性等价 因此只要证明给定Yn=ynTt)(Y1,Y2,…,Yn)的条件密度和无关即可 , ,t)=n

,n1n由 T(X)Xi~G(n,nn因此TXXinfT(t)

n

[t

n

[ n给定Tt(Y1,Y2,…,Yn)的条件密nf(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)f(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)n n yi0,yit,i

n [t

[tf(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)n n

[tnTX)Xin例2.7.4设X=(X1,X2,…,Xn)是从正态总TXX1不是充分统计证明：在T(XX1X1,X2,…,Xn的条件密度f(x,x ,x|T(x)x)f

,xn,T(x)

f(x ,x)

(x)2

TXX1充分性的判别准则—— ，TTX)TTX)fx,) 推论2.7.1设TTX)为S(T) 例2.7.5设X=(X1,…,Xn)是从正态总体N(,2中抽取的样本，

)2T(X)(Xi,Xi)2

为充分统计 XX1X2,

n/

2 exp

)n/

1

2 exp

xi

2xin

其中 根据因子分解定 T(X)(X,X2为充分统计量

由

X,

X2

(X,S2

(X,S2例2.7.6设X=(X1,X2,…,Xn)是从总体nT(X)XiXX1

为充分统计nf(x,)=P(X1 nnn

其中根据因子分解定为充分统计量

T(X)Xinn例2.7.7设X=(X1,…,Xn)是从均匀分布U(0,中抽取的样本T(X)X(n) ,

为充分统计X(X1,X2 f(x,其中

根据因子分解定理，知TXX(n)为充分统计量例2.7.8设X=(X1,…,Xn)是从均匀分U(12,12中抽取的样本，利用因子分解定理验X不是充分统计量,Xn,XnX(n),XnX(1)T(X)(X(1),X(n) f(x,

-1/2<x

x(

(n)

其中

根据因子分解定T(X)(X(1),X(n)为充分统计量 根据因子分解定T(X)(X(1),X(n)为充分统计量若 为充分统计量则它必能由因子分解定理表示出来根据上述证明说不能表示

f(x,g(x,的形式 因此，X不是充分统计量例设X(X1 ,Xn)是从指数族中抽取的样kf(x,)C()exp{Qi()Ti(x)}h(ki则T(X)(T1(X),T2(X ,Tk(X))为充分统计量证明:样本X的联合密度为kf(x,)C()exp{Qi()ti(x)}h(kig(t(x),)h(kf(x,)C()exp{Qi()ti