第1次课库伦定律电场强度

第1次课库伦定律电场强度第1章静止电荷的电场1.1电荷1.物质的电结构质子带正电电子带负电中子不带电,正负电总和为零+e-e基元电荷e=1.6×10–19C(1)电荷不能产生,不能消灭;只能转移,中和,与分离;(2)带电:是失去或得到电子.(3)电荷消失:是正负电中和.2.电荷的量子化|Q|=NeNZ

3.电荷守恒定律孤立系统内,无论进行怎样的过程(物理,化学,核反应),系统内电量的代数和为一常量.1.2库仑定律与叠加原理1.点电荷的物理模型其大小远小于问题所涉及的线度的带电体.(形状任意)2.库仑定律q1q2r21F21F21=q1q2

r2k4πε01rr3q1q2=(1)真空中的电容率ε0ε0=8.85×10–12C2/(N·m2)k无物理意义,以后不用k.(2)

q1,q2同号F=q1q2/(4πε0r2)>0斥力q1,q2异号F=q1q2/(4πε0r2)<0引力(3)库仑定律只适用与点电荷.(4)原子内电力是万有引力的1039倍,一般不考虑万有引力.

(=r/r)1.21.3电场和电场强度一.电场1.电荷间作用力靠电场实现电荷电场电荷力力2.电场的对外表现(1)对电场中的电荷有作用力;(2)对电场中的运动电荷作功;(3)与电场中的物质相互作用:导体,静电感应;介质,极化.3.描述电场的物理量(1)电场强度E;(2)电势

U.二.电场强度E1.试验电荷q0电量极小的点电荷(1)电量足够小:不改变产生电场的电荷分布;(2)体积足够小:所占据的空间真正代表一点.2.电场强度的定义E=F/q0F为试验电荷受的电场力电场强度是矢量大小:E=F/q0方向:q0>0,E与F同向q0<0,E与F反向电场强度E是描述电场固有性质的物理量,只与场源电荷有关,与试验电荷q0无关3.单位N/C或V/m4.电场力dF=Edq三.点电荷q激发的电场E=F/q04πε01rr3qq0=q0E=qr/(4πε0r3)q>0,E与r同向q<0,E与r反向1.3四.电场叠加原理(由力的叠加原理得出)将带电体分成无数个点电荷.试验电荷受力为Fi=q0qiri/(4πε0ri3)F==q0qiri/(4πε0ri3)E=F/q0q0E=

qiri/(4πε0ri3)=Ei1.独立性任何电荷的电场不因其它电荷的存在而受影响;2.叠加性空间电场是所有电荷产生电场的矢量和.3.求电场的基点(1)点电荷激发的电场;(2)电场叠加原理.五.电场强度的计算1.点电荷系激发的电场E=

qiri/(4πε0ri3)2.连续带电体激发的电场E=

rdq/(4πε0r3)(1)体电荷体电荷密度ρ=dq/dVE=

rρdV/(4πε0r3)(2)线电荷截面尺寸远小于长度.也远小于问题所涉及线度线电荷密度λ=dq/dlE=

rλdl/(4πε0r3)(3)面电荷厚度远小于表面尺寸,也远小于问题所涉及线度面电荷密度σ=dq/dSE=

rσdS/(4πε0r3)1.41.4静止点电荷的电场及叠加一.电偶极子1.定义(物理模型)其距离较问题涉及线度小得多l<<r–q+qlPr的等量异号的点电荷系统.2.电矩(电偶极矩)p=ql–q+qlpp与l同向,l从负指向正.3.电偶极子电场的电场强度(1)延长线上的电场强度–q+qlA坐标如图OxA的坐标为x.

E+=qi/[4πε0(x–l/2)2]E+

E–=–qi/[4πε0(x+l/2)2]E–E=E++E–=[iq/(4πε0)][1/(x–l/2)2–1/(x+l/2)2]={iq/[4πε0(x2–l2/4)2]}··[(x+l/2)2–(x–l/2)2](x>>l)~i2qxl/(4πε0x4)=iql/(2πε0x3)(p=ql=iql)E=2p/(4πε0x3)E与p同向问题A点在电偶极子左方如何?(2)中垂线上的电场强度–q+qlByr+E+=qr+/(4πε0r+3)E+r–E–=–qr–/(4πε0r–3)E–=qr+/(4πε0r3)=–qr–/(4πε0r3)E=E++E–=–q(r––r+)/(4πε0r3)=–ql/(4πε0r3)(y>>l)=–p/(4πε0y3)E与p反向.1.54.电偶极子在电场中受力(1)在均匀电场中–q+qEF–=–qE–F–F+=qE+F+=–qE=qEF=F++F–=(q–q)E=0r+r–M=r+×F++r–×F–

=r+×(qE)+r–×(–qE)=(r+–r–)×(qE)=l×(qE)=ql×E=p×E大小:M=pEsin方向:p,E,M成右手螺旋.电偶极子无平动,有转动.(2)在非均匀电场中F=F++F–=qE+–qE–0M=r+×F++r–×F–

=r+×(qE+)+r–×(–qE–)~(r+–r–)×(qE)0=l×(qE)=ql×E=p×E电偶极子有平动,也有转动.例1(P18例1.4)求带电为q,长为l的均匀带电直线外一点电场强度.alrdE解:元电荷取坐标如图.xyO取微dldq=dl(=q/l)=dxdE=dq/(4πε0r2)E==dx/[4πε0(x2+a2)]令x/a=cot(–)=–cotx=–acotdx=ad/sin2x2+a2=a2/sin21=arccot(–x1/a)2=arccot(–x2/a)=d/(4πε0a)=(2–1)/(4πε0a)

1.6dEx=dEcos=[λdx/(4πε0r2)](–x/r)=–λxdx/(4πε0r3)=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]dEx=dEsin=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]Ex=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]–λ(–acot)ad/sin24πε0(a2/sin2)3/2==[λ/(4πε0a)]cosd=λ(sin2–sin1)/(4πε0a)Ey=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]λaad/sin24πε0(a2/sin2)3/2==λ(cos1–cos2)/(4πε0a)λsind4πε0a=讨论1.中垂线上1+2=πsin2=sin1cos1=–cos2Ex=0=(l/2)/(a2+l2/4)1/2Ey=λcos1/(2πε0a)=(q/l)[(l/2)/(a2+l2/4)1/2]/(2πε0a)=q/[4πε0a(a2+l2/4)1/2](1)当l>>a1=0Ey=λ/(2πε0a)(2)当l<<aEy=q/(4πε0a2)(3)当a=0带电体不再是线电荷2.延长线上lxOdlrdE所有电荷元产生的电场强度都沿x正向λdx4πε0r2E=–λd(l+b–x)4πε0(l+b–x)2=λ4πε0=1b1l+bq4πε0b(b+l)=Pb点电荷1.7例2(P20例1.5)求半径为R带电为Q的均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度.ROdEⅡdE⊥解:以中心轴为x轴.取x微元电荷dqdq=dlrdE=dq/(40r2)=dl/(40r2)dEdEⅡ=dEcos

=xdl/(40r3)因对称,dE⊥相互抵消.故E=EⅡ=dEⅡ=[xdl/(40r3)]=2Rx/[40(x2+R2)3/2]=Qx/[40(x2+R2)3/2]方向沿x轴.讨论如环开一小口a,可用补赏法(1)当x=0,中心处:E=0E=Qa/(8

20R3)求中心场强.(2)当x>>R,E=Q/(4πε0x2)点电荷(3)E~x曲线:xEOR/–R/E极大值点x=±R/例3(P21例1.6)求半径为R带电为Q的均匀圆盘轴线上的场强.OP解:取中心轴为xx轴,圆环元电荷rdrdq=2rdrdEdE=dqx/[40(x2+r2)3/2]dE=xrdr/[20(x2+r2)3/2]E==

xd(x2+r2)/[40(x2+r2)3/2]=[

/(20)][1–x/(x2+R2)1/2]=[Q/(20R2)][1–x/(x2+R2)1/2]当x<<R,无限大带电平面E=σ/(2ε0)第2次课电场强度(续)

电通量例1.“无限长”均匀带电半圆柱面,半径R,设柱面沿轴线单位长度上电量为,如图.试求轴线上一点的电场强度.xyORO解:过场点O作横截面并在其上取坐标如下图,在柱面上取窄条微元,dldθθ密度为其电荷线'=(/π)dθdE=λ'/(2πε0R)dE=λdθ/(2π2ε0R)dEx=dEcos(θ+π)=–λcosθdθ/(2π2ε0R)dEy=dEsin(θ+π)=–λsinθdθ/(2π2ε0R)Ex=–λcosθdθ/(2π2ε0R)=λ/(π2ε0R)Ey=–λsinθdθ/(2π2ε0R)E=Ex=λ/(π2ε0R)=0方向沿x正向.例2.(P401.10)如图,细带电圆环,半径R,电荷线密度=0sinθ,求圆心处电场强度.ORθxy解:在圆上取电荷元dq=RdθdEdE=dq/(4πε0R2)=0sinθdθ/(4πε0R)dEx=dEcos(π+θ)

=–0sinθcosθdθ/(4πε0R)dEy=dEsin(π+θ)

=–0sin2θdθ/(4πε0R)Ex=–0sinθcosθdθ/(4πε0R)=0Ey=–0sin2θdθ/(4πε0R)=–0/(4ε0R)E=Exi+Eyj=–j0/(4ε0R)2.2例3.一半径为R的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为.求球心处的电场强度.O解:x取环带微元θdq=dS=2(Rsin)Rd

=2R2sinddEdE=dqx/[40(r2+x2)3/2]=–sincosd/(20)方向x轴正向.例4.用绝缘细线弯成的半圆环,半径为R,其上均匀地带有正点荷Q,试求圆心O处的电场强度.O解:xy取园弧微元dldq=dl=[Q/(R)]Rdθ=Qdθ/dEdE=dq/(4ε0r2)=Qdθ/(4π2ε0R2)dExdEydEx=dEcos(θ+)=－dEcosθ

dEy=dEsin(θ+)=－dEsinθ

Ex=dEx=Q/(2

2ε0R2)Ey=dEy=0故

E=Ex=Q/(2

2ε0R2)方向沿x轴正向.2.3例5.宽为a的无限长带电薄平板,电荷线密度为,取中心线为z轴,x轴与薄板在同一平面内,y轴垂直薄板.如图.求y轴上距薄板为b的一点P的电场强度的大小和方向.zxyOabP解:取无限长窄条电荷元dx,电荷线密度=dx/adE=/(20r)=dx/(20ar)dEx=dEcos=–xdx/[20a(b2+x2)]dEy=dEsin=bdx/[20a(b2+x2)]yxdxdEbPEx=∫dEx=–xdx/[20a(b2+x2)]=–ln(b2+x2)/[40a]=0Ey=∫dEy=bdx/[20a(b2+x2)]=arctan(x/b)/[20a]=arctan[a/(2b)]/(0a)E=Eyj=jarctan[a/(2b)]/(0a)1.5–1.7电通量

高斯定理一.电场线1.定义

其线上每点的切线都与该点

电场强度方向重合的一条有指向的曲线.形象直观的描述电场E2.电场的图示法方向:沿切线正向;大小:用疏密表示疏,E小.密,E大;电场线数密度de/dS

dSndS'dS

'2.4E=de/dS

dS⊥E,即dS

∥E.3.几种特殊电场的电场线(1)点电荷正,发散;负,收敛.(球对称):(3)无限大带电平面平行,等距(2)两点电荷起于正终于负.4.电场线的性质(1)起于正电荷终于负电荷；(2)不闭合,不相交,连续.二.电通量

1.定义通过电场中一给定曲面的电场线的总条数.2.表达式(1)过微小曲面dS的电通量deEdSEdS为dS在垂直E方向的投影θdS=dScosθde=EdS

=EdScosθnθ=E·dS(2)过某曲面S的电通量ee=3.讨论(1)电通量e是标量,不是矢量;(2)计算电通量时要对面选取法线方向(闭合曲面的法线指向面外).求电通量大小时一般让n与E的夹角小于π/2.2.5例4.在点电荷Q产生的电场中,求通过如图所示的圆面的电通量.xRQ解:设圆面法线向左,n取细圆环面元dS=2πrdrrdrE=Q/[4πε0(x2+r2)]Eθcosθ=x/(x2+r2)1/2dΦe=E·dS=EdScosθ=2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2]=xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]Φe=dΦe=

xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]=[xQ/(4ε0)]d(r2+x2)/(x2+r2)3/2=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2]=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)或用通过圆面对应球冠面的电通量来计算:S=2πR0h=2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x]=2π[R2+x2–x(R2+x2)1/2]E=Q/(4πε0R02)=Q/[4πε0(R2+x2)]Φe=ES=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)三.高斯定理求过闭合曲面的电通量1.点电荷激发的电场(1)闭合曲面是以电荷为心的球面SΦe=E·dS=[Q/(4πε0r2)]dS=[Q/(4πε0R2)]dS=Q/ε0(2)闭合曲面是包围点电荷的任意曲面S

'2.6Φ'e=

E·dS=Φe=

E·dS=Q/ε0(3)闭合曲面不包围点电荷S"电场线进入高斯面又穿出高斯面Φ"e=

E·dS=02.任意电荷激发的场将其分成若干点电荷q=Σqiq激发电场E是每个点电荷激发电场Ei

的矢量和E=ΣEiΦe=

E·dS=

ΣEi·dS=Σ[Ei·dS]=Σqint/ε0Σqint是高斯面S所包围的电荷.3.结论

E·dS=Σqint/ε0量只与曲面内所包围电荷的代数和有关,与曲面的形状,曲面外的电荷无关.注意:曲面上的电场强度与面内外所有电荷有关.这说明通过闭合曲面的电通4.静电场的一个性质静电场是有源场.(1)当Σqint>0,有Φe>0.表明有电场线从S穿出,面内有正源;(2)当Σqint<0,有Φe<0.表明有电场线进入S面,面内有负源;(3)当Σqint=0,有Φe=0.表明电场线进入又穿出S,电场线连续;三.高斯定理的应用质,任何时候都是正确的.1.

高斯定理是静电场的基本描述了静电场的基本性方程第3次课高斯定理2.

用高斯定理求电场强度例1.求半径为R带电量为Q的均匀带电球面在球内外产生的场强.RQ解:由于电荷球对称,必然电场球对称:E沿径向,且距球心r相等处E大小等.过场点作与带电球同心的球面,Sr依高斯定理,有=Σqint/ε0==E=4πr2E当r<R:Σqint=0E=0当r>R:Σqint=QE=Q/(4πε0r2)考虑方向E=Qr/(4πε0r3)故r<R:E=0;r>R:E=Qr/(4πε0r3)均匀带电球面在

球内的

场强为零,在球外的场强等效于将电荷集中在球心

的

点电荷产生的场强.其E–r关系如图.Q4πε0R21/r2用高斯定理求场强的步骤(1)分析电荷与场的对称性;(2)选取合适的高斯面(其目的能将写成ES);(3)用高斯定理列方程,解方程,指出场的方向.对称性与对应高斯面:球对称:球电荷柱对称:无限长柱电荷面对称:无限大面电荷柱形高斯面球形高斯面高斯面上的E

:①大小处处等,E

dS;②大小处处不等,EdS.rORE3.2例2.求半径为R带电量为Q的均匀带电球体在球内外产生的场强.RQ解:因电荷球对称,电场球对称:

E沿径向,且距球心r相等处E大小等.过场点作与球同心的球面,有Sr=Σqint/ε0==4πr2E当r<R:Σqint

=ρ(4πr3/3)=[Q/(4πR3/3)](4πr3/3)Q4πε0R21/r2=Qr3/R3考虑方向,有E=Qr/(4πε0R3)当r>R:Σqint=QE=Q/(4πε0r2)E=Qr/(4πε0R3)r>R:E=Qr/(4πε0r3)r<R:均匀带电球体

球内场强与r成正比,球外场强等效于将电荷集中在球心

的

点电荷产生的场强.其E–r关系如图.例3.求半径为R带电线密度为λ的无限长均匀带电圆柱面在柱内外产生的电场强度.解:因电荷柱对称,

电场柱对称:E

沿径向,

且距轴线r

相等处E大小等.

过场点作与

带电柱R面同轴的圆柱面,其高为h.有rS=++λ2πε0R1/rrORErORE3.3=0+0+2πrhE=Σqint/ε0当r<R:Σqint=0E=0当r>R:Σqint=λhE=λ/(2πε0r)方向垂直轴线并沿径向.无限长均匀带电圆柱面在柱面内的场强为零,在柱面外的场强等效于将电荷集中在轴线的无限长均匀线电荷产生的场强.其E–r关系如图.例4.求半径为R带电线密度为λ的无限长均匀带电圆柱体在柱内外产生的电场强度.R解:因电荷柱对称,

电场柱对称:E

沿径向,

且距轴线r

相等处E大小等.

过场点作同轴柱面,其高为h.有rS=++=0+0+2πrhE=Σqint/ε0当r<R:Σqint

=ρ(πr2h)=[λh/(πR2h)](πr2h)=λhr2/R2E=λr/(2πε0R2)当r>R:Σqint=λhE=λ/(2πε0r)方向垂直轴线并沿径向.无限长均匀带电圆柱体在柱体内场强与r成正比,在柱面外场强等效于将电荷集中在轴线的无限长均匀线电荷产生的场强.其E–r关系如图.λ2πε0R1/r例5.求面电荷密度为σ的无限大均匀带电薄平板在空间产生的电场强度.rORE3.4σE解:因电荷面对称,电场面对称:

E垂直带电面,指向外,距带电面等距处E大小等.过场点作柱形高斯面

(侧面垂直带电面,底面以带电面对称,面积ΔS).有SΔS=++=EΔS+EΔS+0=2EΔSΣqint=σΔS由=Σqint/ε0得E=σ/(2ε0)考虑方向,有x>0,E=iσ/(2ε0);x<0,E=–iσ/(2ε0)其E–x关系如图.Oxσ/(2ε0)–σ/(2ε0)例6.半径为R的无限长圆柱体内有一个半径为a(a<R)的球形空腔,球心到圆柱轴的距离为d(d>a),该球形空腔的无限长圆柱体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,如图所示.求:(1)在球形空腔的球心O处的场强EO;(2)在柱体内与O点对称的P点处的电场强度EP.RadPOd解:球形空腔无限长圆柱带电体可认为是均匀带正电(体电荷密度为)无限长圆柱体与

均匀带负电(体电荷密度为)球体组成.分别用高斯定理求无限长均匀带电圆柱体激发的电场

E1与均匀带电3.5球体激发的电场E2.为求E1,在柱体内作同轴的圆柱形高斯面,有E1=

r1/(20)方向垂直于轴线指向外;为求E2,在球体内外作同心的球形高斯面,有球内r<aQ=4

r23/3E2=

r2/(30)球外r>aQ=4a3/3E2=a3/(30r22)负号表示方向指向球心.对于O点E1=d/(20)(因r2=0)E2=r2/(30)=0得EO=d/(20)方向向右;对于P点E1=d/(20),E2=a3/(120d2)得EP=d/(20)a3/(120d2)

方向向左.(因r2=2d)第4次课静电场的环路定理

电势第3章电势3.3~3.5静电场环路定理

电势

一.静电场力的功讨论点电荷q0在静电场中运动,静电场力做功q0lab1.点电荷q激发的电场qE=qr/(4πε0r3)F=qq0r/(4πε0r3)FrA=F·dldl4πε0r3qq0r·dl=θ=[qq0dlcosθ/(4πε0r2)]r1r2(dlcosθ=dr)=[qq0dr/(4πε0r2)]

=[qq0/(4πε0)](1/r1–1/r2)即点电荷q0在点电荷q激发的电场中运动时静电场力做功与路径l无关,只与q0的始末位置有关.2.任意电荷激发的电场E=

rdq/(4πε0r3)F=q0E=q0

rdq/(4πε0r3)A=F·dl4πε0r3dqr·dl=q04πε0r3r·dldq=q04πε0r2drdq=q04πε0q0dq=r11r21式中r1和r2分别为点电荷q0运动路径的起点和终点到电荷元dq的距离.结果表明:点电荷q0在任意电荷激发的电场中运动时静电场力做功与路径无关,只与q0的始末位置有关.二.静电场环路定理1.安培环路定理A=F·dl=qE·dl4.2=qE·dl+qE·dlabl1l2=qE·dl–

qE·dl=0

E·dl

=0得安培环路定理静电场力对点电荷q沿闭合路径运动做的功为零2.静电场的又一性质静电场是保守场.静电场是(1)有源场(由高斯定理得出)(2)保守场环路定理说明:静电场沿任意闭合路径积分为零.做功与路径无关的力是保守力,故静电场力是保守力;积分与路径无关的场是保守场.(由环路定理得出)三.电势能与电势位置所决定的做功本领保守力势能静电场力是保守力电势能(只讨论点电荷的电势能)1.电势能点电荷在某点电势能等于电场力将其从该点移到参考点所做的功.WP=qE·dl=qE·dl由电荷与电场的相对2.电势电势能与电荷有关,qE·dl=E·dl与电荷无关,由WP/q电场本身固有性质决定.(1)定义(描述电场的又一物理量)=E·dlUP=WP/q电场中某点电势数值上等于4.3单位正电荷从场点移到零势点静电场力作的功.(2)单位伏特(V)E的又一单位:(N/C)V/m3.电势差场中两点电势之差(电压)Uab=Ua–Ub=E·dl–

E·dl=E·dl+

E·dl=E·dl静电场中两点间电势差等于将单位正电荷从起点移到终点静电场力作的功.4.说明(1)电势能是电场与电荷共有的,而电势是电场固有的;(2)电势能与电势是相对的,与零点的选取有关,零点的选取任意;(3)两点电势差与零点选取无关.(4)电势,电势能是标量,不是矢量.5.电势零点的选取(1)电势零点的选取以方便为准;(2)有限带电体场的零势点选;(3)无限带电体场的零点不能选.四.静电场力对点电荷的功A,点电荷与电场的电势能W及电势U之间的关系W=qE·dl=qE·dl=qUA=qE·dl=qE·dl=qUab五.电势的计算(选为势零点)1.点电荷电场的电势UP=E·dl4πε0r3qr·dl==4πε0r2qdr=[–q/(4πε0r)]=q/(4πε0r)2.电势叠加原理将带电体分成点电荷:4.4q=qiE=EiU=E·dl=Ei·dl=Ei·dl=Ui=Σ[qi/(4πε0ri)]连续带电体U=[dq/(4πε0r)](1).独立性任何电荷在某点产生的电势不因其它电荷而受影响;(2).叠加性电场中某点的电势是所有电荷产生电势的标量和.,3.知电荷分布求电势的基点(1)点电荷在某点产生的电势;(2)电势叠加原理(标量叠加).(1)定义法(2)叠加法4.计算电势的两种方法：U=E·dlU=[dq/(4πε0r)]例1.求电偶极子场中一点P的电势.q–qlP解:由叠加原理xy(x,y)r+r–rU=U++U–=q/(4πε0r+)–q/(4πε0r–)=q(r––r+)4πε0r+r–r––r+θ'而r––r+~lcosθ'θ~lcosθ,r–~r+~r得U=qlcosθ/(4πε0r2)=pcosθ/(4πε0r2)=prcosθ/(4πε0r3)=p·r/(4πε0r3)=px/[4πε0(x2+y2)3/2例2.求半径为R带电为Q的均匀带电细圆环轴线上一点的电势.RO解:定义法x轴上x处,E沿x轴,大小为EE=Qx/[40(x2+R2)3/2]4.5U=E·dl={Qx/[40(x2+R2)3/2]}dx

=

Qd(x2+R2)/[80(x2+R2)3/2]

={–Q/[40(x2+R2)1/2]}

=Q/[40(x2+R2)1/2]

叠加法取微元电荷dq=dldU=dq/(40r)=dl/[40(x2+R2)1/2]U=dU=dl/[40(x2+R2)1/2]=2R/[40(x2+R2)1/2]=Q/[40(x2+R2)1/2]

例3.求半径为R带电量为Q的均匀带电球面在球内外产生的电势.r<R:E1=0;r>R:E2=Qr/(4πε0r3)解:叠加法困难,用定义法U=E·dl球内电势球外电势r<R=E1·dl+E2·dl=0+[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0R)r>RU=E·dl=E2·dl=[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0r)均匀带电球面在球内产生的电势等于在球面上产生的电势

(即均匀带电球面为等势

体);在球外产生的电势等效于将电荷集中在球心

的点电荷产生的电势.其U–r关系如图.Q4πε0RrORU1/r4.6例4.求半径为R带电量为Q的均匀带电球体在球内外产生的电势.r>R:E2=Qr/(4πε0r3)解:用定义法r<R:E1=Qr/(4πε0R3)U=E·dl球内电势r<R=E1·dl+E2·dl+[Qdr/(4πε0r2)]=Qrdr/(4πε0R3)=[Qr2/(8πε0R3)]+[–Q/(4πε0r)]=Q/(8πε0R)–Qr2/(8πε0R3)+Q/(4πε0R)=3Q/(8πε0R)–Qr2/(8πε0R3)球外电势r>RU=E·dl=E2·dl=[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0r)均匀带电球体在球内产生的电势是到球心距离的函数(即均匀带电球体不是等势体);在球外产生的电势等效于将电荷集中在球心

的点电荷产生的电势.其U–r关系如图.rORU–r21/r球心与球面的电势分别为U0=8πε0R3Q8πε0R3QQ4πε0RUR=Q4πε0R例5.(P883.9)一无限长均匀带电圆柱,体电荷密度为ρ,截面半径为a,(1)用高斯定理求柱内外电场;(2)

求柱内外电势,以轴线为电4.7势零点;(3)画出E–r和U–r曲线.a解:(1)因电场柱对称:E

沿径向,距轴r

等处E值等.

过场点作高h同轴柱面,有rS=++=0+0+2πrhE=Σqint/ε0当r<a:Σqint

=ρ(πr2h)E1=ρr/(2ε0)当r>a:Σqint=ρ(πa2h)E2=ρa2/(2ε0r)E

方向垂直于轴线且指向外.(2)当r<a:U1=E·dl=E1·dl=[ρr/(2ε0)]dr=–ρr2/(4ε0)当r>a:U2=E·dl=E2·dl+E1·dl=ρa2dr/(2ε0r)+ρrdr/(2ε0)=ρa2ln(a/r)/(2ε0)–ρa2/(4ε0)=–ρa2/(4ε0)[2ln(r/a)+1](3)rOaEr=0:E0=0,r=a:Ea=ρa/(2ε0)ρa2ε01/rrOUU0=0–r2Ua=–ρa24ε0ρa24ε0–ln(r/a)说明:

无限长带电圆柱场的零势点不能选在.数学上讲,结果发散;物理上讲,带电圆柱不再是无限长.“无限长”公式不再适用.第5次课电势梯度静电场中的导体

3.4电势梯度一.等势面1.定义等电势点组成的面.2.等势面的性质由dU=0得出dA=qdU=0(1)点电荷在等势面上移动,E·dl=dU=0Edl(2)电场强度与等势面正交;(3)等势面密集处场强大,等势面稀疏处场强小.由dU=E·dl知:设dU等,E||dl

.E大,则dl小,即等势面密.3.两种特殊电场的等势面+1.电势空间变化率(方向导数)二.电势梯度dl为沿某方向的微小距离,对应两等势面的电势差为dUdlUU+dUE·dl=U1–U2=U–(U+dU)=–dUE–dU

=E·dlθ=EdlcosθdU/dl=–Ecosθ=–El电势沿某方向的空间变化率等于电场强度在该方向投影的负值.(1)电势空间变化率随方向而变;(2)空间变化率绝对值的最大值沿过该点等势面的法线方向.2.电势梯度gradU是矢量方向为电势变化最快的方向,大小[dU/dl]max=dU/(dlcosθ)=dU/dngradU+=U电场力不作功;5.2=(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k3.电势梯度与场强的关系由dU/dl=–El得Ex=–U/xEy=–U/yEz=–U/zE=–[(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k]E=–gradU电场强度等于电势梯度负值.即电场强度指向电势降落的方向=–U三.场强与电势的关系积分关系=E·dlU=E·dl微分关系E=–gradU=–U例1.(P75例3.7)利用场强梯度关系,计算电偶极子场中的场强.解:

U=p·r/(4πε0r3)p

=pir=xi+yjr2=x2+y2=px/(4πε0r3)=[p/(4πε0)](x/r3)r/x=[(x2+y2)1/2]/x=(1/2)(x2+y2)1/2–12x=x/rr/y=y/rEx=–U/x=–{[p/(4πε0)](x/r3)}/x=–[p/(4πε0)][(1/r3)+x(–3r–4)r/x]=–[p/(4πε0)][(1/r3)–3x2/r5]=[p/(4πε0)][(2x2–y2)/r5]=p(2x2–y2)/(4πε0r5)Ey=–U/y=–{[p/(4πε0)](x/r3)}/y=–[p/(4πε0)]x(–3r–4)r/y=[p/(4πε0)]3xy/r5=3pxy/(4πε0r5)E=(Ex2+Ey2)1/2=[p/(4πε0r5)][(2x2–y2)2+(3xy)2]1/25.3=[p/(4πε0r5)](4x4+5x2y2+y4)1/2=[p/(4πε0r5)][(x2+y2)(4x2+y2)]1/2=[p/(4πε0r4)](x2+y2+3x2)1/2=[p/(4πε0r3)][1+3(x/r)2]1/2=p(1+3cos2θ)1/2/(4πε0r3)E与x轴的夹角满足tan=Ey/Ex=3xy/(2x2–y2)第4章静电场中的导体一.导体静电平衡的条件1.静电平衡的建立导体内有大量可自由移动的电荷外电场自由电荷运动电荷在导体内重新分布产生附加电场与外场合成再对自由电荷作用反复进行,直到对自由电荷的作用力为零时停止.一瞬间.导体体内与表面无定向移动电荷2.静电平衡的条件(1)导体体内(内部自由电荷不受电场力)Eint=0;(2)导体表面外附近(表面自由电荷不受切向力)ES表面.3.推论(1)导体内任取两点a,b,因Eint=0Ua–Ub==0Ua=Ub导体为等势体;(2)导体表面为等势面.导体表面取两点c,d,因ESdlUc–Ud==0Uc=Ud二.导体静电平衡时电荷分布1.导体体内各处宏观电荷为零;对导体体内任一点O作任意5.4小高斯面S,因Eint=0,导体OS有Eint·

dS=0即q=02.导体电荷分布在表面其表面电荷分布状况与表面形状及周围带电体有关.(1)孤立导体表面电荷面密度与曲率半径有关尖端处(曲率大)电荷密度大;平坦处(曲率小)电荷密度小;定性证明:用导线连接相距很远的两导体球,静电平衡时等势,有R1Q1R2Q2Q1/(4πε0R1)=Q2/(4πε0R2)4πR12σ1/(4πε0R1)=4πR22σ2/(4πε0R2)R1σ1=R2σ2σ1/σ2=R2/R1低凹处(曲率负)电密度更小.(2)空腔导体内表面带净电荷与腔内净电荷等值反号证明:空腔导体ΣQQSint贴近内表作高斯面,因Eint=0,在导体内S有Eint·

dS=0即Σqint=0得QSint=–ΣQ空腔导体腔内无电荷时,内表面处处无电荷空腔导体证明:由QSint=–ΣQ得QSint=0因ΣQ=0说明内表面净电荷为零.设内表某处A带正电,A另一处B带等量负电.B因腔内无电荷,从A到B必有电场线.沿一电场线5.5积分UA–UB=

E·dl0与导体为等势体矛盾,故导体内表面不同处有等量异号电荷的假设不成立,所以当腔内无电荷时,内表面处处无电荷.静电平衡时导体表面附近的电场导体ES1.

ES表面;S表面附近作如图的柱形高斯面,依高斯定理=++=EΔS+0+0=qint/ε0=σΔS/ε0E=σ/ε02.

ES=σ/ε0;尖端处,电荷密度大,电场强;平坦处,电荷密度小,电场弱.3.空腔导体腔内无电荷时,腔内电场为零因导体腔内无电荷,内表面处处无电荷,故腔内无电场线,即腔内电场为零.四.静电感应的应用1.静电屏蔽(1)腔外电荷及外表电荷对腔内电场无影响;(2)接地导体腔内部电荷也不影响腔外电场;(3)静电屏蔽装置:接地导体空腔因导体电势为零.腔内,腔外的电场互不影响2.尖端放电:避雷针尖端处,E值大,空气电离.带因腔外及外表电荷在导体体内和腔内产生合电场为零.5.6电与尖端相反的离子中和尖端处电荷,使尖端电荷减少.有导体存在时求静电场物理量的讨论方法1.导体静电平衡的条件2.静电场基本性质方程3.电荷守恒定律Eint=0或导体为等势体

E·dS=Σqint/ε0

E·dl

=0ΣQi=const例2.两“无限大”导体板A,B,面积S,分别带电Q1,Q2,平行对称放置.求:(1)A,B上电荷分布;(2)空间电场分布;(3)将B板接地,求电荷分布.ABQ1Q2abσ1σ2σ3σ4E1E2E3解:设电荷面密度及电场分布如图.σ1/(2ε0)–σ2/(2ε0)–σ3/(2ε0)–σ4/(2ε0)=0σ1/(2ε0)+σ2/(2ε0)+σ3/(2ε0)–σ4/(2ε0)=0σ1+σ2=Q1/Sσ3+σ4=Q2/S整理得σ1–σ2–σ3–σ4=0σ1+σ2+σ3–σ4=0另有解得σ1=σ4=(Q1+Q2)/(2S)σ2=–σ3=(Q1–Q2)/(2S)(2)E1=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)=(Q1+Q2)/(2Sε0)向左E2=(σ1+σ2–σ3–σ4)/(2ε0)=(Q1–Q2)/(2Sε0)向右E3=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)=(Q1+Q2)/(2Sε0)向右(3)σ4=0σ1=0因σ1+σ2=Q1/Sσ2=Q1/Sσ3=–Q1/S(1)在两板取a,b两点,因Ea=Eb=0,有UB=0第6次课静电场中的导体(续)

静电场中的电介质例1.带电q的金属球A与带电Q的金属球壳B同心放置,A半径r,B内外半径R1,R2.(1)求电荷分布;(2)求A和B的电势UA,UB.(3)今将球A接地,再求电荷分布及电势差UA–UB.解:(1)因AB同心,电荷球对称,故球A表面均匀带电q;球壳B内表面均匀带电q,外表面均匀带电Q+q.(2)UA=q/(4πε0r)–q/(4πε0R1)+

(Q+q)/(4πε0R2)UB=q/(4πε0R2)–q/(4πε0R2)+(Q+q)/(4πε0R2)=(Q+q)/(4πε0R2)(3)球A接地,U'A=0.设A带电q'知B内外表带电q',Q+q',有U'A=0=q'/(4πε0r)–q'/(4πε0R1)+

(Q+q')/(4πε0R2)q'/r–q'/R1+(Q+q')/R2=0

q'(1/r–1/R1+1/R2)=–Q/R2q'=(–Q/R2)/(1/r–1/R1+1/R2)故球A表面均匀带电q'=–QrR1/[R1(r+R2)–rR2]<0球壳B内表面均匀带电–q'=QrR1/[R1(r+R2)–rR2]>0球壳B外表面均匀带电rR1R2qQAB>0Q+q'=QR2(R1–r)R1(r+R2)–rR2UA–UB=–UB=–(Q+q')/(4πε0R2)=–Q(R1–r)4πε0[R1(r+R2)–rR2]6.2解:接地即U=0.设感应电量为例2.半径为R的接地导体球附近有一线电荷密度为λ长为l的均匀带电直线,如图所示.求导体上感应电量.alλROQ.导体等势,U球=U心=0由电势叠加原理,有0=U球=U心=dq/(4πε0r)+dq/(4πε0r)=[1/(4πε0R)]

dq+λdx/(4πε0x)=Q/(4πε0R)+λln[(l+a)/a]/(4πε0)Q=–λRln[(l+a)/a]得导体上感应电量为例3.一平行板电容器,极板面积S,相距d,若B板接地,且保持A板电势UA=U0不变,如图.把一块面积相同带电量

Q的导体薄板C

平行地插入两板之间,求板C的电势UC.BUCU0ACQd/32d/3解:设A板下表面,C板上下表面,B板上表面电荷密度分别为σ1,–σ1,σ2,–σ2.则AC间场强为E1=σ1/ε0,

CB间场强为E2=σ2/ε0.UA=U0=E1·dl+E2·dl=(σ1/ε0)d/3+(σ2/ε0)2d/3,.(σ1+2σ2)d/(3ε0)=U0.C板电荷守恒–σ1+σ2=Q/Sσ1+2σ2=3ε0U0/d.解得σ1=ε0U0/d–2Q/(3S)

6.3σ2=ε0U0/d+Q/(3S)UC=E2·dl=E22d/3=(σ2/ε0)2d/3=2U0/3+2dQ/(9ε0S)第5章静电场中的电介质1.介质的微观结构极性分子一.电介质的极化正负电荷中心不重合的分子,等效一电偶极子,分非极性分子正负电荷中心重合的分子,分子电矩为零p=0p=ql0子有固有电矩.2.分子的极化(1)极性分子无外电场时因热运动电矩排列杂乱,宏观不呈电性;作用使p,E夹角变小,

p转向E,热运动反抗转向.结果是pE在E正向投影大于负向投影.的取向极化(1)非极性分子无外电场时分子正负电荷中宏观不呈电性;心重合,EF+F–位移,非极性分子变为极性分子,产生附加电矩p.的位移极化2.极化电荷介质极化后,分子电矩排列整齐,介质中出现极有外电场时分子受M=p×E有外电场时分子中正负电荷受相反力,正负电荷中心发生n6.4E极化电荷.对于各向同性均匀介质,极化电荷只出出现在表面.极化电荷的场要影响外电场.极化现象在外电场作用下介质中出现极化电荷,从而影响外电场的现象.二.极化强度矢量P极性分子电矩p排列的有序程度,非极性分子附加电矩p的大小反映介质的极化程度单位子电矩的矢量和为Σpi1.定义描述极化强弱的物理量取微小体积元V(宏观上无限小微观上无限大),V所中有分P=Σpi/VC·m–2与面电荷密度同单位2.极化电荷,极化强度的关系(1)逐点关系P|Σpi|=(σ'ΔS)l在极化介质内顺P取长为l的微小斜柱体(可认为介质均匀极化),它是电偶极子,端面极化电荷σ'ΔS.有V=lΔScos|P|=|Σpi|/V=(σ'ΔS)l/(lΔScos)σ'=|P|cos=Pcos=P·n某处极化电荷面密度σ'等于该处极化强度P在面法线方向的投影.当<π/2,极化电荷σ'为正;当>π/2,极化电荷σ'为负;(2)整体关系某闭合曲面所包围的极化电荷.便于理解,以平行板电容器内充满各向同性均6.5匀介质为例.电容器充电后,介质极化.取柱形闭合面,它包围的极化电荷为PSq'=σ'ΔS=–PΔS=–P·dS=–(++)P·dS=–P·dS三.介质中的高斯定理1.介质中的电场外场E0,极化电荷的场E

',合电场E=E0+E

'2.介质中的高斯定理

E·dS=Σqint/ε0=(q0+q')/ε0=(q0–P·dS)/ε0ε0E·dS+P=q03.电位移矢量(1)定义D=ε0E+P描述静电场的辅助物理量

D·dS=Σq0int过闭合曲面的电位移通量等于曲面内自由电荷的代数和说明:①电位移矢量不仅取决于曲面内的自由电荷,还取决于曲面外的自由电荷,而且与整个空间的极化电荷有关;②过闭合曲面D的通量只与曲面内的自由电荷有关.(2)电位移线(D线)①起于正自由电荷,终于负自由电荷；②不闭合,不相交,连续.单位:C/m26.6(3)电位移线与电场线的区别以充电后的其间放各向同性均匀电介质的平行板电容器为例说明E

线D

线一般情况E线D线不平行,当介质为各向同性介质时E线D线平行.4.

D,E,P间的关系(1)普遍关系D=ε0E+P(2)各向同性介质中的关系①

D,E,P的关系实验指出,在各向同性介质中P与E成正比:P=ε0χE②电极化率χ只与介质有关,D=ε0E+P=ε0E+ε0χE=ε0(1+χ)E是一个无量纲的纯数.③相对电容率εrεr=1+χ与介质有关的无量纲的纯数.=ε0εrE④电容率εε=ε0εr=εE与介质有关的量.⑤真空中的χ,εr,

εχ=0,

εr=1,ε=ε0.轴的半径为R2的薄导体圆筒之间充以相对电容率为r的介质,设直导体圆柱和导体圆筒沿轴线的线电荷密度分别为+和－.求(1)介质中电场强度,电位移和极化强度;(2)电介质内外表面极化电荷面密度.例1半径为R1的直导体圆柱和同R1rR2lrS第7次课静电场中的电介质(续)

电容

静电场的能量解:(1)由于导体柱对称,得电荷柱对称,作同轴高斯面,有

D·dS=Σq0int0+0+2πrlD=λlD=λ/(2πr)电介质中场强R1<r<R2E=D/(ε0εr)=λ/(2πε0εrr)极化强度为P=ε0χE=ε0(εr–1)E介质表面极化电荷面密度值=(εr–1)λ/(2πεrr)(2)介质表面处极化强度为D,E,P的方向均垂直轴线沿径向向外.r=R1P1=λ(εr–1)/(2πεrR1)r=R2