离散傅里叶变换(DFT)武汉理工大学数字信号处理

第4章离散傅里叶变换（DFT）DiscreteFourierTransform引言对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为：（1）无限长序列：

n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~

0

（2）有限长序列：

0≤n≤N-1有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。1.傅里叶变换的几种形式傅里叶变换：

建立以时间为自变量的“信号”

以频率为自变量的“频谱”函数.“时间”或“频率”取连续还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。存在四种不同形式的傅里叶变换对

四种不同傅里叶变换对（1）傅里叶变换(FT)：连续时间,连续频率的傅里叶变换（2）傅里叶级数(FS)：连续时间,离散频率的傅里叶变换（3）序列的傅里叶变换(DTFT)：离散时间,连续频率的傅里叶变换（4）离散傅里叶变换(DFT)：离散时间,离散频率的傅里叶变换假定数字频率为w,模拟频率为。一、非周期连续时间信号的傅里叶变换非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。正变换：逆变换：条件：以下变换对可以看出（1）时域连续函数造成频域是非周期的谱,（2）时域的非周期造成频域是连续的谱.二、周期连续时间信号的傅里叶变换周期连续时间信号非周期离散频谱密度函数。

周期为Tp的周期性连续时间函数xa(t)可展成傅里叶级数X(mΩ),是离散非周期性频谱,表示为:FS正变换：反变换：条件：通过以下变换对可以看出（1）时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数（2）频域的离散频谱与时域的周期时间函数对应

(频域采样，时域周期延拓)三、非周期离散信号的傅里叶变换非周期离散的时间信号得到周期性连续的频率函数。正变换：反变换：其中w是数字频率，它和模拟角频率的关系为w=T取样频率与取样周期T的关系：取样的数字频率为（1）时域的离散造成频域的周期延拓

,（2）时域的非周期对应于频域的连续

.

四、周期离散信号的傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的。因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.周期性离散时间信号从上可以推断：（1）周期性时间信号可以产生频谱是离散的（2）离散时间信号可以产生频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。其中正变换：反变换：四种付里叶变换形式的归纳2.离散付里叶级数(DFS)周期性序列的离散傅里叶级数(DFS)有限长序列的离散傅里叶变换(DFT).由DFS引出DFT的定义有限长序列的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，简写为DFT。DFT可以按3个步骤由DFS推导出来：①将有限长序列延拓成周期序列；②求周期序列的DFS；③从DFS中取出一个周期便得到有限长序列的DFT。DFS定义设为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:正变换反变换其中:

DFS离散付里级数的推导意义(1)用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。(2)如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS.由非周期连续时间信号推出DFSx(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS.x(t)t取样x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采样X(ejw)w周期性连续时间信号函数周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。x(t)X(ejw)tw采样x(n)nDFS非周期离散时间信号非周期离散时间信号经过序列傅里时变换(即单位园上的Z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采样推导DFS正变换由第三种傅里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。非周期信号x(n),其DTFT(单位园上Z变换)为其为周期连续频谱密度函数，对其频域进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为即得出DFS的正变换：得到各抽样频点频率为：代入DTFT式子中，这时由于抽样，信号变成周期离散信号，得DFS的反变换解：已知两边同乘以,并对一个周期求和根据正交定理用n替换r,可得：即得：设x(n)为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:正变换反变换离散付里叶级数的性质可以由抽样Z变换来解析DFS，它的许多性质与Z变换性质类似。它们与Z变换主要区别为：(1)与两者具有周期性，与Z变换不同。(2)DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系。它们主要性质分为：线性、序列移位(循环移位)、调制性、周期卷积和假设令和皆是周期为N的周期序列，它们各自的DFS为线性其中a,b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。序列移位(循环、移位)（1）时域证明：令

i=n+m,得调制性（2）频域证明：

时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。时域卷积

周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积过程限在一个周期内称为周期卷积。频域相乘等于时域卷积（指周期卷积）。

频域：则有：相乘时域卷积证明：代入：则：频域卷积时域：相乘周期卷积频域：3.离散付里叶变换周期序列实际上只有有限个序列值才有意义,因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列,这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT).时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓;频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓要把DFS的定义式两边（时域、频域）各取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对.

这就是数字信号处理课程里最重要的变换

-------离散傅里叶变换(DFT).

DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识

1.余数运算表达式如果，

m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。例如：

(1)(2)先取模值，后进行函数运作;而 视作将周期延拓。2.二.有限长序列x(n)和周期序列的关系周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。三.周期序列与有限长序列X(k)的关系同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。四.从DFS到DFT从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。或者：DFT定义正变换反变换X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。在离散傅里叶变换关系中,有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示,都隐含有周期性意义.例DFT涉及的基本概念1.主值(主值区间、主值序列)2.移位(线性移位、圆周移位)3.卷积(线性卷积、圆周卷积)4.对称(序列的对称性、序列的对称分量)5.相关(线性相关、圆周相关)1.主值(主值区间、主值序列)主值区间：设有限长序列x(n),0≤n≤N-1,将其延拓为周期序列,周期序列长度为N,则第一个周期n=0到n=N-1的区间称为主值区间.主值序列:设有限长序列x(n),0≤n≤N-1,将其延拓为周期序列,周期为N,则主值区间内的序列x(n)=,0≤n≤N-1,即为主值序列。返回2.移位线性移位：序列沿坐标轴的平移.圆周移位：将有限长序列x(n)以长度N为周期,延拓为周期序列,并加以线性移位后,再取它的主值区间上的序列值,m点圆周移位记作:其中((...))N

表示N点周期延拓.(1)有限长序列圆周移位的实现步骤

从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位循环移位等同于圆周位移

由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把

排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于

在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6(2)例子121310.5(1)周期延拓：N=5时nx(n)2131x(n)0.521310.51120.5n(2)周期延拓：N=6时，补零加长2131x(n)0.521310.51123n321310.5nx(n)(3)M=1时，左移(取主值)131x(n)0.52(4)M=-2时，右移(取主值)2131nx(n)0.5n返回

3.卷积卷积在此我们主要介绍：(1)线性卷积(2)圆周卷积(3)圆周卷积与线性卷积的性质对比(1)线性卷积线性卷积定义：有限长序列

x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),

0≤n≤N2-1则线性卷积为

注意:线性卷积结果长度变为N1+N2-1.(2)圆周卷积令则圆周卷积结果长度不变,为N.圆周卷积的实现步骤例线性卷积与圆周卷积步骤比较231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3得到线性卷积结果的示意图14265ny(n)2014830

54321

12315129631086425432151426201483N=7231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3（1）圆周卷积：(N=7)补零加长

231x(k)540N=7k213h(k)k0N2=3231h(k)0k(2)圆周卷积需进行周期延拓，而线卷积无需周期延拓：圆卷积的反折(并取主值区间）：231231231h(-k)k0(3)平移0231h(1-k)k（4）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26231x(k)540N=7kx(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231h(-k)k(5)相加得到圆周卷积的示意图14265ny(n)2014830可见,线性卷积与圆周卷积相同(当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时)用图表求解圆卷积

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=7点的圆卷积。解：（1）将x(n)补零加长为x(k)={5,4,3,2,1,0,0},（2）将h(n)补零加长至N=7，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,0,0,3,2}（4）作图表结果同上。若圆周卷积取长度为N=5,则求圆周卷积231x(k)540N=5k231h(-k)k0求得圆周卷积x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圆卷积与线卷积不同.171326y(n)n02014用图表求解圆卷积

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=5点的圆卷积。解：（1）x(n)无需补零加长x(k)={5,4,3,2,1},（2）将h(n)补零加长至N=5，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,3,2}（4）作图表1713262014y(n)n0(3)圆周卷积与线性卷积的性质对比

圆周卷积在信号处理中的应用重叠相加法重叠保留法返回4.对称分为：(1)序列的对称性(2)序列的对称分量(1)序列的对称性(a)奇对称(序列)和偶对称(序列)(b)圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列)(c)共轭对称(序列)和共轭反对称(序列)(d)圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列)返回(a)奇对称(序列)和偶对称(序列)称x(n)与-x(-n)互为奇对称。满足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)称为奇对称序列。称x(n)与x(-n)互为偶对称

;

满足xe(n)=xe(-n)

的序列xe(n)称为偶对称序列例子0xe(n)n0x(n)n0y(n)=x(-n)nx(n)与y(n)互为偶对称为偶对称序列0x(n)n0x(-n)n互为奇对称0xo(n)n为奇对称序列(b)圆周奇对称和圆周偶对称序列

长度为N的有限长序列x(n)与y(n)=-x((-n)NRN(n)互为圆周奇对称.长度为N的有限长序列x(n),若满足x(n)=-x((-n))NRN(n),则x(n)是圆周奇对称序列.长度为N的有限长序列x(n)与y(n)=x((-n)NRN(n)互为圆周偶对称.长度为N的有限长序列xe(n),,若满足x(n)=x((-n))NRN(n)则是圆周偶对称序列.

圆周偶对称(序列)周期延拓圆周奇对称(序列)周期延拓(c)共轭对称(序列)和共轭反对称(序列)

序列x(n)与y(n)=x*(-n)互为共轭对称.

共轭对称序列是满足xe(n)=x*e(-n)的序列xe(n),对于实序列来说,变成xe(n)=xe(-n),即为偶对称序列.序列x(n)与y(n)=-x*(-n)互为共轭反对称.

共轭反对称序列是满足xo(n)=-x*o(-n)的序列,

对于实序列来说,即为xo(n)=-xo(-n)奇对称序列.(d)圆周共轭对称(序列)和圆周共轭

反对称(序列)

N点有限长序列x(n)与x*((-n)NRN(n)互为圆周共轭对称.圆周共轭对称序列是满足

xep(n)=xep*((-n)NRN(n)

即xep(n)的模是

圆周偶对称,辐角是圆周奇对称(或说实部圆周偶对称,虚部圆周奇对称).

即把xep(n)看成分布在N等分的圆上,在n=0的左半圆与右半圆上,序列是共轭对称的。圆周共轭对称(序列)的例子虚部实部实部圆周偶对称,虚部圆周奇对称圆周共轭反对称(序列)圆周共轭反对称序列是满足

xop(n)=-xop*((-n)NRN(n)

的序列.

即xop(n)的模是圆周奇对称,辐角是圆周偶对称(或说实部圆周奇对称,虚部圆周偶对称).

即把xop(n)看成分布在N等分的圆上,在n=0的左半圆与右半圆上,序列是共轭反对称的。圆周共轭反对称(序列)例子实部虚部实部圆周奇对称,虚部圆周偶对称返回(2)序列的对称分量(a)奇对称分量和偶对称分量(b)圆周奇对称分量和圆周偶对称分量(c)共轭对称分量和共轭反对称分量(d)圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量(a)奇对称分量和偶对称分量x(n)为任一序列(实或纯虚序列),x(n)总能表示成一个奇对称序列xo(n)和一个偶对称序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).其中,xo(n)奇对称序列称为x(n)的奇对称分量;xe(n)偶对称序列称为x(n)的偶对称分量.看出这样得到的xo(n)

和xe(n)分别满足奇对称和偶对称的条件,且二者之和为x(n)。说明若x(n)为有限长序列且0≤n≤N-1,则xo(n)与xe(n)点数长度

均为(2N-1).区别于奇对称(序列)和偶对称(序列).(b)圆周奇对称分量和圆周偶对称分量

x(n)是长度N的有限长序列,可表示成一个圆周奇对称序列xop(n)和一个圆周偶对称序列xep(n)之和，即x(n)=xep(n)+xop(n).其中xop(n)称为x(n)的圆周奇对称分量;xep(n)称为x(n)的圆周偶对称分量.

看出满足圆周奇对称和圆周偶对称的条件,且二者之和为x(n).说明此时xo(n)与xe(n)均为有限长序列0nN-1.区别于圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列).(c)共轭对称分量和共轭反对称分量

x(n)能表示成共轭对称序列xo(n)和共轭反对称序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).

其中,xo(n)又称为x(n)的共轭反对称分量;

xe(n)又称为x(n)的共轭对称分量.看出xo(n)

和xe(n)分别满足奇对称和偶对称的条件,且二者之和为x(n)。

(d)圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称

分量

x(n)是长度为N的有限长序列,可表示成一圆周共轭反

对称序列xop(n)和一圆周共轭对称序列xep(n)之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n).其中xop(n)称为x(n)的圆周共轭反对称分量;

xep(n)称为x(n)的圆周共轭对称分量看出满足圆周奇对称和圆周偶对称的条件,且二者之和为x(n).返回5.相关(1)线性相关(2)圆周相关(1)线性相关设有限长序列则线性相关定义为线性相关结果长度变成N1+N2-1(2)圆周相关设有限长序列则x1(n)与x2(n)N点圆周相关定义为注：圆周相关结果长度不变为N。离散付里叶变换的性质在由DFS引出DFT的过程中我们知道，DFT本质上是和周期序列的DFS概念紧密相关的，因而它们在性质上有着极大的相似，并由DFT隐含周期性（对应于DFS的显式周期性）所保证。假定x1(n）,x2(n)都是列长为N的有限序列，它们的离散付里叶变换分别为：

X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]（1）线性x1(n),x2(n)的线性组合有：其中a,b为任一常数，本性质可由定义直接证明。证：线性说明如果x1(n)和x2(n)长度皆为N,即0≤n≤N-1范围有值,则aX1(k)+bX2(k)的长度也是N;若x1(n)和x2(n)长度不等,设x1(n)长度为N1,x2(n)长度为N2,则ax1(n)+bx2(n)的长度应为N=max[N1,N2],故DFT必须按长度N计算。若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变成长度为N序列,然后都作N点的DFT.(2)离散傅里叶变换的另一公式(3)反转定理若x(n)的离散傅里叶变换为X(k),

则x(-n)的离散傅里叶变换为X(-k).(4)序列的总和列长为N的时间序列x(n)中各取样值的总和等于其离散傅里叶变换X(k)在k=0时的值(5)序列的初值若序列的离散傅里叶变换为X(k),则对应的时间序列x(n)为频谱序列各取样值X(k)的总和除以N，(6)延长序列的离散傅里叶变换这意味着，g(n)的频谱G(k)与x(n)的频谱X(k)是相对应的，只不过G(k)的频谱间隔比X(k)的频谱间隔降低k/r。即若把序列x(n)填充零值而人为的加长再进行离散傅里叶变换，可以得到频谱更加细致。若增加的长度并非N的整数倍，得到离散傅里叶变换G(k)的谱线为X(k)多。(7)时间移位设N点有限长序列x(n)

DFT[x(n)]=X(k)

则DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k)说明：（1）本性质描述了有限长序列时域移位后频域的变化规律.（2）只有采用圆周移位这一能体现DFT的隐含周期性的移位方式,才能得到本性质所描述的结果.证：时移--平移(8)频域移位设频域N点，有限长序列X(k)

则本性质与时域移位性质成对偶关系.本性质又称调制特性,时域的调制等效于频域移位.注意是圆周移位

.由此性质可得出时域、频域调制的两个公式。应用--时域调制公式时域调制频域移位

(9)圆周卷积定理时域卷积--->频域相乘频域卷积--->时域相乘与其他变换（FT/L/Z)的卷积定理相似的.

但由于DFT隐含的周期性,卷积必须是圆周卷积才有此性质.注意第二个关系中的系数,不要忽略。线卷积和圆卷积步骤比较线卷积：反折、平移、相乘、积分（或相加）圆卷积：周期化、反折、平移、相乘、相加(11)圆周相关定理设x1(n)对x2(n)的互相关为Rx1x2(n),则有：不要弄错关系式中x1(n)，x2(n)及X1(k),X2(k)的顺序.相关定理不满足交换律,这点和卷积定理不同!有限长序列的相关运算可分为圆相关（循环相关)与线相关两种形式通常可借助于圆相关求线相关。（复习)卷积离散线卷积：离散圆卷积：离散线相关：离散圆相关：卷积与相关不同：y是共轭且y中为m-n,卷积与次序无关而相关与次序有关。

(11)对称性质DFT的对称性质较为复杂,归为以下三类:1.共轭与圆周共轭对称在时频域的对应关系;2.实(虚)部与圆周共轭对称(反对称)分量在时

频域的对应关系;3.时域为实序列时对应DFT特征;在以上对称性质的基础上,可归纳总结出x(n)与X(k)的奇、偶、虚、实关系,利用这些关系,可减少计算DFT时的运算量。1.共轭与圆周共轭对称在时频域的对

应关系

设x(n)为N点有限长序列,0≤n≤N-1则有：

关系1

关系2

关系3返回关系1时域x(n)取共轭

,对应于频域X(k)取圆周共轭对称.若x(n)本身是实序列,对应于频域X(k)就是圆周共轭对称序列;反之亦然.原序列序列共轭频域圆周共轭原序列为实序列，其频域为圆周共轭对称序列证明返回关系2时域x(n)取圆周偶对称,对应于频域X(k)也取圆周偶对称.若x(n)本身是圆周偶对称序列,对应频域X(k)也是圆周偶对称序列;反之亦然.证明解释：设有限长N序列为x(n)=xe(n)+xo(n)已知时域x(n)取圆周偶对称,则有：对应于频域X(k)也取圆周偶对称.如果x(n)是圆周偶对称序列，即只有xe(n)分量，则X(k)当然也是圆周偶对称序列。关系3此关系与关系1成对偶关系.频域X(k)取共轭,对应于时域x(n)取圆周共轭对称.若X(k)是实序列,则对应时域x(n)是圆周共轭对称序列;反之亦然.原序列序列时域圆周共轭对称序列频域共轭对称原序列为实序列，其频域为圆周共轭对称序列序列取圆周偶对称，其频域为圆周偶对称序列返回2.实(虚)部与圆周共轭对称(反对称)分量在

时频域的对应关系设x(n)为N点有限长序列0≤n≤N-1则有

关系1

关系2

关系3返回关系1时域x(n)取实部,对应频域取X(k)的圆周共轭对称分量.若x(n)本身是实序列,那么由于因而对应频域X(k)是圆周共轭对称序列;反之亦然.返回关系2时域x(n)取虚部并加权j,对应频域取X(k)的圆周共轭反对称分量.若x(n)本身是纯虚序列,那么X(k)返回关系3说明：（1）对时域x(n)取圆周共轭对称分量(xep(n)),即对频域X(k)取实部；（2）对时域x(n)取圆周共轭反对称分量(xop(n)),即对频域X(k)取虚部加权j；（3）若X(k)本身是实序列，则时域x(n)是圆周共轭对称序列；（4）若X(k)本身是纯虚序列，则时域x(n)是圆周共轭反对称序列；反之亦然。返回3.时域是实序列时对应DFT特征设x(n)为长度为N的有限长实序列,

0≤n≤N-1,DFT[x(n)]=X(k)有以下几个特征：（5个）特征1X(k)=X*((N-k))NRN(k)说明：（1）x(n)的DFT[X(k)]是圆周共轭对称序列。

（2）是实（虚）部与圆周共轭对称（反对称）

分量在时域、频域的对应关系。特征2Re[X(k)]=Re[X((N-k))N]RN(k)说明：

X(k)的实部是圆周偶对称序列。特征3Im[X(k)]=-Im[X((N-k))N]RN(k)说明：

X(k)的虚部是圆周奇对称序列。特征4|X(k)|=|X((N-k))N|RN(k)说明：

X(k)的模是圆周偶对称序列。特征5arg[X(k)]=-arg[X((N-k))N]RN(k)说明：

X(k)的相角是圆周奇对称序列。

返回4.序列及其DFT的奇偶虚实关系由上对称性质基础上，可归纳总结出x(n)与X(k)的奇、偶；虚、实关系，利用这些关系，可以减少计算DFT的运算量。下面总结归纳出有限长序列及其DFT的奇、偶；虚、实关系。这一关系清晰地展示了时域序列的奇、偶；虚、实特性与频域序列的奇、偶；虚、实特性是如何对应的。(1)奇、偶；虚、实的含义所谓奇,偶,虚,实的含义如下:奇----指序列是圆周奇对称序列偶----指序列是圆周偶对称序列虚----指序列是纯虚序列实----指序列是实序列(2)奇偶虚实关系表(13)DFT形式下的帕塞瓦尔定理（Parseval’sTheorem)说明：（1）DFT形式下的帕塞瓦尔定理

(Parseval‘s,Theorem)(2)需令y(n)=x(n),再两边取模，便得到明确物理意义的能

量计算公式。证明DFT性质一览表1DFT性质一览表2抽样z变换频率抽样理论时域抽样定理

奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。即或抽样内插公式即由信号的抽样值xa(mT)经此公式而得到连续信号xa(t).主要内容（1）z变换与DFT的关系（抽样z变换），并引出抽样z变换的概念，讨论频域抽样不失真条件。（2）频域抽样理论（频域抽样不失真条件）（3)频域内插公式1、z变换与DFT关系

（1）引入FT引出DFT定义式。DFT看作是序列的傅里叶变换在频域抽样后的变换对.序列的傅里叶变换是单位圆上的Z变换.对DTFT进行频域抽样时,自然可以看作是对单位圆上的Z变换进行抽样.(2)推导w是单位圆上各点的数字角频率.Z变换的定义式(正变换):取z=ejw

代入,得到单位圆上Z变换为则这正是离散傅里叶变换(DFT)正变换定义式.再抽样--N等分抽样间隔w=2kπ/N,即w值为0,2π/N,4π/