田凌清华大学机械制图6投影变换

投影变换6内容6.1换面法6.2旋转法26.1换面法O1OVHABa'abb'

投影变换的原理极其易懂。但要因题而异、灵活运用，其方法是变化多端的。

P1

a1b1

研究如何改变空间几何元素与投影面的相对位置，借助所得到的新投影进行简便地图解作图。使空间几何元素与投影面处于有利解题的位置，简化作图。

例如，求一般位置直线的实长，可用直角三角形法，也可用投影变换完成(换面法或旋转法)。P1∥ABP1Ha1b1=ABXX16.1.1投影变换的目的34O1OVHABa'abb'

P1

a1b1XX16.1.2换面法的概念换面法—空间几何元素的位置保持不变，用一新的投影面替换原有的某一投影面，使得几何元素对新的投影面处于有利解题的位置。6.1.3选择新投影面的原则有利于解题

如：新投影面∥(or⊥)几何元素

(应熟练掌握特殊位置几何元素的特性)新投影面须垂直某一原投影面新投影面新投影轴新投影展平方法：新投影面P1绕O1X1轴向外旋转90°

再随H面绕OX轴向下旋转90°被替换投影56.1.4点的换面一次换面.aa'

XaxO

HX1P1a1.aX1

新、旧投影的关系：

aa1

⊥O1X1轴

a1aX1=a'ax(新投影与新轴的距离等于被替代的投影与原轴的距离同时向两轴的外侧度量)二次换面

a1a2⊥O2X2轴

a2aX2=aaX1P1P2X2

.a2aX2VHP1HP2P1O1O2

6一般位置直线变换成投影面平行线a'O

空间：P1∥直线投影：O1X1轴∥直线的某投影新投影：反映直线的实长及某倾角a

X

bb'VHX1HP1a1b1L6.1.5四个基本问题

一般位置直线→平行线一般位置直线→垂直线一般位置平面→垂直面一般位置平面→平行面O1结论：一般位置直线变换成投影面平行线—变换一次即可7X2

P2P1a2≡b2空间：P1∥直线，且P1⊥H投影：O1X1轴∥直线的某投影新投影：反映直线的实长及某倾角实际大小一般位置直线变换成投影面垂直线对于投影面平行线：空间：P2⊥直线，且P2⊥P1投影：O2X2轴⊥直线的某投影新投影：积聚为一点O2a'O

a

X

bb'VHX1HP1a1b1LO1结论：一般位置直线变换成投影面垂直线—变换两次，即：一般位置直线→投影面平行线→投影面垂直线8一般位置平面变换成投影面垂直面XOa'c'b'abc1'1VHX1HP1a1,11b1c1空间：P1⊥面，且P1⊥H投影：O1X1轴⊥面上投影面平行线反映实长的投影新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面)

且反映平面的某倾角实际大小O1结论：一般位置平面变换成投影面垂直面—变换一次即可面的投影变换，应以面上的某一条线为主。当该线⊥某投影面时，则此面在该投影面上的投影积聚为一直线。为简化作图，此线应为面上一投影面平行线。9一般位置平面变换成投影面平行面X

Oa'c'b'abc1'1VHX1HP1a1,11b1c1空间：P1⊥面(且P1⊥H)投影：X1轴⊥面上投影面平行线反映实长的投影新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面)X2

P1P2b2a2c2△实形空间：P2∥面(即P2⊥P1)投影：O2X2轴∥积聚为线的投影新投影：反映图形的实际形状、及夹角实际大小(平行面)O1O2结论：一般位置平面旋转成投影面平行面—旋转两次10例：求已知直线与平面的夹角θ的实际大小。m’n’nm步骤1：求MN与△ABC的交点K(求交)过M作MD⊥△ABC求MD与△ABC的交点L(求交)求∠MKL(△MKL)的实形即θa'c'b’abc1’122’d’de’e步骤2：过M作MD⊥△ABC求∠NMD(△MND)的实形

θ与∠NMD互为余角步骤3：换面法?如何换?换几次?11例：求已知直线与平面的

夹角θ的实际大小。m’n’nma'c'b’abc1’1b1O1

OX1HP1

a1,11c1

m1

n1XVH步骤1：求MN与△ABC的交点K(求交)过M作MD⊥△ABC求MD与△ABC的交点L(求交)求∠MKL(△MKL)的实形即θ步骤2：过M作MD⊥△ABC求∠NMD(△MND)的实形

θ与∠NMD互为余角步骤3：换面法?换几次?

如何换?

新投影面应垂直于平面、且平行于直线！此时线面夹角反映实际大小。12.例：求两异面直线的距离。a'c'b'abcdd'OVHHX1P1a1b1c1d1P1P2

X2c2,d2a2b2l2k2k1l1l2k2

为距离实长。l1的位置？KL为何种位置线？分析：只需将其中的一条直线变换为投影面垂直线即可。继续，返回到原投影！XKL为P2的平行线！k1l1//O2X2轴。O1

O2

13例：试检查空间点A绕O-O轴(正平线)旋转时会不会与平面BCDE相碰撞（作图说明）。VHXOX1P1

VO1o1≡o1

g’gf’fl1

k1

a1f1

g1

此题2解分析：点A的旋转轨迹为垂直于o’o’的圆该圆的正面投影积聚为与o’o’垂直的直线该圆的水平投影为椭圆，无法直接画出步骤：作轨迹圆与已知平面的交线FG(过a’

作o’o’的垂线)

换面，将O-O轴积聚为一点(其余见图自明，不赘述)

若点A与平面相碰，其正面投影必在该面上且与o’o’垂直的直线上（即轨迹圆与已知平面的交线）换面法的概念选择新投影面的原则换面法的四个基本问题要点小结14156.2.1旋转法的概念旋转法—投影面保持不动，而使空间几何元素绕某一轴线旋转，使得几何元素对投影面处于有利解题的位置。6.2.2旋转的五要素旋转轴旋转半径旋转平面旋转对象LSORA旋转中心旋转平面⊥旋转轴

旋转轴

旋转中心

旋转半径

旋转平面

旋转对象6.2旋转法16旋转轴垂直于某一投影面—绕垂直轴旋转(简称旋转法)旋转轴相对于投影面的位置：旋转轴平行于某一投影面—绕水平轴旋转176.2.3绕垂直轴旋转点A绕垂直于H面的轴L旋转：Va'Aa1'

A1aa1θLl'O

o'aa1θla'a1'

l'o'θ点的旋转结论：

水平投影:点绕o转一θ角到点a1

正面投影：点a’沿水平线移至点a1’≡ol当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，其运动轨迹：在该投影面上的投影为一圆在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线

≡o18a1la1'

l'直线的旋转θθb1'

aa'b'bb1θ直线AB绕垂直于H面的轴L旋转一θ角：

结论：

水平投影:点a、b绕l转相同的角度θ到点a1、b1

正面投影：点a’、b’分别沿水平线移至点a1’、b1’当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：其在该投影上的投影长度不变其对该投影面的夹角保持不变△abl≌△a1b1l注意“三同“:·

同轴·同方向·同角度19a1la1'

l'平面图形的旋转θθb1'

b1θ△ABC绕垂直于H面的轴L旋转一θ角：

结论：

水平投影:点a、b、c绕l转相同的角度θ到点a1、b1、c1

正面投影：点a’、b’、c’分别沿水平线移至点a1’、b1’、c1’当一直线绕垂直于某一投影面的轴旋转时：其在该投影面上的投影形状、大小保持不变其对该投影面的夹角保持不变△abc≌△a1b1c1θ

c1'

aa'b'bc'

cc120一般位置直线旋转成投影面平行线例：将一般位置直线AB旋转成正平线。6.2.4四个基本问题

一般位置直线→平行线一般位置直线→垂直线一般位置平面→垂直面一般位置平面→平行面a1la1'

l'≡b1'

≡b1aa'b'bα选择旋转轴L垂直于H面—以改变直线AB与V面的相对位置选择旋转轴L通过端点B—简化作图过程结论：一般位置直线旋转成投影面平行线—旋转一次即可a1’b1’等于直线段AB的实长!

α

等于直线与H面夹角的真实大小a1b1平行于OX轴La1b1=LabA1B1为正平线21a1l1a1'

l1'≡b1'

≡b1aa'b'b一般位置直线旋转成投影面垂直线b2'

≡a2'

≡a2≡b2l2l2'La2’b2’=La1’b1’a2≡b2A2B2为铅垂线例：将一般位置直线AB旋转成铅垂线。选择旋转轴L1过点B並垂直于H面—将AB旋转成正平线A1B1结论：一般位置直线旋转成投影面垂直线—旋转两次，即：一般位置直线→投影面平行线→投影面垂直线选择旋转轴L2过点A1並垂直于V面—将正平线A1B1旋转成铅垂线A2B2a2’b2’⊥OX22a1ll'b1k1'

aa'b'bc'

ck'ka1'

b1'

≡c1'

≡c1θ

≡k1一般位置平面旋转成投影面垂直面k1’c1’⊥OX轴a1b1c1

为一直线△k’b’c’≌△k1’b1’c1’△k’b’c’≌△k1’b1’c1’例：将一般位置平面ABC旋转成铅垂面。选择旋转轴L垂直于V面—以改变直线AB与H面的相对位置作面上正平线CK、並选择旋转轴L通过顶点C—简化作图过程结论：一般位置平面旋转成投影面垂直面—旋转一次即可A1B1C1

为铅垂面23一般位置平面旋转成投影面平行面a1ll'b1k1'

aa'b'bc'

ck'ka1'

b1'

≡c1'

≡c1θ

≡k1a2≡b2≡b2'

≡c2'

c2a2'

La2b2

=La1b1△a2’b2’c2’为△ABC的实形！l2’l2a2b2平行于OX轴例：将一般位置平面ABC旋转成正平面。作面上正平线CK、选择旋转轴L1通过顶点C、並垂直于V面—将CK旋转成铅垂线、从而将ABC旋转成铅垂面A1B1C1选择旋转轴L2通过顶点B1、並垂直于H面—将铅垂面A1B1C1旋转成正平面A2B2C2结论：一般位置平面旋转成投影面平行面—旋转两次，即：一般位置平面→投影面垂直面→投影面平行面A2B2C2为正平面246.2.5不指明轴旋转法a1b1k1'

aa'b'bc'

ck'ka1'

b1'

c1'

c1≡k1a