材料力学第七章应力应变分析强度理论-正式

1第七章应力应变分析强度理论2

§7-1

应力状态概述

§7-2

二向应力状态分析-解析法§7-3二向应力状态分析-图解法

§7-4三向应力状态§7-5

广义胡克定律§7-6复杂应力状态的应变能密度§7-7

强度理论概述§7-8

四种常用强度理论3

§7-1

应力状态概述一、应力状态的概念

请看下面动画1.低碳钢和铸铁的拉伸实验

2.低碳钢和铸铁的扭转实验

4

低碳钢?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

铸铁

低碳钢和铸铁的拉伸5?为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？

低碳钢和铸铁的扭转

低碳钢

铸铁6

（1）拉中有剪,剪中有拉;

（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;

（3）同一面上不同点的应力各不相同;

（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同3.重要结论哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4.一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌.7二、应力状态的研究方法1.单元体

（2）任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征

3.主单元体各侧面上切应力均为零的单元体

（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布31223184.主平面切应力为零的截面

5.主应力主平面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即3122319

三、应力状态的分类

1.三向应力状态（或称空间应力状态）三个主应力1,2,3

均不等于零2.二向应力状态（或称平面应力状态）三个主应力1,2,3中有两个不等于零3.单向应力状态三个主应力1,2,3中只有一个不等于零31223122111110例题

1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面11S平面254321543211x1x1x2x22233312alSF例题

2画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMzT1312yxzzy4321FSMzTxzy4321314例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz

薄壁圆筒的横截面面积pD′nn（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn15直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p"yＯFNFNd16平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy

和y,yx§7-2

二向应力状态分析-解析法xxyzyxyyxxyxyyx17一、斜截面上的应力1.截面法假想地沿斜截面e-f将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnα18xyaxxyxxyefn

（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正

（2）正应力仍规定拉应力为正

（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正2.符号的确定efaxxyyxyαααnαt19

设斜截面的面积为dA,a-e的面积为dAcos,a-f

的面积为dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos3.任意斜截面上的应力

对研究对象列n和t方向的平衡方程得t20efaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcost21化简前面两个平衡方程，最后得斜截面上的应力：并利用公式：根据切应力互等定理，以代换22对比得即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数23二、最大正应力及方位1.最大正应力的方位令

0和0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.242.最大正应力

将0和

0+90°代入公式

得到max和min

(主应力）

下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角25

（1）当x>y时,0

是x与max之间的夹角

（2）当x<y

时,0

是x与min之间的夹角

（3）当x=y

时,0

=45°,最大主应力的方向可由单元体两相互垂直面的切应力共同指定方向确定。

则确定主应力方向的具体规则如下

若约定|0|<45°即0

取值在±45°范围内26二、最大切应力及方位1.最大切应力的方位

令

1和1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.272.最大切应力

将1和

1+90°代入公式

得到max和min

比较和可见28即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为450。因：比较得：29例题4简支梁如图所示.已知m-m

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa,=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图30因为x

<y

，所以0=27.5°与min对应xAA0131331xyxy例题5图示单元体,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:（1）求

e-f截面上的应力32（2）求主应力和主单元体的方位因为x

<y,所以0=-22.5°与min对应xyxy22.5°1333解:（1）求主平面方位

因为x

=y,且x>0例题6求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45°与max

对应45°

（2）求主应力1=,2=0,3=-13（圆轴扭转的应力状态）（铸铁因抗拉强度低，扭转时沿450螺旋面拉断）34§7-3

平面应力状态分析-图解法

一、莫尔圆（Mohr’scircle）

将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得35

因为x,y,xy皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角变化时,其上的应力

,

在

-直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.圆心的坐标2.圆的半径

此圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔圆36

（1）建

-坐标系,选定比例尺Ｏ二、应力圆作法1.步骤xyxxyxxyyy37DxyO

（2）量取OA=xAD

=xy得D点xAOB=y

（3）量取BD′=yx得D′点yByxD′

（4）连接DD′两点的直线与轴相交于C

点

（5）以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆Cxyxxyxxyyy38

（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

（2）该圆半径为DxyOxAyByxD′C2.证明39三、应力圆的应用

1.求单元体上任一截面上的应力

从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力.DxyOxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyyyefn40DxyOxAyByxD′C20FE2证明：41DxyOxAyByxD′C20FE242

（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB

（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2OCBA432.求主应力数值和主平面位置

（1）主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力1,212DxyOxAyByxD′C20FE2B1A14420DxyOxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位

由CD顺时针转20到CA1

所以单元体上从

x

轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线0确定后,1对应的主平面方位即确定453.求最大切应力G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DxyOxAyByxD′C12A1B1G1G2

因为最大、最小切应力等于应力圆的半径46O例题7从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,

x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,

（1）绘出相应的应力圆

（2）确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力.xyxy解:（1）画应力圆

量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出D点;ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)

以DD′为直径绘出的圆即为应力圆.47

将半径CD

逆时针转动2=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。（2）确定=30°斜截面上的应力E60°（3）确定

=-40°斜截面上的应力

将半径

CD顺时针转2=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力.F80°AD′CBOD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa48

已知受力物体内某一点处三个主应力1,2,3

利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力§7-4

三向应力状态分析3122314913

首先研究与其中一个主平面（例如主应力3所在的主平面）垂直的斜截面上的应力122

用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象2150

主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力、

与3无关,只由主应力1,2

决定

与3所在主平面垂直的斜截面上的应力可由

1,2作出的应力圆上的点来表示12332151

该应力圆上的点对应于与3所在主平面

垂直的所有斜截面上的应力A1O2B

与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由1,3作出的应力圆上的点来表示C3

与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由2,3作出的应力圆上的点来表示52

该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc1212353A1O2BC3结论

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力

该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标154A1O2BC3

最大切应力则等于最大的应力圆的半径

最大切应力所在的截面与2所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45°角.55例题9单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力

因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力。40MPaxyz20MPa20MPa20MPa56

由x,xy

定出D

点由y,yx

定出D′

点

以DD′为直径作应力圆A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa

该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa

根据上述主应力，作出三个应力圆57一、各向同性材料的广义胡克定律

（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定

（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负

（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.xx

§7-6

广义胡克定律yzyxyyxz58x方向的线应变

用叠加原理,分别计算出x,y,z

分别单独存在时,x,y,z方向的线应变x,y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时

单独存在时xyyzzzxxyy59

在x

,y

,z同时存在时,x

方向的线应变x为

同理,在x,y

,z同时存在时,y,z

方向的线应变为

在xy,yz,zx三个面内的切应变为60上式称为广义胡克定律——沿x,y,z轴的线应变

——在xy,yz,zx面上的切应变61

对于平面应力状态（假设z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx623.主应力-主应变的关系

二向应力状态下，设3=0

已知1,2,3;1,2,3为主应变63二、各向同性材料的体积应变123a1a2a3

构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示.

各向同性材料在三向应力状态下的体应变

如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz

变形后的边长分别为

变形后单元体的体积为dx(1+，dy(1+2，dz(1+3V1=dx(1+·

dy(1+2·

dz(1+364体积应变为65K称为体积弹性模量是三个主应力的平均值661.纯剪切应力状态下的体积应变

即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.三向等值应力单元体的体积应变

三个主应力为

单元体的体积应变mmm67

这两个单元体的体积应变相同mmm123dxdydz

单元体的三个主应变为

如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.168

在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x

,y,z

有关,仿照上述推导有

在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.69例题10边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比μ=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力,体积应变以及最大切应力.解:铜块横截面上的压应力aaaF

铜块受力如图所示

变形条件为：zyx12370

联立解得

铜块的主应力为

最大切应力

体积应变为71例题11一直径d=20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩Me=126N·m.在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45°方向的应变

=5.010-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.MeMeA45°x72解:围绕A点取一单元体A13

-45°A73bhzb=50mmh=100mm例题12已知矩形外伸梁受力F1,F2作用.弹性模量E=200GPa,泊松比=0.3,F1=100KN,F2=100KN.

求:（1）A点处的主应变1,2,3（2）A点处的线应变x,

y,zaAF1F2F2l74解:梁为拉伸与弯曲的组合变形.A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.（拉伸）（负）Ax=20

=30

（1）求A点处的主应变1，

2，375

（2）A点处的线应变x,

y,z76

§7-7

复杂应力状态的应变能密度一、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式

1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为

物体在单位体积内所积蓄的应变能.77

将广义胡克定律代入上式,经整理得

用vd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度

用vV

表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度2.三向应力状态下单元体的应变能密度为应变能密度vε等于两部分之和78代之以m

图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.

图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变。因此可通过图（b)求出体积改变能密度。(a)123(b)mmm=(1+2+3)/379图b所示单元体的体积改变能密度80空间应力状态下单元体的应变能密度：单元体的体积改变能密度：单元体的畸变能密度：(a)123即：81一、强度理论的概念1.引言§7-8

强度理论轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件82（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得。

上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态;2.强度理论的概念

是关于“构件发生强度失效起因”的假说.是解决复杂应力状态下强度破坏问题的理论。83

基本观点

构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的，即造成失效的原因与应力状态无关.

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.84

（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）屈服失效材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效

（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.85引起破坏的某一共同因素畸变能密度最大切应力最大线应变最大正应力86三、四个强度理论（1）第一类强度理论—以脆断作为破坏的标志

包括:最大拉应力理论和最大伸长线应变理论（2）第二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志

包括:最大切应力理论和形状改变能（或称畸变能）密度理论87

认为当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.

1.最大拉应力理论（第一强度理论）

基本假说:最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素.

单向拉伸时，脆断破坏的条件:1=b四、第一类强度理论

复杂应力状态下强度条件:1[882.最大伸长线应变理论（第二强度理论）

认为当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.

基本假说:最大伸长线应变1是引起材料脆断破坏的因素.

单向拉伸时，脆断破坏的条件:

复杂应力下：最大伸长线应变:

强度条件:891.最大切应力理论（第三强度理论，也称Tresca屈服准则）

基本假说:最大切应力max是引起材料屈服的因素.

认为当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.

单向拉伸下，屈服条件五、第二类强度理论

在复杂应力状态下一点处的最大切应力为

强度条件

屈服准则902.畸变能密度理论（第四强度理论，也称Mises屈服准则）

基本假说:畸变能密度vd是引起材料屈服的因素.

单向拉伸下,1=

s，2=

3=0，材料的极限值：

强度条件:

屈服准则:91六、相当应力

把各种强度理论的强度条件写成统一形式r

称为复杂应力状态的相当应力.921.适用范围

（2）塑性材料（碳钢、铜、铝等）选用第三或第四强度理论;

（3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;三、各种强度理论的适用范围及其应用

（1）一般脆性材料（铸铁、石料、混凝土、玻璃等）选用第一或第二强度理论;

（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.932.强度计算的步骤

（1）外力分析:确定所需的外力值;

（2）内力分析:画内力图,确定可能的危险截面;

（3）应力分析:画危险截面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;

（4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.94例题13一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D,厚度为d,且

d

远小于D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,[]=160MPa.p（a）Dyzd（b）95

内壁的强度校核

所以圆筒内壁的强度合适.

用第四强度理论校核圆筒内壁的强度′

"

′

"

[]=160MPap=3.6MPa96例题14:试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？最危险97例题15: