晶列晶面指数倒格空间

§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞空间点阵(晶格)定义：晶体的内部结构概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这些点子的总体称为点阵(晶格)。结点：代表结构中相同的位置。每个结点周围的情况都一样，即每个结点都是等价的。基元：一种或数种原子构成的基本的结构单元，结点代表基元中任意的点子，通常代表基元的重心。点阵学说概括了晶体的周期性点阵晶体结构基元§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞

布拉菲格子（Bravaislattice）：布拉菲格子是矢量§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞原胞：晶体中最小的周期性重复单元，当平移布喇菲格子所有的格点，将精确地填满整个空间，没有重叠也没有遗漏。一个原胞沿三维方向的重复排列构成晶体。可分为:固体物理学原胞:只要求反映周期性的特征（即只须概括空间三个方向上的周期大小），原胞可以取最小的重复单元，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。结晶学原胞:

周期性和对称性原胞的选取是不唯一的，原则上讲只要是最小周期性单元都可以，但实际上各种晶格结构已有习惯的原胞选取方式。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞WS原胞:

固体物理学原胞并不能反映晶格的全部宏观对称性，为此，威格纳和塞兹提出了另一种原胞，称为威格纳—塞兹原胞，简写为WS原胞。

如图所示，若选定某一格点，从格点出发连接其它邻近的格点并作这些连线的中垂面，则被这些中垂面所围成的多面体就是WS原胞。

显然，WS原胞也只包含一个格点，因此它与固体物理学原胞的体积一样，也是最小周期性重复单元。原胞常取以基矢为棱边的平行六面体，体积为：

上述取法只是原胞的习惯取法，但原则上原胞可以任意多种取法，只要满足是晶体的最小重复单元这个条件。无论如何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞含有一个格点。对有限大的晶体（非理想晶体），所含原胞和格点数相等。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞艾舍尔荷兰著名版画大师§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞定义：（１）布喇菲格子：基元只含有一个原子的晶格，或晶格中每个原子周围情况都一样。（２）复式格子：基元包含两个或两个以上原子的晶格，或晶格中至少有两类原子，其周围情况不一样。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞例：一维布喇菲格子

定义：由一种原子组成的一维无限周期性点列，周期为a。原胞：长为a的一根直线段，原子在其两端点。每个原胞含一个原子。原子晶格物理性质周期性（平移对称性）：

Γ(x+na)=Γ(x)上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物理性质相同。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞例：一维复式格子

定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无限周期性点列，周期为a。晶体由同一种原子构成，但原子周围情况并不相同，亦是复式格子。原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。每个原胞含n个原子。周期性：Γ(x+na)=Γ(x)§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞ABaa我们具体讨论三个具有不同“点对称性”的三维布喇菲格子原胞:(1)简立方(2)体心立方(3)面心立方(1)简立方简单立方晶格的原子在立方体的顶角上，立方单元就是最小的周期性单元，晶格基矢沿三个立方边，长短相等，三个基矢可以写成：a1＝ai,a2=aj,a3=ak

§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞

原胞体积：a3

。

自然界中几乎没有哪一种晶体原子是按简立方排列，却有不少复式格子的晶体可以看作是由简立方结构的子晶格穿套而成的。下面将要介绍的氯化銫结构即为一典型的例子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(2)体心立方

体心立方是一种布拉菲格子，位于顶角和体心上的同种原子是完全等价的，它们具有完全相同的周围环境，实际晶体是立方单元的重复延伸。体心立方晶格的立方体单元不是最小的周期性单元。在体心立方晶格中，可以由一个立方体项点到最近的三个体心得到晶格基矢a1、a2、a3，，以它们棱形成的平行六面体构成原胞。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞原胞的体积为:

Ω=a1

•(a2xa3)=a3/2

为立方单元的一半。体心立方晶格中的一个立方单元体积中，包含有两个原子，因而所构成的平行六面体是最小周期性单元。

a1=a/2(-i+j+k)

a2=a/2(i-j+k)a3=a/2(i+j-k)三个晶格基矢可以写成：

§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞

a1=a/2(i+j)a2=a/2(j+k)a3=a/2(k+i)(3)面心立方

面心立方也是一种布拉菲格子，因为处于面心的原子与处于顶角的同种原子是完全等价的。通常取原胞基矢（如图）为：它们是由一个顶角到同属一个立方单元的三个相邻面心的矢量。容易验证由这三个基矢围成的原胞的体积Ω=a1

•(a2xa3)=a3/4，符合布拉菲格子原胞基矢的要求。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞几种典型的晶体结构（复式格子）(1)氯化钠结构(2)氯化铯结构(3)金刚石结构(4)闪锌矿结构(5)碳60晶体结构§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(1)氯化钠结构（碱金属卤化物晶体）氯化钠NaCl是由氯离子和钠离子结合而成，是典型的离子晶体。它好象是一个立方晶格，但每一行上相间地排列着正钠离子和负的氯离子。

固体物理学原胞基矢就是面心立方的基矢，原胞内包含两个异号离子（氯离子和钠离子）。

注意：不要将这种结构视为原胞边长为a/2的简立方，因为氯离子和钠离子是不等价的。

由氯离子和钠离子组成的两个面心立方晶格，彼此沿立方体边错开a/2的距离而穿套。a为立方体边长。子晶格为面心立方的复式格子晶体结构。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(2)氯化铯结构

氯化铯（CsCl）晶胞是复式格子，与体心立方相仿，只是体心位置为一种离子，顶角为另一种离子。如果把整个晶格画出来，体心位置和顶角位置实际上完全等效，各占一半，正好容纳数目相等的正、负离子。氯化铯结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1/2的长度套构而成，它的固体物理学原胞是简立方（原胞内包含两个异号离子），因此称氯化铯结构为简立方结构。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞注意：按固体物理的观点，复式格子总是由若干相同结构的子晶格互相位移套构而成，说结构，取原胞都是对布喇菲格子而言。因此:氯化钠型的结构是面心立方（而不是简立方）；氯化铯结构是简立方（而不是体心立方）

。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(3)金刚石结构典型的、也是极为重要的晶体结构，因为重要的半导体材料锗和硅就具有这种形式的结构。金刚石结构也可以用一立方单元表达。结构特点：碳原子除去占有立方体的顶角与面心外，还有四个碳原子分别占据四条体对角线上距顶角处，即对角线长度的1/4处，a为立方单元边长。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞每个原子有四个最近邻，这四个最近邻原子处在正四面体的顶角上，这是金刚石结构的一个突出特点。最近邻原子间的距离正好也就是体对角线长度的1/4。金刚石结构并不是布拉菲格子，因为相邻的两个原子虽然相同却并不等价。例如A和A‘原子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞整个晶体结构可看作两个面心立方子晶格沿立方体对角线平移1/4对角线长度相互穿套而成。（位于立方体顶角与面心的原子等价，位于体对角线上的原子也是等价的。）金刚石的布拉菲格子是面心立方结构所以称金刚石的结构是面心立方格子，一个晶胞内包含8个原子。固体物理学原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中包含两个不等价的原子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞1/201/201/201/2003/41/43/41/4原子在金刚石结构立方晶胞中的位置分布图图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(4)闪锌矿（立方ZnS）型结构如果在金刚石结构中，顶角与面心处为硫离子，而在立方单元的内部为锌离子，就形成闪锌矿型结构。闪锌矿型结构为由硫离子和锌离子各自构成的面心立方子晶格沿立方体对角线平移1/4长度相互错开穿套而成。其基由一对硫离子与锌离子组成。许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿型结构。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(5)碳60晶体结构（Fuller烯结构）碳60是20世纪90年代初发现的由60个碳原子结合而成的分子，具有类似于足球形状的笼形结构。分子直径约为10.9纳米。以碳60分子作基形成的晶体相应的空间格子是面心立方。由60个面心立方子晶格穿套而成的复式格子，每个原胞内均包含一个碳60分子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞结构类别基元中原（离）子数点阵子格子数SC结构简单1SC点阵1个格子BCC结构简单1BCC点阵1个格子FCC结构简单1FCC点阵1个格子金刚石结构复式2FCC点阵2个格子NaCl结构复式2FCC点阵2个格子CsCl结构复式2SC点阵2个格子ZnS结构复式2FCC点阵2个格子HCP结构复式2简单六角点阵2个格子ABO3结构复式5SC点阵5个格子§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞AOB3晶体结构（钙钛矿CaTiO3结构）重要的介电晶体具有类似的结构:钛酸钡（BaTiO3

）、锆酸铅（PbZrO3

）等。立方体顶角上是钡，体心是钛、面心上是三组氧。五个简单立方结构子晶格套构而成。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞习题：P41,1（1），（2），（3）结构的致密度：晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.4晶列晶面指数晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。联结任意二个格点的一条直线上包含无限个相同格点，这样的一条直线称为晶列。同一个格子可以形成方向不同的晶列。

每一个晶列定义了一个方向，称为晶向，它的确定依赖于晶体单胞的基矢。

所有与该晶列平行的全同晶列（有无穷多个）的集合称为晶列族。1、晶列和晶列族

晶列族2、标示晶列的方法：

固体物理学原胞基矢表示：

取晶列上的某个原子或格点为原点O

同一列上的另一个原子A的位置矢量可表示为（任一格矢）

Rl=l1a1+l2a2+l3a3

若l1l2l3是互质整数，则［l1l2l3］表征了晶列的方向，称为晶向指数。A§1.4晶列晶面指数结晶学原胞基矢表示a、b、c为坐标系三个轴，任一格矢

a、b、c并非原胞基矢，故m’n’p’并不一定是一组整数；但m’n’p’是有理数，可以取三个互质整数m、n、p,使m:n:p=m’:n’:p’，则［m、n、p］表征了晶列的方向，称为晶列的指数。§1.4晶列晶面指数(0,1,1)(1,0,0)§1.4晶列晶面指数

晶向上原子排列规律相同但空间方位不同的晶向属于同一晶向族，用<uvw>表示。

立方边一共有六个不同的晶向，如图：§1.4晶列晶面指数由于晶格的对称性，晶体在这六个晶向方向上的性质是完全等效的，通常写成<100>。同理，沿立方体对角线的晶向共有8个，统称这些晶向时，写成<111>。

面对角线的晶向共有12个，只注明其中一个的晶向指数，写成<110>。§1.4晶列晶面指数描述一个平面的方位:在一个坐标系中表示出该平面的法线的方向余弦；或者表示出这平面在三个坐标轴上的截距。2、晶面和晶面族

定义:

布喇菲格子的格点还可以看成分布在一系列平面簇上，这个平面簇即晶面，用晶面指数(hkl)表示。§1.4晶列晶面指数

设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为n。这族晶面中，离开原点的距离等于μd的晶面的方程式为晶面的表示选取某一格点为原点，原胞的三个基矢a1、a2、a3为坐标系的三个轴，这三个轴不一定相互正交。μ为整数，x是晶面上任意点的位矢。§1.4晶列晶面指数设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为：ra1、sa2、ta3,依次代入上式就得到：取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位，得：§1.4晶列晶面指数晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。§1.4晶列晶面指数

截距为（r，s，t）的晶面族中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，从而这个晶面族把基矢分别截成个等长的小段。晶面指数与截距的关系

由方程（2）就得到第一晶面满足的方程组：由图可以看出，该晶面系中离原点最近的晶面（μ

＝1）的截距分别是

§1.4晶列晶面指数晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。§1.4晶列晶面指数系数的倒数通常用从原点算起的第一个晶面的截距

使用r.s.t的倒数的互质整数比(h1h2h3)，可以避免当晶面与某轴平行时出现的无穷大。标志这一族晶面，记为称为该族晶面的晶面指数。§1.4晶列晶面指数晶面族的两种标示方法：

晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢a1、a2、a3为坐标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该晶面族的晶面指数。

晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢a、b、c为坐标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的密勒指数。§1.4晶列晶面指数对晶面指数需作如下说明：

h、k、l分别与X、Y、Z轴相对应，不能随意更换其次序。

若某一数为0，则表示晶面与该数所对应的坐标轴是平行的。例如(h0l)表明该晶面与Y轴平行。若截某一轴为负方向截距，则在其相应指数上冠以“-”号。

在晶体中任何一个晶面总是按一定周期重复出现的，它的数目可以无限多，且互相平行，故均可用同一晶面指数（hkl）表示。所以（hkl）并非只表示一个晶面，而是代表相互平行的一组晶面。§1.4晶列晶面指数

h、k、l分别表示沿三个坐标轴单位长度范围内所包含的该晶面的个数，即晶面的线密度（比例关系）。例如，(123)表示在X轴的单位长度内有1个该晶面，在Y轴单位长度内有2个该晶面，而在Z轴单位长度内有3个该晶面，而其中距原点最近的晶面在三坐标轴上的截距为1、1/2、1/3。

在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，这样的一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。§1.4晶列晶面指数例：晶面ABC沿单胞基矢方向的截距分别为4a,b和c，系数倒数比为1/4：1：1＝1：4：4，因而其密勒指数即为。晶面A’B’C’D’的截距为2a,4b与∞c，因而其密勒指数为；晶面EFG的密勒指数则应为§1.4晶列晶面指数

用一组花括号来表示不同指数的等价晶面族例如:｛100｝可以代表立方对称晶体的（100）、（010）与（001）三组等价的晶面族。

｛111｝则可概括立方晶体的四组等价晶面族。§1.4晶列晶面指数§1.4晶列晶面指数上图中所标出的晶面a1b1c1，相应的截距为1/2、1/3、2/3，其倒数为2、3、3/2，化为简单整数为

4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指数为(463)。§1.4晶列晶面指数在立方系中，晶面族中所包含的各晶面其晶面指数的数字相同，但数字的排列次序和正负号不同。如图所示，在立方系中：

{100}包括：（100）、（010）、（001）；

{110}包括：

{111}包括：§1.4晶列晶面指数六方密堆积结构与单胞示意ABAB§1.4晶列晶面指数六方晶系的一些晶向指数与晶面指数

晶体中一些晶面的密勒指数密勒指数简单的晶面如（100）、（010）之类，它们面上的原子聚集的密度较大，而晶面间的距离也较大。原子聚集密度较大的晶面，它们之间的距离较大，结合力较弱，因而容易分裂开，这样的晶面称为解理面。一般而言，低指数的晶列与晶面都是比较重要的。§1.4晶列晶面指数§1.5倒格空间

在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物理学中也是一个贯穿始终的概念：

在研究晶体结构时，必须分析X射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射；在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶体中传播；在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。

波是在晶体中传播的，所以必然受制于晶体的结构，与晶体的对称性密切相关，包括我们后面就要讨论的各种平移、旋转、镜反射对称性。本节内容在K空间看晶体结构倒格子倒格子基矢正格子和倒格子之间的关系

本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间）与后面将要提及的布里渊区，就是试图给出晶体中传播的波的一些普遍的几何特性。

1913年，德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888-1985）为解释X射线的单晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念，同时引进倒易空间的概念。

倒易空间对理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。§1.5倒格空间

一、倒格子定义是一个晶格的基矢，该点阵的位移矢量为：假设原胞体积是：它们的关系满足：现在定义另一晶格的3个基矢：则称这两种格子互为正倒格子。若基矢的格子为正格子，则的格子就是倒格子。反之亦然。位移矢量就构成了倒易点阵。§1.5倒格空间

b1b2b3a1a2a3式中，两组基矢满足正交归一的关系，数学地体现了倒易点阵和布喇菲点阵互为傅里叶空间的关系。倒易点阵的物理意义晶格的Fourier变换

倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。证明

晶体具有平移周期性，晶体中任一处的物理量F(r)也具有周期性（质量密度、电子云密度、离子实产生的势场），故可写成：其中§1.5倒格空间

代表晶体中的平移矢（正格矢）。把F(r)展为傅里叶级数，得称为傅里叶系数，显然由有§1.5倒格空间

引入即不是我们所要的结果。而相当于§1.5倒格空间

因此有μ为整数。因为Rl是正格矢，这里把Kh称为倒格矢。将代入（4）式，得h1,h2,h3为整数，这样可设倒格矢的基矢为：由于上式对任意整数l1,l2,l3成立，要求§1.5倒格空间

显然，当倒格子基矢bj(j=1,2,3)与正格子基矢ai(i=1,2,3)之间符合正交归一关系（5）式自然满足。§1.5倒格空间

同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从Fourier变换关系。

一个物理问题，既可以在正（实、坐标）空间描写，也可以在倒空间描写。

正（实、坐标）空间与倒（K）空间是不同的表象适当的选取一个表象，可使问题简化，容易处理。§1.5倒格空间

实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。正格子的量纲是长度l,称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1。倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系。一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。关于正空间与倒空间§1.5倒格空间

后面我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。§1.5倒格空间

Ω为三维布拉菲点阵的原胞体积。以立方晶系为例，如为简立方结构，则有：

设某晶体结构原胞的基矢为a1.a2.a3,则，二、正倒格子间的关系（1）倒格子基矢与正格子原胞基矢间关系：§1.5倒格空间

则倒格子基矢为：

简立方的倒格子在其所处的空间（倒空间）也是简立方。从关系式可知，倒格子只由正格子原胞基矢确定，而与具体正格子空间中的晶体结构究竟是布喇菲格子还是复式格子无关。

如一复式格子是由若干相同的布喇菲格子穿套而成，则其倒格子也就是此布喇菲格子的倒格子。§1.5倒格空间

普遍而言，正空间中的点阵与其倒易点阵属于同一种晶系。一般正、倒点阵是同一种布喇菲点阵。例外的情况，面心和体心类型的布喇菲点阵互为对方的倒易点阵。§1.5倒格空间

倒易点阵例子§1.5倒格空间

倒易点阵例子§1.5倒格空间

倒易点阵例子§1.5倒格空间

倒易点阵例子§1.5倒格空间

（2）倒格子原胞体积与正格子原胞体积互为倒数令Ω’为倒格子原胞体积，利用三重矢积公式§1.5倒格空间

Page76由图可知，ABC面上矢量CA，CB可写为：（3）正格子中一族晶面（h