机器人静力学

机器人学战强北京航空航天大学机器人研究所第四章、机器人静力学第四章、机器人静力学机器人与外界接触会有力和力矩的作用，如灵巧手抓取鸡蛋时；双足机器人上下楼梯时。问题1：各关节的驱动力（广义力）与末端的作用力之间的关系？？问题

本章主要讨论机器人在静止状态下的受力分析和平衡关系。17.6m如果外界的作用力太大，如机器人抓持的物体太重，则机器人操作臂会发生变形。问题2：外界作用力与操作臂各连杆变形之间的关系？？4.1连杆的受力和平衡方程机器人是由连杆和关节（低副机构）组成，这里将机器人的连杆当成刚体，以其中一个连杆为对象对其进行静力分析，连杆i及其相邻连杆之间的作用力和作用力矩关系如下图。：连杆i-1作用在连杆i上的力；：连杆i-1作用在连杆i上的力矩；：连杆i的重力，作用在质心上；：连杆i上的质心位置；{i＋1}{i}MifimigMi+1fi+1-fi+1-Mi+1连杆i处于平衡态时，受合力为零，力矩平衡方程为：表示坐标系{i+1}的原点相对于坐标系{i}的表示；{i}Mifimig-fi+1-Mi+1{i＋1}Mi+1fi+1（4-1）（4-2）在坐标系{i}中，以为支点，力平衡方程为通常需要根据末端连杆上的外界作用力和力矩，依次计算出每个连杆上的受力情况，从末端连杆递推到基座。如果忽略掉连杆本身的重量，上两式可写成反向迭代的形式将表示在其所在的坐标系{i+1}中采用旋转矩阵写成静力从一连杆向另一连杆传递的形式根据此式可进一步求出每关节的驱动力和力矩！若不考虑关节中的摩擦，旋转关节除了绕转轴的扭矩外，其余各方向的力和力矩都由机械构件承受，为保持连杆平衡，i关节驱动力矩应等于对于移动关节，除了沿Z轴方向的力之外，其余方向的力和力矩都由机械构件承受，关节驱动力为例：2自由度平面机器人末端对外施加的作用力为F3，求各关节驱动力矩。X3Y3F3连杆2连杆1X2X1Y2Y1l2l1X3Y3F3连杆2连杆1X2X1Y2Y1l2l1将外界作用力从坐标系{2}表示转换到基坐标系{0}中力雅可比力雅可比刚好是运动学雅可比矩阵的转置力雅可比XY12l1l24.2等效关节力和力雅可比将操作臂末端所受到的力和力矩组成六维矢量将各关节驱动力矩组成n维矢量将关节驱动力矩看成操作臂驱动装置的输入，末端产生的广义力作为操作臂的输出。采用虚功原理推导它们之间的关系。令各关节的虚位移为，末端的虚位移为D。终端广义力矢量虚位移是满足机械系统的几何约束条件的无限小位移。各关节所做的虚功之和为末端操作器所做的虚功为根据虚功原理，操作臂平衡情况下，由任意虚位移产生的虚功和为零。即关节空间虚位移产生的虚功等于操作空间虚位移产生的虚功.由于？上式表明：不考虑关节之间的摩擦力，在外力F的作用下，操作臂平衡的条件是关节力矩满足上式。注意：如果雅可比J不满秩，则末端操作器在某些方向上处于失控，不能施加所需的力和力矩，即沿这些方向的广义力可随意变化，而不会对关节力矩的大小产生影响。力雅可比力雅可比是运动雅可比的转置F连杆2连杆1雅可比J不满秩奇异状态如右图所示的平面两杆机器人处于近奇异状态，则此时可以很小的关节力矩克服非常大的外界作用力。4.3微分运动与静力传播的对偶性由力雅可比和运动雅可比之间的关系可知操作臂的静力传递关系和速度传递关系紧密相关。J映射零空间N(J)操作速度空间关节速度空间值域空间J的值域空间表示关节运动能产生的全部操作速度的集合J映射N(J)零空间值域空间JTN(JT)值域空间零空间静力映射是从m维矢量空间向n维关节空间的映射；因此关节力矩矢量总是由末端操作力F唯一确定。但对于给定的关节力矩，与之平衡的末端操作力不一定存在。速度：静力：J映射N(J)零空间值域空间JTN(JT)值域空间零空间零空间：代表不需要任何关节驱动力矩而能承受的所有末端操作力的集合；这时末端操作力完全由操作臂机构本身承受。值域空间：代表操作力能平衡的所有关节力矩矢量的集合。N(JT)S1S3S4S2速度：静力：J映射N(J)零空间值域空间JTN(JT)值域空间零空间S1S3S4S2根据线性代数：零空间N(J)是值域空间在Rn的正交补，即对于任何非空的n维矢量则S1:N(J)在Rn的正交补S3:R(JT)在Rn的正交补这意味着在不产生末端操作速度的这些关节速度方向上，关节力矩不能被末端操作力所平衡。为了保持操作臂末端静止不动，在零空间的关节力矩矢量必须为零。在操作空间中，值域空间是零空间N(JT)的正交补。不能由关节运动驱动产生的这些操作运动方向正是不需关节力矩平衡的末端操作力的方向。反之，当外力作用方向沿着末端操作器能够运动的方向时，外力完全可以由关节力矩来平衡。J映射N(J)零空间值域空间JTN(JT)值域空间零空间S1S3S4S2运动学和静力学的对偶性4.4力与力矩的坐标变换利用静力和瞬时运动的对偶关系，可以把静力学问题归结为相应的微分运动问题来研究。J映射N(J)零空间值域空间JTN(JT)值域空间零空间S1S3S4S2运动学和静力学的对偶性假设6维广义力矢量力和力矩的坐标变换与微分运动坐标变换之间同样存在对偶关系利用虚功原理推导从坐标系{B}的描述变换到{A}中的描述坐标系{A}中的虚位移、作用力坐标系{B}中的虚位移、作用力根据虚功原理：外力和等效力所做的虚功之和为零，可得：由微分运动的坐标变换公式两坐标系的微运动变换反对称矩阵将上式转置得从坐标系{B}的描述变换到坐标系{A}中的描述为：两坐标系的力和力矩变换公式例：腕力传感器测出手腕上的六维广义力，计算工具顶端的作用力令坐标系{W}到坐标系{T}的齐次变换矩阵为根据静力传递的关系XTYTZTZTYWXW则工具端的广义力为：4.5静力学的逆问题关节力和外界作用力之间的关系：J：可能不是方阵，也可能没有逆F=？F的值不确定Dim(F)<Dim(τ)|J|!=0(最小二乘法)主要应用：由关节力矩确定操作臂的负荷量。4.6刚度和柔度操作臂在外力作用下会产生变形，变形大小与操作臂刚度和作用力的大小有关。操作臂的刚度影响它的动态特性和定位精度。操作臂变形的部位：连杆连杆支撑关节驱动装置对于细长杆的操作臂，如CANADAARM，连杆变形是主因；对于工业机器人，变形的主因是传动、减速装置和伺服驱动系统关节i的各个变形的主因都可用刚度描述，为简便，可将驱动系统的刚度用弹簧系数ki表示，即关节力矩/静态误差力矩附加变形假设连杆是刚性的，推导关节刚度和操作臂末端刚度之关系：假设D是基系下末端变形关节i的等效刚度操作臂末端的柔度矩阵：表示操作力F和产生末端变形D之间的线性关系如果J是方阵且满秩，则C是可逆的末端刚度矩阵A、当J退化时，C不可逆，则刚度至少在一个方向上变为无穷大，操作力作用在这些方向上不会产生任何关节力矩，也不会产生变形。结论：B、操作臂末端的刚度和柔度矩阵取决于各关节的刚度和雅可比矩阵，与操作臂的形位有关。操作臂末端的变形与形位和作用力的方向都有关。F连杆2连杆1如图所示的平面机器人，末端柔度矩阵为：为求出单位作用力引起的极大变形和极小变形的数值和方向，令利用拉格朗日乘子λ，定义拉格朗日函数相对极值的必要条件为拉格朗日乘子λ就是平方柔度矩阵C2的特征值解平方柔度矩阵C2的特征方程得最大和最小特征值为注意：因每个关节刚度为正，两特征值