数值分析04数值积分与数值微分

第四章数值积分与数值微分§1引言一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数☞有解析表达式；☞

的原函数

为初等函数．

实际问题1.

的原函数

不能用初等函数表示例如函数:考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.从到英寸间的弧长L.这个问题就是要求由函数给定的曲线,

由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分。What’stheOriginalfunction?!It’ssocomplexthatwecannotgetit.2.

有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它的原函数却十分复杂:3.

没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那……怎么办呢？呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义2、数值积分的理论依据依据积分中值定理,对于连续函数

,在内存在一点,使得称

为区间的平均高度.3、求积公式的构造若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：若取两点，并令，则可得梯形公式（两点求积公式）则可得Simpson公式(三点求积公式)若取三点，并令一般地，取区间内个点处的高度通过加权平均的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为机械求积:

或写成:数值积分公式求积系数

求积节点记称为数值求积公式称为求积公式余项(误差).三、求积公式的代数精度1、问题的提出构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有:(i)

确定求积系数

和求积节点

(iii)

求积公式的误差估计和收敛性分析.(ii)

判定求积公式精度的衡量标准；称求积公式具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:2、定义(i)对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得上述定义中的条件(i),(ii)等价于:§2插值型求积公式一、定义在积分区间上，取个节点作

的次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有其中，为插值余项。于是有：取Ak由节点决定，与

无关。称为插值型求积公式二、截断误差与代数精度1、截断误差2、代数精度推论

求积系数满足:

形如的求积公式至少有n

次代数精度

该公式为插值型（即：）定理§3Newton-Cotes公式一、Cotes系数取节点为等距分布：由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：令Cotes系数二、Newton-Cotes公式1、定义：记则求积公式变为称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式。注意:由式确定的Cotes系数只与和有关,与

和积分区间无关，且满足:2、截断误差Newton-Cotes公式的误差为:与x有关3、代数精度作为插值型求积公式，具有次代数精度，阶Newton-Cotes公式至少而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？定理当阶数为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有次代数精度。证明:只需验证当为偶数时,Newton-Cotes公式对的余项为零。由于

,所以

即得引进变换,因为为偶数,故为整数,于是有据此可断定

,因为上述被积函数是个奇函数.4、数值稳定性现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设用公式近似计算积分时,其中计算函数值

有误差则在的计算中,由引起的误差为没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,计算，而如果都是正数,并设则有故

是有界的,即由

引起的误差受到控制,的倍,不超过保证了数值计算的稳定性。将出现负数,而当

时,将随增大,因而不能保证数值稳定性.故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.三、几种常用的低阶求积公式n=1:梯形公式/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代数精度=1n=2:Simpson公式代数精度=3n=4:

Cotes公式

代数精度=5,这里四、复化求积公式高次插值有Runge现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，怎么办？可将积分区间分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。复化梯形公式：在每个上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/

复化梯形公式积分法复化Simpson公式：44444=

Sn

复化Simpson公式积分法复化Cotes公式：=

Cn收敛速度与误差估计：定义：若一个积分公式的误差满足，且

，则称该公式是p

阶收敛的。~~~例:利用数据表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464计算积分解：这个问题有明显的答案取n=8用复化梯形公式=3.138988494取n=4

用辛卜生公式=3.141592502运算量基本相同复化梯形公式的误差估计给定精度，如何取

?例如：要求，如何判断n=？1、误差先验估计式记则?上例中若要求，则即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

时，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。2、误差后验估计式复化Simpson公式的误差估计1、误差先验估计式2、误差后验估计式复化Cotes公式的误差估计1、误差先验估计式2、误差后验估计式四、龙贝格积分例:计算已知对于=106

须将区间对分9次，得到T512=3.14159202考察由来计算I

效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg求积公式Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T理查德森外推法利用低阶公式产生高精度的结果。由Taylor展开得到：i

与h

无关现将

对分，得：设对于某一，有公式

近似计算某一未知值。如何将公式精度由提高到

？...432112)()(23322020---=---hhIhTThaa即：计算步骤：1．取，计算2．对k=1,2,…

计算下列各步3．对n=0,1,2,…,k=n–1,n–2,…4．收敛控制若或则输出积分值，否则转3。

Newton-Cotes公式采用等距节点作为求积节点代数精度至多可达到。（为偶数）那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在上自由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高？例：求形如的两点求积公式。

（1）用梯形公式（即以x0=-1，x1=1为节点的插值型求积公式）立即可得。只具有一次代数精确度！（2）若对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，使求积公式对f(x)=1，x，x2，x3都准确成立，则需满足如下方程组：五、高斯型积分构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点以及系数都作为待定系数。令代入可求解，得到的公式具有

次代数精度。节点称为Gauss点此公式称为Gauss型求积公式例：求的2点Gauss公式。解：设，应有3

次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。定理：

x0…xn

为Gauss点

与任意次数不大于n

的多项式P(x)（带权）正交。证明：“”

x0…xn

为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。对任意次数不大于n

的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：=00求Gauss点

求w(x)不大于的多项式

精确成立，即证明：“”要证明为Gauss点，即要证公式对任意次数设0正交多项式族{0,1,…,n,…}有性质：任意次数不大于n

的多项式P(x)必与n+1

正交。若取w(x)为其中的n+1，则n+1的根就是Gauss点。53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：Step1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep2：求2=0

的2个根，即为Gauss点x0，x1Step3：代入