统计理论及常用指标

统计理论及常用指标研发中心常远2/1/20231维嘉数控科技有限公司大纲 统计理论；正态分布；过程能力指数；靶图分析；结论。2/1/20232维嘉数控科技有限公司概率与数理统计 目的：许多决策都涉及对不确定性问题的处理。过程能否满足要求？用于过程控制的标准度量是否准确？是否具有可重复性？——统计方法可以回答这些问题基本概念随机事件：在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件（区别：必然事件，不可能事件）概率：事件A的概率是描述事件A在试验中出现的可能性的大小的一种度量，表示事件A出现可能性的数值P（A）称为事件A的概率。随机变量：P（X），离散随机变量、连续随机变量直方图：2/1/20233维嘉数控科技有限公司概率密度函数概率密度函数：当数据个数很多、组距很小、组数很多时，连接直方图中每个矩形上边中点的折线就接近一条光滑的曲线，频率的稳定值就是概率，单位长度上的概率简称为概率密度，这条曲线的函数即为概率密度函数频率组距产品尺寸（mm）ab总体在区间内取值的概率总体密度曲线2/1/20234维嘉数控科技有限公司常用的离散分布 0—1分布二项分布泊松分布超几何分布2/1/20235维嘉数控科技有限公司常用的连续分布 正态分布均匀分布指数分布对数正态分布威布尔分布2/1/20236维嘉数控科技有限公司正态分布质量管理中最常遇到的连续分布就是正态分布，能描述很多质量特性X随机取值的统计规律性。正态分布的概率密度函数为：即：————标准差————平均值2/1/20237维嘉数控科技有限公司2/1/20238维嘉数控科技有限公司正态分布特征分析三条正态曲线的共同特征：

正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．当，正态函数称为标准正态函数，相应的函数表示式是,相应的曲线称为标准正态曲线.2/1/20239维嘉数控科技有限公司观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线的性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线对称，且在时位于最高点.③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

2/1/202310维嘉数控科技有限公司标准正态函数在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率，即2/1/202311维嘉数控科技有限公司由于两阴影部分的面积相等可知：xyO2/1/202312维嘉数控科技有限公司过程能力分析

基本概念

过程能力指数的计算过程能力的评价与处置2/1/202313维嘉数控科技有限公司基本概念在产品制造过程中，过程是保证产品质量的最基本环节。所谓过程能力分析，就是考虑过程的设备、工艺、人的操作、材料、测量工具与方法以及环境对过程质量指标要求的适合程度。过程能力分析是质量管理的一项重要的技术基础工作。它有助于掌握各道过程的质量保证能力，为产品设计、工艺、工装设计、设备的维修、调整、更新、改造提供必要的资料和依据。一过程能力二过程能力指数

2/1/202314维嘉数控科技有限公司过程能力1概念：所谓过程能力，是指处于稳定、标准状态下，过程的实际加工能力。●过程能力是指过程加工质量方面的能力。这种能力表示过程稳定的程度，在过程受控时，特性服从的分布是正态分布。过程的稳定性可以用标准差来度量，越小，过程越稳定，过程能力接越高。由于在受控过程中，特性值有99.73%散布在(µ-3σ，µ+3σ)内，因此，人们常以6σ描述过程的实际加工能力。实践证明：用这样的分散范围表示过程能力既能保证产品的质量要求，又能具有较好的经济性。2表达式：B=6σ或B≈6S2/1/202315维嘉数控科技有限公司f(x)68.26%μμ+σμ+2σμ+3σμ-σμ-2σμ-3σ95.46%99.73%2/1/202316维嘉数控科技有限公司二过程能力指数1概念：过程能力指数是衡量过程能力对产品规格要求满足程度的数量值，记为Cp。通常以规格范围T与过程能力B的比值来表示。即：

T=规格上限TU

-规格下限TL。

2过程能力与过程能力指数的区别：过程能力是过程具有的实际加工能力，而过程能力指数是指过程能力对规格要求满足的程度，这是两个完全不同的概念。过程能力强并不等于对规格要求的满足程度高，相反，过程能力弱并不等于对规格要求的满足程度低。当质量特性服从正态分布，而且其分布中心与规格中心Tm重合时，一定的过程能力指数将与一定的不合格品率相对应。因此，工序能力指数越大，说明过程能力的贮备越充足，质量保证能力越强，潜力越大，不合格品率越低。但这并不意味着加工精度和技术水平越高。STBTCp6==x2/1/202317维嘉数控科技有限公司过程能力指数的计算1双侧规格界限（1）无偏（2）有偏2单侧规格界限（1）仅给出规格上限TU（2）仅给出规格上限TL2/1/202318维嘉数控科技有限公司)]Φ双侧规格界限是指既具有规格上限(TU)要求，又有规格下限(TL)要求的情况(1)无偏——规格中心Tm与分布中心重合

●计算公式：

●过程不合格品率p的估计：①直接根据规格上、下限TU、TL

以及过程分布的数字特征，估计和S进行计算②根据过程能力指数Cp计算。由式:

因此有

1计量值双侧规格界限P1P2TLTUTmf（x）σμTxSTBTCp6==xSTCp6=)]()([1SxTSxTpLU----=ΦΦ)]3()3([1SxSCxSxSCxppp----+-=ΦΦ3()3([1ppCC---=ΦΦpmLpmUpSCxTTTSCxTTTSCT32326-=-=+=+==)3(2)]3()3(1[1pppCCC-=-----=ΦΦ2/1/202319维嘉数控科技有限公司例1根据某过程加工零件的测试数据计算得出，=6.5,S=0.0055，规格要求为。试求该过程的过程能力指数及不良品率。解：∵∴

x015.0015.05.6+-f)909.03(2)3(2909.00055.06030.065.6-=-==×====ΦΦppmCpSTCTx006394.0003197.02)727.2(2==-=Φ××2/1/202320维嘉数控科技有限公司e(2)有偏——规格中心Tm与分布中心不重合●计算公式：绝对偏移量：

(图中曲线1)

偏移系数：

过程能力指数：

或：当k≥１，即e≥T/2时，规定Cpk=0(图中，曲线2)

●不合格品率估计：①

②采用“用Cp和k值估计不合格品率”f（x）有偏时过程能力指数与不合格品率e12eμTLTUP1P2TmxTx计量值双侧规格界限xTm-=)(21)(212LULUTTxTTTek--+==SeTSTeTSTCpk62626-=-=STkCkCppk6)1()1(-=-=)]()([1SxTSxTpLU-F--F-=Cpk=min{CpU,CpL}=min{}2/1/202321维嘉数控科技有限公司用Cp和k值估计不合格品率Cpk0.030.040.080.120.160.200.240.280.320.360.400.440.480.25.0.5013.8613.3413.6413.9914.4815.1015.8616.7517.7718.9220.1921.5823.0924.710.607.197.267.487.858.379.039.8510.8111.9213.1814.5916.5117.8519.690.703.573.643.834.164.635.245.996.897.949.1610.5512.1013.8415.740.801.641.691.892.092.462.943.554.315.216.287.538.9810.6212.480.900.690.730.831.001.251.602.052.623.344.215.276.538.029.751.000.270.290.350.450.610.841.141.552.072.753.594.655.947.491.100.100.110.140.200.290.420.610.881.241.402.393.234.315.661.200.030.040.050.080.130.200.310.480.721.061.542.193.064.201.300.010.010.020.030.050.090.150.250.400.630.961.452.133.061.400.000.010.010.010.040.070.130.220.360.590.931.452.191.500.000.010.020.030.060.110.200.350.590.961.541.600.000.010.010.030.060.110.200.360.631.071.700.000.010.010.030.060.110.220.400.721.800.000.010.010.030.060.130.250.481.900.000.010.010.030.070.150.312.000.000.010.020.040.090.202.100.000.010.020.050.132.200.000.010.030.082.300.010.020.052.400.000.010.032.500.100.022.600.000.012.700.012.800.00单位：%2/1/202322维嘉数控科技有限公司测试一批零件外径尺寸的平均值=19.0101，S=0.0143，规格要求为，试计算过程能力指数并估计不合格品率。解：由题意：计算Cpk

97例2x0304.0.019+-f0101.19005.19204.19=¹=+==xTTTTLUmU.18=LT7.0816.0)145.01()1(816.00143.0607.0145.0207.00101.19005.1970.00143.060051.0207.0620051.00101.19005.19»-=-====-=»-=-==-=-=ppkppkmCkCCkSeTCxTe][1)0143.00101.1997.18()0145.00101.1904.19(----=ΦΦp%1.2021.0][1)804.2()093.2(==F-F-=-或由Cp=0.816，k=0.145查表得不良品率估计约为2.1%～2.3%

××××2/1/202323维嘉数控科技有限公司(1)仅给出规格上限TU

●计算公式：

当TU≤时，p≥50%，则规定Cp＝0

●不合格品率估计：●例某零件质量要求加工后不得大于71g，测试部分数据后得＝70.2g，S＝0.24g，试计算过程能力指数Cp及不合格品率p。解：单侧规格界限μf（x）TUσxSxTTCUUp33-»-=smxΦ)3(pCp-=xm-UT11.124.032.7071=×-=pC)33.3()11.13(-=-=ΦΦp%04.010342.44»=-×2/1/202324维嘉数控科技有限公司单侧规格界限(2)仅给出规格下限TL

●计算公式：

当TL≥时，p≤50%，则规定Cp＝0

●不合格率估计：●例要求零件淬火后的硬度≥HRC71，实测数据后计算得＝HRC73；S＝1，试计算过程能力指数Cp及不良品率p。

解：μf（x）TLσxμ-TLSTxTCLLp33-»-=smx)3(pCp-=Φx67.0137173=-=pC)67.03(-=Φp%2.20222.0)2(»=-=Φ××2/1/202325维嘉数控科技有限公司过程能力指数Cp值的评价参考

Cp值的范围级别过程能力的评价参考Cp≥1.67Ⅰ过程能力过高（应视具体情况而定）1.67>Cp≥1.33Ⅱ过程能力充分，表示技术管理能力已很好，应继续维持。1.33>Cp≥1.0Ⅲ过程能力充足，表示技术管理能力较勉强，应设法提高为Ⅱ级。1.0>Cp≥0.67Ⅳ过程能力不足，表示技术管理能力已很差，应采取措施立即改善。0.67>CpⅤ过程能力严重不足，表示应采取紧急措施和全面检查，必要时可停工整顿。2/1/202326维嘉数