第7章-惯性矩与惯性积

1质心：物体总质量集中于一点。重心：物体的重力的合力作用点。建筑力学7.1静矩和形心形心：截面图形的几何中心。质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。静矩：面积对某轴的一次矩。一般用S来表示。

（10-1）（10-2）2建筑力学

从上式可以看出来，(1)静矩为代数值，静矩的单位是m3、mm3。(2)平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩。(3)不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。(4)若图形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；若某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的静距必然等于零。ydACxOyyCxxC3建筑力学

组合图形的静矩和形心截面对某一轴的静距等于其组成部分对同一轴的静距之和。设截面图形由几个面积分别为A1、A2、A3…An，的简单图形组成，且各图形的形心坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)…(xn，yn)，则图形对x轴和y轴的静矩为：截面图形的形心坐标为：4[例]截面图形如图所示，试计算该截面图形形心位置和对y轴的静矩。解：将该截面看成由矩形①和矩形②组成，每个矩形的面积和形心坐标分别为：矩形①：A1=1250mm2，y1=5mm，矩形②：A2=700mm2，y2=45mm，①②单位：mmz1=62.5mmz2=5mm截面对y轴的静矩为：或5建筑力学7.2

惯性矩和惯性积惯性矩：面积对某轴的二次矩。惯性积：面积与其到x轴、y轴距离的乘积称为该面积对坐标轴的惯性积。惯性半径(工程中表示惯性矩的方法)：极惯性矩：平面内任意面积dA与其到坐标原点距离平方的乘积。6

当截面由n个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即:建筑力学

组合截面的惯性矩和惯性积7建筑力学[例]求图示截面对x轴的惯性矩。解：图示截面看成是矩形截面在左右各方，挖去两个半圆构成，因此，图示截面对x轴的惯性矩等于矩形对x轴的惯性矩减去两个半圆的惯性矩，即：x200mm200mmR80mm8建筑力学7.3

平移轴公式

上式说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对其平行的形心轴的惯性矩加上两轴间距离的平方与图形面积之积；而截面图形对于任意一对互相垂直轴的惯性积，等于图形对于与其平行的一对形心轴的惯性积加上图形形心坐标与其面积之积。9试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。[例]①②单位：mmC解：已算出该截面形心C的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面对轴yc的惯性矩应等于矩形①对轴yc的惯性矩加上矩形②对yc轴的惯性矩。即：矩形①对yc轴的惯性矩为：矩形②对yc轴的惯性矩为：所以可得：10试计算截面对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积。[例]解：已算出该截面形心C的坐标为：yc=19.36mm，zc=41.9mm截面对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积应等于矩形①对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积加上矩形②对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积。即：①②单位：mmC矩形①对yc和zc轴的惯性积为：矩形②对yc和zc轴的惯性积为：所以可得：11建筑力学7.4

主惯性轴和主惯性矩上式为计算惯性矩及惯性积的转轴公式。

若Iy1z1=0，则坐标轴y1和z1轴称为截面的主惯性轴；Iy1与Iz1称为主惯性矩。当主惯性轴y1和z1通过形心时，则为形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩称为形心主矩。12建筑力学主惯性矩Iyp与Izp的计算公式为：形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：(1)确定组合截面形心的位置；(2)计算通过截面形心的一对坐标轴yc与zc的惯性矩Iyc

、

Izc和惯性积Iyczc

；(3)通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位角α，并计算形心主惯性矩Iyp和Izp

。13试确定截面形心主轴的位置以及计算截面的形心主矩。[例