弹塑性力学3弹性力学解题方法

第3章弹性力学解题方法按位移求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题平面问题和应力函数半逆解法广义胡克定律

1678年，R.Hooke发表了固体受力后应力和应变关系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力”各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。Lamé

弹性常数3-1

按位移求解弹性力学问题

弹性力学的一般问题中，共包含15个未知函数，将用15方程来求解。

对于各向同性的弹性体：

3个平衡微分方程；

6个几何方程（微分方程）；

6个物理方程（广义胡克定律）。

边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题）弹性力学问题解法的分类：取位移作为基本未知量。——位移法取应力作为基本未知量。——应力法按位移求解弹性力学问题时，取u,v,w作为基本未知量。几何方程物理方程消去应变平衡方程消去应力Lamé位移方程力的边界条件消去应力

按位移求解弹性力学问题

优点：未知函数的个数比较少，即仅有三个未知量u,v,w。

缺点：必须求解三个联立的二阶偏微分方程。 按位移求解问题是普遍适用的方法，特别是在数值解中得到了广泛的应用，例如在有限元法，差分法等数值计算方法中，得到了很好的应用。

例1设有半空间体，单位体积的质量为ρ，在水平边界上受均布压力q的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，假设在z=h处z方向的位移w=0。qh解：由于载荷和弹性体对z轴对称，并且为半空间体可以假设体积应变代入Lamé

位移方程力的边界条件位移边界条件位移分量应力分量3-2

按应力求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题时，取6个应力分量作为基本未知量。变形协调方程物理方程消去应变平衡方程改变形式相容方程体积力为零或为常量推导参照教材应力第一不变量Θ是调和函数左式两边分别作Laplace运算应力分量是双调和函数

按应力求解弹性力学问题

优点：边界条件比较简单，并且得到的应力表达式在大多数具体问题中比位移表达式简单。

缺点：未知函数较多，所要求解的二阶偏微分方程比较复杂。 按应力求解比按位移求解一般来说容易些。 但就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解更具有普遍性。 对于实际问题，适当的选择求解方法。3-3

平面问题和应力函数平面问题平面问题的分类：①平面应力问题②平面应变问题平面应力问题

构件几何形状特征：薄板

外力:平行于中面，沿厚度均匀分布，表面不受外力作用。xyzyzo

表面面力边界条件： 由于薄板厚度很小，应力分量均匀分布中面平面应变问题

构件几何形状特征：具有很长纵向轴的柱体纵向轴 横截面的大小和形状沿轴线不变；外力与轴线垂直并且沿轴线不变；主体两端受固定约束。z方向上位移位移发生在oxy平面内根据几何方程根据物理方程应力函数 在平面问题中，引进应力函数的概念，往往使求解问题变得简单。无体力存在时假定平衡方程将自然满足只需求解以应力函数表示的协调方程平面应力问题：变形协调方程边界条件 平面问题归结为求解满足双调和方程和给定边界条件的函数

例2图示很长的矩形柱体，材料的比重为γ，将其放入形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数的形式为试求各应力分量、应变分量以及位移分量。haaxyo解：根据Airy应力函数可得应力边界条件刚性槽的条件针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数；然后用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答，如不能满足全部条件，则需另外假定，重新求解。

由于根据已有解或经验作了一定假设，使得问题的求解过程得以大大简化。3-4

半逆解法

例3图示立柱（厚度为单位厚度），在其侧面上，作用有均布剪力τ，试用半逆解法求其应力分布规律。hxyo解：假定纵向纤维互不挤压代入上式对于y取任何值均应成立对应力分量无影响边界条件：在x=0处，在x=h处，（主要边界条件，需精确满足）在y=0处，hxyo在y=0处，（次要边界条件，使用圣维南原理建立）应力分量：hxyoxy1ll图示梁对应的边界条件：MM——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。(1)例:矩形梁的纯弯曲xy1llMM常数d与弯矩M的关系：(1)(2)此结果与材力中结果相同.位移分量的求解xyl1hMM（1）应变分量(a)（2）位移分量(c)(c)(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：整理得：(e)将上式代入式（d），得(f)(f)xyl1hMM（1）两端简支(f)(3-3)梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）得：(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同讨论：若取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）(中点处竖向线段转角为零)得到：求得：此结果与前面情形相同。（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。应力函数法求解平面问题的基本步骤：（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解