应用数学基础 第四章-向量值函数的导数

§4.1－1

向量值函数的导数定义定义设映射f：

m(

n是开集)，x。如果存在线性算子A：n

m，使得对hn，有则称f

在点x处Frechet可微(简称可微)，并称线性算子A是f在x处的Frechet导算子，记为f，即f(x)=A。

f:(a,b)

A:

1§4.1－1

向量值函数的导数定义（2）导算子一定是唯一的。注意：（1）导算子的定义式等价于

f(x+h)

f(x)=Ah+r(h)其中limh0

r(h)/h=0,称Ah为f在x点的微分。思路：假设有两个导算子：A1及A2

先证：(A1A2)(h)/h

0(h

0)；

再证：

(A1A2)(h)/h=0(h)。2§4.1－1向量值函数的导数性质命题如果f：

m,则导算子f

：n

m

在标准正交基{e1,e2,…,en}下的表示矩阵是（fi(x)/xj）Jacobi矩阵。类似地，如果f（一般写成列向量）是可微的，则称相应的导数为二阶导数。证明思路：x=(x1,x2,…,xn)T,h=(h1,h2,…,hn)T,

计算差商的极限。此时，二阶导算子相应的矩阵称为f在x处的Hesse矩阵，（2fi(x)/xi

xj）（认为偏导可以交换）。3§4.1－2

单元函数矩阵的微分定义定义设A(t)=(ij(t))mn,其中ij(t)是变量t

(

)的函数。若对于i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,ij(t)均可微，则A(t)关于变量t的导数定义为矩阵函数的微分与积分具有与纯量函数的微分、积分类似的定义及性质。4§4.1－2

单元函数矩阵的积分定义

定义设A(t)=(ij(t))mn.如果ij(t)在[a,b]上可积，(

i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),则称A(t)在[a,b]上可积，且定义而称A(t)dt=为A(t)的不定积分。5§4.1－2单元函数矩阵的微分性质若函数矩阵A(t)，B(t)均可导,a,b，C,K是数字矩阵,则6§4.1－2

单元函数矩阵的微分性质7§4.2－1方阵序列收敛的充要条件及性质定理4.1方阵序列{Am}

收敛于A

(即Am=A),对于所有i,j=1,2,…,n,都有{aij

(m)}收敛于aij

.Am=(aij(m)

)nn注意：定理4.1说明，一个方阵序列收敛，意味着

n2个元素数列收敛。(1)如果Am=A,

Bm=B,则AmBm=AB.(2)如果Am=A,A1及Am1均存在,则Am1=A1.性质：8§4.2－1方阵序列收敛的充要条件及性质定理4.2设ACnn,则收敛于零矩阵(A)1.证明思路：()((A))m=(Am)

Am;

()利用谱范数与矩阵范数的关系。定理4.3设ACnn,则Am收敛于零矩阵至少存在一种方阵范数||||,使得||A||1.9§4.2－1方阵级数收敛的充要条件及性质证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。定理4.5绝对收敛对所有i,j=1,2,…,n,

绝对收敛.证明思路：绝对收敛等价于收敛。定理4.4设Am=[aij(m)]Cnn,m=0,1,2,…,S=[sij]Cnn.

则方阵级数收敛于方阵S=[sij]

i,j=1,2,…,n,

数项级数收敛于sij.10§4.2－2方阵幂级数

定义定义4.4设X是任意的n阶方阵,cm是一个复数列,称为方阵X的幂级数,cm称为第m项的系数.约定X

0=E.若收敛(绝对收敛)到f(A),即f(A)=,则称在ACmn处收敛(绝对收敛).若XCnn,都收敛(绝对收敛),则称它在内收敛(绝对收敛),称f(X)为方阵幂级数的和函数.11§4.2－2方阵幂级数

收敛性定理4.6设复幂级数的收敛半径为R,XCnn的谱半径为(X),则当(X)R时,绝对收敛;当(X)R时,发散.推论1若在全平面收敛,则该级数在全空间Cnn中绝对收敛.推论2设的收敛半径为R.若XCnn的所有特征值都满足不等式|j-0|<R,j=1,2,…,n.则方阵幂级数绝对收敛.若存在X的一个特征值k,使得|k-0|>R,则方阵幂级数发散.12§4.2－3方阵函数几个特殊的和函数13§4.2－4方阵函数性质

性质1(Euler公式)XCnn,有

eiX=cosX+isinX,cosX=(eiX+eiX

)/2,sinX=(eiX

e

iX

)/2.性质2

XCnn及t

C,有

eAt=AeAt=eAt

A,sin(At)=Acos(At)=cos(At)A,cos(At)=Asin(At)=sin(At)A.性质3设A,BCnn,tA.若AB=BA,

则eAtB=BeAt.两边对应的数项幂级数具有此性质14§4.2－4

方阵函数性质

性质4

A,BCnn且AB=BA,则 eA+B

=eA

eB=eB

eA.性质5

ACnn

,eA必可逆且(eA)1=eA.性质6

A,BCnn且AB=BA，有

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB,sin(2A)=2sinAcosA,cos(2A)=cos2A

sin2A,cos2A+sin2A=E.性质7

XCnn

,有

sin(X+2E)=sinX,cos(X+2E)=cosX,eX+2iE

=eX.即,sinX和cosX是以2E为周期,

eX是2iE为周期的周期函数.性质8

对任意XCnn

,f(XT)=(f(X))

T.15§4.3－1

方阵函数值的计算当A可对角化时f(A)的计算如果则当(A)<R时

16与A

可以同时对角化。

的特征值是f(1),f(2),…f(n).注意：P

的列向量是A的特征向量§4.3－1

方阵函数值的计算当A可对角化时f(A)的计算17§4.3－1

方阵函数值的计算当A可对角化时f(A)的计算例4.6

设求其中j为A的特征值。/t=为A的特征值

18§4.3－1

方阵函数值的计算当A可对角化时f(A)的计算例4.6

设求

det(EA)=(+2)=0:=2:的特征值=0,sin(2t):19§4.3－2

方阵函数值的计算当A不能对角化时f(A)的计算定理4.7设f(X)=,XCnn

且(X)<R.若X=diag(X1,X2,…,Xs),其中Xi是ni

阶方阵且则f(X)=diag(f(X1),f(X2),…,f(Xs)).

f(X)=f(diag(X1,X2,…,Xs))(Xi)(X)20§4.3－2

方阵函数值的计算当A不能对角化时f(A)的计算定理4.8设复幂级数f(z)=的收敛半径为R;J()=是k阶Jordan块,则当||<R时,21§4.3－3

方阵函数值的计算将f(A)表示为多项式定义设ACnn

的谱(A)={1,2,…,s

},A的最小多项式()=(-1)

(m11)…(-s)

(ms1),f(z)是复变函数.若对j=1,2,…,s,f(j),f(j),…,f(mi1)(j)都存在,则称f(z)在(A)上有定义,并称f(j),f(j),…,f(mi1)(j)(j=1,2,…,s)为f在(A)上的值或f在A上的谱值.22§4.3－3

方阵函数值的计算将f(A)表示为多项式定理4.10设ACnn

的谱(A)={1,2,…,s

},f(z)=在(A)上有定义,则(f(A))={f(1),f(2),…,f(s

)},

A

=PJP1

f(A)=P

f(J)P1

f(J)=diag(f(J1),…,f(Js)).23§4.3－3

方阵函数值的计算将f(A)表示为多项式命题设ACnn

的谱(A)={1,2,…,s

},f(z)=,g(z)=在(A)上有定义,且

f(i)(k)=g(i)(k)(k=1,2,…,s;i=0,1,…,mk1)则f(A)＝g(A).f(A)=P

f(J)P124§4.3－3

方阵函数值的计算将f(A)表示为多项式定理4.9设ACnn的最小多项式为

()=(1)…(s),

f()=的收敛半径为R.m1ms则当(A)R时,存在唯一的m次多项式T()=,使得T()与f()在(A)上的值相同,且f(A)=T(A).思路:1.在A的谱上与f()的值相同的多项式T()可由线性代数方程组解得。2.T()在(A)上与f()的值相同,则T(A)＝f(A)。25§4.3－3

方阵函数值的计算将f(A)表示为多项式定义2.11

方阵A的次数最低且首1的零化多项式，称为A的最小多项式，用m()或mA()表示.(1)最小多项式m()由A唯一确定；(2)m()能整除A的任一零化多项式；(3)m()与特征多项式有相同的零点；(4)m()=dn(),即等于A的最后一个不变因子.Back26§4.4－1一阶线性常微分方程组记号一阶线性常微分方程组

xi(t)=