平面几何的产生与数形结合的思想

平面解析几何的产生与数形结合的思想平面解析几何的产生

1、平面解析几何产生的背景

2、平面解析几何产生的历史

3、平面解析几何的基本思想

4、平面解析几何的发展

5、数形结合的思想

6、平面解析几何的产生与数形结合的思想的联系与地位1、平面解析几何产生的背景

十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。

比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；

意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。

这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。2、平面解析几何产生的历史笛卡尔1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。费尔玛虽是一位业余数学家，在牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前，他是为创立微积分作出贡献最多的人．对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。3、平面解析几何的基本思想笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。4、平面解析几何的发展

欧几里得几何

非欧几何

坐标几何

群的概念

几何局部化

几何整体化欧几里得几何欧几里得在公元前300年左右写了《几何原本》。它的主要结论有两个:

(1)毕达哥拉斯定理这条定理就是我们常说的勾股定理:设有一直角三角形，则长边的平方等于其它两边的平方和。

(2)三角形三内角之和等于180°如果以弧度为单位，也可以说三角形三内角之和等于π。非欧几何从三角形三内角之和等于180°这个结论，而有接下来的重要发展:(1)球面几何我们所讨论的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一个球面三角形，在这种情形下，三角形三内角之和必然大于180°，并且有一个非常重要的公式:

A+B+C-π=S/R2(2)双曲型的非欧几何在这种情形下，三角形三内角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:

A+B+C-π=-S/R2

在空间或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面几何；也可以是负的，像双曲几何。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于180°的情形，不再满足欧几里得的平行公理，因此它们也被称作“非欧几何”。坐标几何欧几里得几何之后，还有一个重要的发展是坐标几何。有了解析几何，即可用解析的方法进行几何学的讨论。这样的发展不但使几何问题的处理容易些，而且更有其重大的意义:

(1)解析化之后，可扩大所研究的图形的范围。

(2)研究的图形不再局限在二维的平面上，而可推广至高维空间。群的概念群的概念，这是数学上一个基本的结构。数学总是要运算，加、减、乘、除。要把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成；具有这个特殊性质的，便称为一个群，几何学研究的对象，应是经运动群变换后不变的几何性质。研究几何性质在投影群变换之下不变的是投影几何。

在几何学的发展之中，有许许多多不同的几何学，像欧几里得几何学、投影几何学……及其他种种几何学，自然就要有一个人把它综合集结起来，他就是德国的数学家克莱因。克莱因把几何学建立在群的观念上:一个空间有一个变换群，允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置；因此有了一个群之后，便有一种几何，研究经过这个变换群变换之后保持不变的所有图形的几何性质。几何局部化黎曼所创立的几何把几何局部化，可以说是几何学的第四个发展，这是笛卡尔坐标几何的自然推广。1854年，黎曼在为取得大学教授资格的公开演讲上，发表了关于黎曼几何的第一篇论文。真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。几何整体化黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化，又要把它扩充到全空间。几何整体化可说是几何学的第五个发展。而在这个整体化的扩充中，最要紧的就是拓扑学，即俞大维先生说的“橡皮几何学”。