常微分方程数值解(第六章)

计算方法江西理工大学第六章常微分方程数值解法§6.1引言

1、

一阶常微分方程初值问题的一般形式是其中:2、方程6.1解存在定理3、数值解的分类6.2.1Euler公式

假设初值问题(6.1)式~(6.2)式的解y=y(x)存在且足够光滑，对求解区域[a,b]分成n+1个节点:§6.2Euler方法比较6.4式和6.5式，为求得

,只需用到,这种方法称为单步法，而6.6式需要。这种方法称为多步法。6.4式和6.6式中的被显式的表示出来了，故被称为显式公式，而6.5式的两边都含有项，因而被称为隐式公式。hxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.10.000.000000.000000.000000.400.360850.34483-0.016030.800.513710.48780-0.025901.200.509610.49180-0.017811.600.458720.44944-0.009282.000.404190.40000-0.00419h=0.050.000.000000.000000.000000.400.352870.34483-0.008040.800.500490.48780-0.012681.200.500730.49180-0.008921.600.454250.44944-0.004812.000.402270.40000-0.00227从计算结果可见,步长h越小,数值解的精度越高.近似值准确值6.2.2改进的Euler方法xnEuler方法yn改进Euler方法yn精确解y(xn)01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2662011.2649910.41.3582131.3433601.3446410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859651.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.732051从计算结果可见,改进的Euler方法明显地改善了精度.6.2.3Euler公式的误差分析y(xn)表示精确值6.2.4*Taylor展开方法§6.3Runge-Kutta方法由Euler方法:nxnyny(xn)nxnyny(xn)00.01.001.030.61.48331.483210.21.18321.183240.81.61251.612520.41.34171.341651.01.73211.7321比较例6.2与例6.3的计算结果,显然四阶R-K方法的精度高.尽管四阶R-K方法的计算量比改进的Euler方法大,但由于放大了步长,在求相同节点上的近似值时,所需的计算量几乎相同.以上讨论的是显式R-K方法,同样也可以构造隐式R-K方法,其一般形式四阶Runge-Kutta算法§6.4单步方法的收敛性和稳定性初值问题的数值解法是经过某种离散化过程导出的,因此需要对数值解法进行定性分析.本节主要讨论单步方法的收敛性与稳定性.6.4.1单步方法的收敛性定义6.1定理6.1[证明]Lipschiz条件：|f(x,y2)-f(x,y1)|≤L|y2-y1|等比数列公比为在收敛性的讨论中,我们已假定差分方程是精确求解的,但实际情况并非如此.例如,初始数据可能存在误差,计算过程中也不可避免地产生计算舍入误差,这些误差的传播和积累都会影响到数值解.那么实际计算得出的数值解能否作为精确解的近似呢?这取决于计算误差是否可控制,这就是数值方法稳定性的问题.定义6.26.4.2单步方法的稳定性方法方法的阶数确定区间方法方法的阶数确定区间Euler方法1（-2，0）二阶R-K方法2（-2，0）梯形方法2（-∞，0）三阶R-K方法3（-2.51，0）改进Euler方法2（-2，0）四阶R-K方法4（-2.78，0）综上所述，收敛性是反映差分公式本身的截断误差对数值解的影响；稳定性是反映计算过程中舍入误差对数值解的影响。单步显式方法的稳定性与步长密切相关，在一种步长下是稳定的差分公式，取大一点步长就可能是不稳定的，只有既收敛又稳定的差分公式才有实用价值。§6.5线性多步方法6.5.1利用待定参数法构造线性多步方法6.5.2利用数值积分构造线性多步方法Adams显式公式：Adams隐式公式：xnR-K法yn预估值校正值yn精确值y(xn)0110.11.0954461.0954450.21.1832171.1832160.31.2649121.2649110.41.3415511.3416411.3416410.51.4140451.4142131.4142140.61.4830171.4832391.4832400.71.5489171.5491921.5491930.81.6121141.6124501.6124520.91.6729141.6733181.6733201.01.7315661.7320481.732051预校算式每一步只需重新计算f(x,y)的函数值二次，因此比四阶标准R-K公式的计算量小。其缺点是要用其他方法计算起始值，计算过程中改变步长困难。§6.6常微分方程组与高阶微分方程的数值解法

一阶常微分方程初值问题的数值方法，原则上都可推广到一阶方程组和高阶方程情形。6.6.1一阶常微分方程组的数值解法考虑一阶常微分方程初值问题其四阶R-K方法为：6.6.2化高阶方程为一阶方程组xnynzny(xn)|y(xn)-yn|0.0-0.40000000-0.60000000-0.4000000000.1-0.46173334-0.63163124-0.461732973.7×10-70.2-0.52555988-0.64014895-0.525559058.3×10-70.3-0.58860144-0.61366381-0.588600051.39×10-60.40.64661231-0.53658203-0.646610282.03×10-60.5-0.69356666-0.38873810-0.693563952.71×10-60.6-0.72115190-0.14438087-0.721148493.41×10-60.7-0.718152950.2289