四年级下数学思维训练教程(尖子生)

.PAGE.四年级下期第一讲定义新运算同学们对于"加、减、乘、除"四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识,在四则运算的基础上,还可以按需要规定新的运算。例1设a、b都表示数,规定a△b＝3×a－2×b。求4△3,3△4。<2>这种运算有"交换律"吗？<3>求<17△6>△2,17△<6△2>。<4>这种运算有"结合律"吗？<5>如果已知5△b＝1,求b。解：像这样的题目叫做"定义新运算"。这里,"△"当作一种新的运算符号来使用,它的意义是：如等号右端所要求的那样,先求出3×a和2×b的值,再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后,就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：<1>4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。<2>由<1>可知,4△3与3△4的结果不同,所以,这种运算没有"交换律"。<3><17△6>△2＝<3×17－2×6>△2＝<51－12>△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。17△<6△2>＝17△<3×6－2×2>＝17△<18－4>＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。<4>由<3>可知,<17△6>△2与17△<6△2>的结果不同,所以,这种运算也没有"结合律"。<5>因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b,而15－2b＝1,所以2b＝15－1,2b＝14,b＝7。通过这个例题使我们认识到,所谓的"新运算"并不神秘,它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时,关键是要弄清楚新运算的意义是什么,并且要严格按照它的意义进行运算。例2如果a＃b＝2×a＋3×b,a*b＝<a＋b>÷2,那么<3*5>＃7＝？解："＃"的意义是先求出2×a和3×b,再求出2×a与3×b的和。"*"的意义显然是求a、b的平均数。因为3*5＝<3＋5>÷2＝4,所以,<3*5>＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。例3规定：a＆b＝a＋<a＋1>＋<a＋2>＋…＋<a＋b－1>,其中a、b表示自然数。<1>求1＆100的值；<2>已知x＆10＝75,求x。解：<1>a＋<a＋1>＋<a＋2>＋…＋<a＋b－1>＝1＋<1＋1>＋<1＋2>＋…＋<1＋100－1>＝1＋2＋3＋…＋100＝<1＋100>×100÷2＝101×100÷2＝5050。<2>x＋<x＋1>＋<x＋2>＋…＋<x＋10－1>＝7510x＋<1＋2＋…＋9>＝7510x＋45＝7510x＝75－4510x＝30x＝30÷10x＝3例4羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊和狼,我们规定一种运算,用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示：羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼,当狼和羊在一起时,它便被羊赶走而几只剩下羊了。对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算。运算的结果或者是羊,或者是狼。那么求下式的结果：羊△<狼★羊>★羊△<狼★狼>。解：羊△<狼★羊>★羊△<狼★狼>＝羊△羊★羊△狼＝羊★羊△狼＝羊△狼＝狼练习一1．设a、b都表示数,规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍,即a△b＝4×a－3×b。试计算：<1>5△6；6△5。2．a、b是自然数,规定a＊b＝a×5＋b÷3,求8＊9。3．设a▼b＝8×a－18÷b,求7▼9＝？4．规定a☆b＝<a＋3>×<b－5>,求5☆<6☆7>的值。5．设a▽b＝a×b＋a－b,试求5▽8。6．如果规定a※b＝13×a－b÷8,那么17※24的最后结果是多少？7．设a、b都表示数,规定：a△b＝2×a＋b÷2。求<1>10△6；<2>7△<4△8>。8．规定A＠B＝B×B－A,计算<2＠3>＠<4＠5>。9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1,那么5△7和7△5相等吗？10．对于两个数x、y,x☉y表示y×A－x×2,并且已知82☉65＝31。计算：<1>29☉57；<2>38☉<14☉23>。11．如果3

4＝3＋4＋5＋6＝18,6

5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算2000

6。12．如果"＋、－、×、÷、<>"的意义与通常相同,而式子中的数字却不是原来的数字,试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？<1>8×7＝8；<2>7×7×7＝6；<3><7＋8＋3>×9＝39；<4>3×3＝3。第二讲图形问题<一>例1有大、小两个正方形,它们的周长相差16厘米,面积相差80平方厘米,那么小正方形的面积是多少平方厘米？解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图,因为它们的边长相差16÷4＝4<厘米>,所以图中正方形B的面积是4×4＝16<平方厘米>,又因为阴影部分的面积是<80－16>÷2＝32<平方厘米>,所以原来的小正方形<正方形A>的边长是32÷4＝8<厘米>,面积是8×8＝64<平方厘米>。AB例2下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形,求图中阴影部分的面积。解法一：图形的总面积是40×40＝1600<平方厘米>。每个小空白正方形的对角线是20厘米,根据"正方形的面积等于对角线的平方除以2",每个空白小正方形的面积是20×20÷2＝200<平方厘米>,所以图中阴影部分的面积是1600－200×4＝800<平方厘米>。解法二：仔细观察发现,图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等,所以,阴影部分的面积是40×40÷2＝800<平方厘米>。例3如图,阴影部分是一个长方形,它的四周是四个正方形,如果这四个正方形的周长的和是240厘米,面积的和是1000平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米？解：图中两个小正方形相同,两个大正方形也相同,所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2＝500<平方厘米>。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷4＝30<厘米>。在原图的右上角补上一个同样的长方形,得到一个新的正方形如图这个新正方形的面积是30×30＝900<平方厘米>,所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是<900－500>÷2＝200<平方厘米>。例4如图,矩形ABCD被分成六个正方形,其中最小的正方形的面积等于1,矩形ABCD的是多少？ABDC解：如果设右下角正方形的边长为a,那么,左下角正方形的边长就是a＋1,左上角正方形的边长就是a＋1＋1,右上角正方形的边长就是a＋1＋1＋1。因为CD＝AB,所以a＋a＋<a＋1>＝<a＋1＋1>＋<a＋1＋1＋1>,即3×a＋1＝2×a＋5,于是a＝4。从而,CD＝a＋a＋<a＋1>＝13,AD＝<a＋1>＋<a＋1＋1>＝11。因此,矩形ABCD的面积是13×11＝143。练习二1．已知甲是正方形,乙是长方形,图形的周长是多少厘米？甲3乙1582．把所有周长为22,且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来,和是多少？3．一个正方形,如果一组对边各增加10厘米,另一组对边各减少6厘米,那么,所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？4．下图中阴影部分A和阴影部分B的面积,哪个大？AB5．一块长方形玻璃,长截去5分米,宽截去3分米,剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米,那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？6．四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后,周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米,原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形,那么这个长方形的周长是多少？7．如图,已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米,并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米,大正方形的面积是多少平方厘米？8．有一块如图所示的纸板,把它剪成三块后再拼成一个正方形,应该怎样剪拼,请画图表示。2239．如图,一个大长方形被分成了4个小长方形,图中数字是它们的面积,阴影部分的面积是多少？19574510．将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形,依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？11．在一个正方形水池四周,环绕着一条宽2米的路,这条路的面积是120平方米,那么水池的面积是多少平方米？12．如图所示,阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形,我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米,且长和宽都是整数分米的长方形,那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？第三讲枚举与计数例1数列A：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,……。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开,得到新的数列：1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2,……。<1>数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？<2>数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？<3>到数列B中的第100个数为止,数字3共出现多少次？解：<1>数列A中,1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9＋180＋3＝192个数。<2>数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9,100－9＝91,而91＝2×46－1,说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数,这个数是9＋46＝55,它的第一位〔十位数字是5。<3>数列A中,55以前的数含有数字3的依次是3,13,23,30,31,32,33,……,39,43,53,所以数字3共出现16次。答：<略>。例2个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？所有这些两位数的和是多少？解：当十位数字是1时,满足题意的两位数有8个；当十位数字是2时,满足题意的两位数有7个；……当十位数字是8时,满足题意的两位数有1个；共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36<个>。这些两位数的十位数字的和是8×1＋7×2＋6×3＋5×4＋4×5＋3×6＋2×7＋1×8＝120,个位数字的和是9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝240,所以这些两位数的和是10×120＋240＝1440。答：个位数字大于十位数字的两位数共有36个,所有这些两位数的和是1440。例3有10个小朋友围坐在一圈做游戏,从其中选出两个不相邻的小朋友,有多少种不同的选法？解：与某一小朋友不相邻的小朋友有7个,所以不相邻的小朋友有7×10＝70<对>,每对小朋友都重复算了一次,所以共有70÷2＝35<种>选法。答：有35种不同的选法。例4在校级运动会上,运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。在区级运动会上,他们也是100米短跑的前三名。<1>如果在区级运动会上,他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同,那么排名情况有多少种可能？<2>如果在区级运动会上,他们的排名都与校级运动会的排名不同,那么排名情况有多少种可能？解：<1>设A的排名不变,那么B排第三,C排第二,只有这1种情况。同理B、C的排名不变,也各有1种情况。因此,共有3种情况。<2>如果排名情况都改变,A可能排第二或第三：当A排第二时,B排第三,C排第一,有1种情况；当A排第三时,B排第一,C排第二,也有1种情况。因此,排名均不同的可能性有2种。答：<略>。练习三1．三个连续自然数,后面两个数的积与前面两个数的积的差是114,那么这三个数中最小的是多少？2．由数字卡片5、7、2、0、1各一张能组成多少个不同的三位数？把这些数按照从小到大的顺序排列,第14个数是多少？3．一个三位数,三个数字各不相同且不为0,如果三个数字之和为10,这样的三位数有个？4．一个两位数的十位数字比个位数字大5。现将十位和个位上的数字对调,所得的两位数比原来小多少？5．编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字,这本书一共有多少页？6．新华小学学生的总人数是一个三位数,平均每班有36人。统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。学生的总人数最多是多少人？最少是多少人。7．一圈小朋友玩报数拍手游戏,从1开始顺序报数,规定：报7的倍数时要拍一次手,报带7的数时要拍两次手,报既带7又是7的倍数时要拍三次手。则报到100时共拍了多少次手？8。一只口袋里有5个小球,另一只口袋里有4个小球,所有这些小球的颜色各不相同。<1>从两只口袋里任意取出一个小球,有多少种不同的情况？<2>从两只口袋里分别取出一个小球,有多少种不同的情况？9．某地区有50个县城,每个县城都有3条公路通向别的县城,这些县城之间共有多少条公路？10．如图,从B逐步往下走到A,有多少条不同的路线？BA11．如图,小丽从家到学校可以有多少种不同的走法？小丽家学校12．小明的爸爸买了6张电影票<如下图>,想和小张家一块去看电影。但因临时有事不能和小张同时出发,小明只好撕下3张连在一起的票给小张家送去。那么有多少种不同的撕法？第四讲推理与判断例1小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中,他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动,但是谁爱好哪项运动,在哪个学校读书还不清楚。只知道：<1>小东不在一中；<2>小兰不在二中；<3>爱好排球的不在三中；<4>爱好游泳的在一中；<5>爱好游泳的不是小兰。那么谁在一中？谁在二中？小兰爱好什么？解：由<4>爱好游泳的在一中,由<1>这个人不是小东,由<5>这个人不是小兰,所以这个人是小英,即小英在一中。同时得知,小兰也不在一中,小兰只能在三中,进而得知小东在二中。由<3>爱好排球的在一中或二中,可是一中的小英已经爱好了游泳,所以爱好排球的是在二中的小东。还剩下小兰就只能爱好篮球了。例2小华同学做了三道习题,小明、小丽、小刚看完后分别说："小华做对了第一题","小华第二题没有做对","小华第一题没有做对"。老师看完三道题后发现：小华只做对了一道题,而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。请判断小华做对的是哪道题？解：假设小华做对了第一题,那么小明和小丽就都说对了,与题意不符；假设小华做对了第二题,那么小明和小丽就都说错了,只有小刚说对了,与题意相符；假如小华做对了第三题,那么小丽和小刚就都说对了,也与题意不符。所以小华做对了第二题。例3标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯,顺次排成一行,每盏灯装有一个开关。现在B、E、G开着,其余5盏灯关着,小明从灯A开始,循环逐个拉动8盏灯的开关,拉了2004次后,关着的灯是哪几盏？解：因为2004÷8商250余4,从A开始拉动开关250次后,由于250的双数,所以B、E、G仍然开着,其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后,A、C、D变成开着的,B又灭了,所以最后关着的灯是B、F、H。例4购物单上某商品的单价是49.36元╱千克,总价是7.28元,方框中的数看不清了。则购买此商品的数量至少是多少千克？解：写成竖式进行推导。先考虑个位数：493.6493.6×……3×……81480839488………………7.28……7.28进一步考虑十位数：493.6493.6493.6493.6×……23×……73×……48×……9814808148083948839488987234552197444424………………4837.28……7.28……7.28……7.28所以至少购买98千克。练习四1．甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。乙说：我的对面是"南"；丙说：我在乙的左边；丁说：我的对面不是乙。甲坐在哪边？2．甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛,获得前五名。他们的得分情况如下：<1>丙比乙低,但比戊高；<2>甲比丁高,但比戊低；<3>乙比戊高。这次歌咏比赛的第一名是谁？3．甲、乙、丙三人中一位是工人,一位是农民,一位是教师。已知丙比教师的年龄大,甲与农民不同岁,农民比乙的年龄小。那么谁是教师？4．甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。甲说："我会开。"乙说："我不会开。"丙说："甲不会开。"三人的话只有一句是真话。会开车的是谁？5．△、○、□代表三个数,并且○＋○＝△＋△＋△△＋△＋△＝□＋□＋□＋□○＋△＋□＋□＝800那么△、□、○各代表多少？6．下图中的"？"应填多少？2313？5835325457．1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。赛后他们接受小记者的采访。1号说："3号在我前面冲向终点。"另一个得第三名的运动员说："1号不是第四名。"小裁判员说："他们的号码与他们的名次都不相同。"则第一名是几号？第二名是几号？第三名是几号？8．将99棋子放在两种型号的盒子中,每个大盒子中装12粒,每个小盒子中装5粒。已知盒子数大于10个,那么有多少个大盒子？多少个小盒子？9．会议室某排有15个座位,小宇去时部分座位已有人就座,他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。那么,在小宇就座之前,这一排至少已坐了多少人？10．某次数字竞赛有20道题,初始分为60分。规定：答对一题给5分,不答扣1分,答错一题扣3分。最后得分是奇数还是偶数？11．"希"、"望"、"杯"、"赛"各代表不同的数字,请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字？希望希望杯＋希望杯赛200512．下面是一个六位数乘一个一位数的算式,不同的汉字表示不同的数,相同的汉字表示相同的数,这个六位数是多少？小学希望杯赛×赛999999第五讲解决问题<一>例1祖父与父亲的年龄之差是孙子年龄的6倍,而孙子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁,孙子今年多少岁？解：当用孙子与父亲的年龄之和与祖父相比时,祖父的年龄比这个和多出来的部分只有孙子的6－1＝5倍。所以孙子今年30÷5＝6<岁>。答：孙子今年6岁。例2幼儿园分饼干,如果每人分3块,余14块；如果每人分4块,还有3个小朋友没分到。一共有多少个小朋友？有多少块饼干？解：改变分法后,从余15块到缺4×3＝12<块>,一共要多分14＋12＝26<块>,这是因为每人多分4－3＝1<块>的缘故,所以一共有26÷1＝26<个>小朋友,有3×26＋14＝92<块>饼干。答：一共有26个小朋友,92块饼干。例3运输公司为客户装运1600只瓷盘,每只运费1元,如果损坏一只,不但得不到运费,还要照价格的一半赔偿。若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘,并得到1540元。则瓷盘价格为每只多少元？解：如果瓷盘没有损坏,运输公司将得到1×1600＝1600<元>,实际少得了1600－1540＝60<元>。损坏一只瓷盘运输公司少得60÷5＝12<元>,其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半,所以瓷盘的价格是<12－1>×2＝22<元>。答：每只瓷盘22元。例4怀特海是英国数理逻辑学家,曾执教于剑桥大学和哈佛大学。下面是他给他的学生出的一道题：A、B、C三人各有硬币若干枚。A将自己的硬币分给B、C,使他们的硬币各增长了一倍；之后,B将自己的硬币分给A、C,使他们的硬币各增长了一倍；最后,C将自己的硬币分给A、B,使他们的硬币各增长了一倍。这样,三人的硬币都是8枚。请问他们原来各有硬币多少枚？解：用倒推法。第三次调整后：A有8枚,B有8枚,C有8枚；第二次调整后：A有8÷2＝4<枚>,B有8÷2＝4<枚>,C有8＋4＋4＝16<枚>；第一次调整后：A有4÷2＝2<枚>,C有16÷2＝8<枚>,B有4＋2＋8＝14<枚>；原来：B有14÷2＝7<枚>,C有8÷2＝4<枚>,A有2＋7＋4＝13<枚>。答：原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。练习五1．有甲、乙两队少先队员去春游,甲队人数是乙人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后,甲队仍比乙队多5人。甲队原来有多少人？2．在第二届"希望杯"全国数学邀请赛中,有一位同学在第一试答了24道题,其中,答对的题数是答错的题数的2倍；第二试答了20道题,结果,两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。则这位同学在第二试答对了多少道题？3．菜市场运来6筐萝卜,分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中3筐,小李承包了另外2筐。已知小王承包的萝卜质量是小李的2倍,剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？4．小光和小明,共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。已知,小光的纪念邮票是小明的5倍,小明的特种邮票是小光的3倍。小光的邮票比小明多多少张？5．幼儿园老师给几组小朋友分苹果,每组分7个,少3个；每组分6个,则多4个。苹果有多少个？小朋友共几组？6．某校组织学生去春游,晚上住宿时,如果在预订的房间里每间住5个人,还有4个人无法入住；每间安排6个人,最后一间还可以住2个人。那么预定了房间多少间？共有多少个人？7．有三角形桌子和正方形桌子共13张,共有44条腿<桌子的每个角有一条腿>,则三角形桌子比正方形桌子多多少张？8．一次口算比赛,规定：答对一题得8分,答错一题扣5分。小华答了18道题,得了92分,小华在此次比赛中答错了多少道题？9．购买5元、8元和10元的公园门票共100张,用去748元,其中5元和8元的张数相同,则10元的门票共多少张？10．小王、小李两人射击比赛,约定每中一发记20分,脱靶一发则扣12分。两人各打10发,共得208分,小王比小李多得64分,小王打中多少发？小李打中多少发？11．小明问老师今年多少岁,老师说："我6年前的年龄和你6年后的相同,我3年后的年龄和你3年前的年龄之和是42岁。"老师今年多少岁？小明今年多少岁？12．将786个桃子分成四堆,第一堆比第二堆多24个,比第三堆多16个,比第四堆多46个,那么第四堆有多少个？第六讲解决问题<二>例110名同学的考试成绩按分数从高到低排列名次,前4名平均得92分,后6名的平均分数比10人的平均分数少8分,这10名同学的平均分数是多少分？解：如果从前4名的总分中拿出6个8分补给后6名同学,那么前4名的平均分数也就和10个同学的平均分数同样多了,所以这10名同学的平均分是<92×4－8×6>÷4＝80<分>。答：这10名同学的平均分是80分。例2一列以相同速度行驶的火车,经过一根有信号灯的电线杆用了9秒,通过一座468米长的铁桥用了35秒,这列火车长多少米？解：因为火车行驶一个车身的距离要9秒,而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度,所以火车行468米只需35－9＝26<秒>,每秒行驶468÷26＝18<米>,这列火车长18×9＝162<米>。答：这列火车长162米。例3星期天,妈妈从超市买了4支"小梦龙"和3支"可爱多"冰淇淋,用去24元钱。妈妈对小丽说："上星期天我买3支‘小梦龙’和5支‘可爱多’冰淇淋用去29元钱。""小梦龙"和"可爱多"冰淇淋每支各多少钱？解：把已条件整理成算式：4支小梦龙＋3支可爱多＝24<元><1>3支小梦龙＋5支可爱多＝29<元><2>为了消去"小梦龙",让<1>扩大3倍,<2>式扩大4倍,得：12支小梦龙＋9支可爱多＝72<元><3>12支小梦龙＋20支可爱多＝116<元><4><4>式－<3>式得：每支"可爱多"<116－72>÷<20－9>＝4<元>。再由<1>式得：每支"小梦龙"<24－4×3>÷4＝3<元>。答："小梦龙"每支3元,"可爱多"每支4元。例4要用1000元钱买23元、22元、21元的三种物品,三种物品都要买,而且不能剩钱,则最多可以买多少件？最少可以买多少件？解：要想买的件数最多,就要尽量多买21元一件的,1000÷21＝47……13,说明可以47件21元的,还余13元,可以用这13元补到几件21元的物品上换成22元和23元的物品,所以最多可以买47件。要想买的件数最少,就要尽量多买23元一件的,1000÷23＝43……11,也就是说如果买44件就少23－11＝12<元>,可以买44件23元的,超出23－11＝12<元>,可以用几件23元的物品换21元和22元的物品,直到把超出的12元抵消,所以最少可以买44件。答：最多可以买47件,最少可以买44件。练习六1．有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外一个数,用这样的方法计算了4次,分别得到4个数：26,32,40,46,那么原来四个数的平均数是多少？2．有6个数排成一行,它们的平均数是27。已知前4个数的平均数是23,后3个数的平均数是34。第4个数是多少？3．甲筐苹果个数比乙筐多64个,从甲筐取出多少个苹果放入乙筐,可使乙筐苹果比甲筐多12个？4．期末考试中,小强语文、数学、外语三门课的的平均成绩是92分,语文、外语两门课的平均成绩比数学低3分,语文比外语高2分。则外语多少分？5．小光故意把成绩单上的两个分数涂掉了,让爸爸猜。已知数学比思想品德分数高,那么数学得了多少分？科目思想品德语文数学体育科学艺术平均分数88817976876．为了支援西部,四一班班长小明和四二班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本,钱全部用完,小明要了26本,小光要了18本。回校后,小明补给小光28元。小明、小光各带了多少元？每本书多少元？7．三个工厂拿出相同的资金买煤,结果甲厂比乙厂多要了15吨,丙厂比乙厂多要了15吨,因此甲厂和丙厂各付给乙厂3000元,每吨煤多少元？8．空间站上的5位宇航员轮流值班和休息,值班岗位有2个。在60小时里,平均每个宇航员休息了几小时？9．小明沿着长为100米的桥面步行。当他走到桥头时,一辆迎面驶来的火车车头也恰好到达桥头。100秒钟后,小明走到桥尾,火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的3倍,则火车通达这座桥大约用了多少时间？10．两列相向而行的火车恰好在某站相遇。如果甲列车长225米,每秒行25米,乙列车每秒行20米,甲、乙两列车错车时间是9秒。求：<1>乙列火车长多少米？<2>坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？11．甲、乙两人练习跑步,如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟可追上乙。求甲的速度。12．小明去相距9千米远的同学家,已知他步行的速度是每小时3千米,他每走50分钟要休息10分钟,他想在中午12：00之前赶到同学家,则他最晚要在上午几时几分出发？第七讲综合练习<一>1．如果a△b＝3a－2b,a*b＝<a＋b>÷2,那么<7*3>△6＝？2．一个两位数的十位数字比个位数字小6。现将十位和个位上的数字对调,所得的两位数比原来大多少？3．有10个盒子和45个乒乓球,能否把这45个乒乓球放入这10个盒子中,使任意两个盒子中的乒乓球数都不相同？4．10．公园里有一个正方形花坛,在花坛四周有一条2米宽的小路。如果这一圈小路的面积是64平方米,那么花坛<阴影部分>的面积是多少平方米？5．一个长方形的宽去掉3厘米而长不变,其面积比原来减少30平方厘米；如果长增加6厘米,而宽不变,其面积比原来增加42平方厘米。那么原长方形的面积是多少平方厘米？6．个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？7．某次会议有30人参加,如果见面时每两人都要握一次手,那么这些人总共要握手多少次？8．幼儿园分饼干,如果每人分3块,那么余10块；如果每人分4块,那么还有2个小朋友没分到。一共有多少块饼干？9．甲、乙、丙三个好朋友都喜欢集邮。如果甲把自己的邮票给乙、丙一些,使他们的邮票各增加一倍；乙再把自己的邮票给甲、丙一些,使他们的邮票各增加一倍；丙再把自己的邮票给甲、乙一些,使他们的邮票各增加一倍。这样一样,三个人的邮票正好都是80枚。原来甲有邮票多少枚？10．一列以匀速行驶的火车,经过一根电线杆用了10秒,通过一座600米长的铁桥用了40秒,这列火车全长多少米？11．10名同学的考试成绩<满分为100分>按分数排列名次,前5名平均得90分,后5名的平均分数比10人的平均分数少6分,这10名同学的平均分数是多少分？12．1999年12月澳门回到了伟大祖国的怀抱。在下面的算式中,"庆"、"澳"、"门"、"归"四个汉字各代表一个数字,那么"庆"是、"澳"是、"门"是、"归"是。澳门澳门归＋庆澳门归1999第八讲等差数列上学期我们已经对等差数列有了一些初步的了解。比如,等差数列a1,a2,a3,…,an的和Sn＝<a1＋an>×n÷2；如果公差是d,那么从ap到aq共有<aq－ap>÷d＋1项等。这一讲我们就来研究一些有关等差数列的比较复杂的问题。例1从1,2,3,…,100这100个数中,每次取两个数,使其和大于100,共有多少种取法？解：较小数取1时,较大数可以取100,共1种取法；较小数取2时,较大数可以取99、100,共2种取法；较小数取3时,较大数可以取98、99、100,共3种取法；……较小数取50时,较大数可以取51、52、……、100,共50种取法；较小数取51时,较大数可以取52、53、……、100,共49种取法；较小数取52时,较大数可以取53、54、……、100,共48种取法；……较小数取99时,较大数可以取100,共1种取法。总共有<1＋2＋3＋…＋49>×2＋50＝<1＋49>×49÷2×2＋50＝2500<种>取法。例2计算：<101＋103＋…＋399>－<91＋93＋…＋389>。解：第一个等差数列共有<399－101>÷2＋1＝150项,第二个等差数列共有<389－91>÷2＋1＝150项。方法一：原式＝<101＋399>×150÷2－<91＋389>×150÷2＝1500。方法二：原式＝<101－91>＋<103－93>＋…＋<399－389>＝10×150＝1500。例3计算：1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。解法一：观察发现：由于减数"998、995、……、104、101"的存在,使得加数失去了连续性,不能运用等差数列的求和公式。为了解决这个问题,添上所缺的加数"998、995、……、104、101",同时把原有的减数扩大2倍,因为一共有<1000－101>＋1＝900个加数,<998－101>÷3＋1＝300个减数,于是：原式＝<1000＋999＋998＋…＋102＋101>－<998＋995＋992＋104＋101>×2＝<1000＋101>×900÷2－<998＋101>×300÷2×2＝165750。解法二：先对减号两边的进行计算,一共得到300个1,同时,原有的900个加数减少到300个<参看解法一>于是：原式＝1000＋1＋997＋1＋…＋106＋1＋103＋1＝<1000＋103>×300÷2＋1×300＝165750。例4计算1＋2＋3＋2＋4＋6＋3＋6＋9＋…＋100＋200＋300。解：原式＝<1＋2＋3>＋<2＋4＋6>＋<3＋6＋9>＋…＋<100＋200＋300>＝1×<1＋2＋3>＋2×<1＋2＋3>＋3×<1＋2＋3>＋…＋100×<1＋2＋3>＝<1＋2＋3＋…＋100>×<1＋2＋3>＝<1＋100>×100÷2×6＝30300。练习八1．计算：<1＋3＋5＋…＋1997>＋<2＋4＋6＋…＋1996>＝？2．计算：1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70＝？3．计算：2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋22＋…＋92＋94＋98＋100＝？4．计算：<1994＋1992＋1990＋…＋4＋2>－<1＋3＋5＋…＋1991＋1993>＝？5．计算<2004－1>＋<2003－2>＋<2002－3>＋…＋<1003－1002>。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>6．在1000到2000之间,所有个位数字是7的自然数之和是多少？7．小明从一月一日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？8．袋子里共有415个小球,第一次从袋子里取出1个小球,第二次从袋子里取出3个小球,第三次从袋子里取出5个小球,第四次从袋子里取出7个小球……依次地取球,如果剩下的球已不夠某次取了,则将余下的小球留在袋中。那么,袋子中留下多少个小球？<20XXXX省小学数学竞赛试题>9．学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拔赛？10．有一列数：1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第1993个数的和。11．计算100×95－95×90＋90×85－85×80＋80×75－75×70＋…＋20×15－15×10＋10×5。12．观察下面的数阵,第20行所有的数的和是多少？12345678910111213141516171819202122232425……第九讲速算与巧算<一>例1用简便方法计算134859＋348591＋485913＋859134＋591348＋913485。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>解：观察发现：各个数位上的数字都是"1、3、4、5、8、9",所以134859＋348591＋485913＋859134＋591348＋913485＝111111×<1＋3＋4＋5＋8＋9>＝111111×30＝3333330。例2计算：99999×77778＋33333×66666＝？解：观察发现：66666含有因数3,如果把66666分解成3×22222,再根据乘法结合律,让3与前一个因数33333相乘,得到99999,这样一来,与前面的积就有相同的因数,于是可以用乘法分配律进行简算。99999×77778＋33333×66666＝99999×77778＋33333×〔3×22222＝99999×77778＋〔33333×3×22222＝99999×77778＋99999×22222＝99999×<77778＋22222>＝99999×100000＝9999900000。例3计算2004＋2003＋2002－2001－2000－1999＋…＋6＋5＋4－3－2－1。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>解：观察发现：<1>算式中的数是从2004递减到1的连续自然数；<2>算式是由3个加数、3个减数、3个加数、3个减数……组成。所以,可以分组计算：2004＋2003＋2002－2001－2000－1999＋…＋6＋5＋4－3－2－1＝<2004＋2003＋2002－2001－2000－1999>＋…＋<6＋5＋4－3－2－1>＝9×<2004÷6>＝3006。例4计算100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96＋…＋2×3－1×2。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：100×101－99×100＋98×99－97×98＋96×97－95×96＋…＋2×3－1×2＝<100×101－99×100>＋<98×99－97×98>＋<96×97－95×96>＋…＋<2×3－1×2>＝<101－99>×100＋<99－97>×98＋<97－95>×96＋…＋<3－1>×2＝2×<100＋98＋96＋…＋2>＝2×[<100＋2>×50÷2]＝2×2550＝5100。练习九1．计算56832＋25683＋32568＋83256＋68325。〔20XXXX省小学数学竞赛试题2．计算：<1>9＋99＋999＋9999＝？<2>1999999＋199999＋19999＋1999＋199＋19。〔XX省小学数学竞赛题3．计算：379000÷125÷8＝？4．计算：<38＋99×99＋61>÷<396÷36>＝？5．计算：<1>12345679×810＝？<2>8888888×7777777÷1111111÷1111111＝？6．计算：<1>22222×22222＝？<2>33333×33333＝？7．计算：<1>99999×22222＋33333×33334＝？<2>66666×10001＋66666×6666＝？<3>111111×999999＋999999×777777＝？<4>353353×352－352352×353。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>8．计算：2375×3987＋9207×6013＋3987×6832＝？9．计算：77×13＋255×999＋510＝？10．计算：2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋2×1＝？11.计算：<1×2×3×4×…×9×10×11>÷<27×25×24×22>。<20XX全国奥赛预赛题>12．计算<282＋3102＋31302＋313302＋3133302>÷47。<20XXXX省小学数学竞赛试题>第十讲速算与巧算<二>例1计算181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：根据运算性质：一个数连续除以几个数,等于这个数除以那几个除数的积。181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8＝181440÷<3×5×6>÷4÷7÷8＝181440÷90÷4÷7÷8＝2016÷4÷7÷8＝504÷7÷8＝72÷8＝9。例2计算2323＋3232＋3434＋4343＋4545＋5454＋5656＋6565＋6767＋7676＋7878＋8787＋8989＋9898。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：观察发现：有一些加数可以凑成9999,另一些加数比较接近10000,于是：2323＋3232＋3434＋4343＋4545＋5454＋5656＋6565＋6767＋7676＋7878＋8787＋8989＋9898＝<2323＋7676>＋<3232＋6767>＋<3434＋6565>＋<4343＋5656>＋<4545＋5454>＋7878＋8787＋8989＋9898＝9999×5＋40000－<2122＋1213＋1011＋102>＝49995＋40000－4448＝50000＋40000－4453＝90000－4452＝85547。例3计算2004＋4002＋2005＋5002＋2006＋6002＋2007＋7002＋2008＋8002。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：观察发现：如果从2004中取出2移给4002,从2005中取出3移给5002,从2006中取出4移给6002,从2007中取出5移给7002,从2008中取出6移给8002,那么,所有的加数就都含有因数1001,于是：2004＋4002＋2005＋5002＋2006＋6002＋2007＋7002＋2008＋8002＝2002＋4004＋2002＋5005＋2002＋6006＋2002＋2007＋2002＋8008＝1001×<2＋4＋2＋5＋2＋6＋2＋7＋2＋8>＝1001×<2×5＋4＋5＋6＋7＋8>＝1001×40＝40040。例4计算19981999×19991998－19981998×19991999＝？解：观察发现,如果把19981999变成19981998＋1,把19991999变成19991998＋1,就有可能找到两个积的相同部分。于是19981999×19991998－19981998×19991999＝<19981998＋1>×19991998－19981998×<19991998＋1>＝19981998×19991998+19991998-19981998×19991998+19981998＝19991998－19981998＝10000。练习十1．计算：<1>516＋418＋734＋825＋582＋266＋484＋175。<20XXXX省小学数学竞赛试题><2>7186＋8671＋6718＋1867＋3282＋1329＋8133＋2814。<20XXXX省小学数学竞赛试题>2．计算：<1>23＋223＋2233＋22233＋222333＋2222333。<20XXXX省小学数学竞赛试题><2>1＋11＋121＋1221＋12321＋123321＋1234321。<20XXXX省小学数学竞赛试题>3．计算：<1>161616×5994。<20XXXX省小学数学竞赛试题<2>37037037×594。<20XXXX省小学数学竞赛试题>4．计算87840÷2÷3÷4÷5÷6。<20XXXX省小学数学竞赛试题>5．计算9192－8283＋7273－6364＋5354－4445＋3435－2526＋1516。<20XXXX省小学数学竞赛试题>6．计算：<1>2008×4＋2007×5＋2006×6＋2005×7＋2004×8。<20XXXX省小学数学竞赛试题><2>2004×4＋2003×3＋2002×2＋2001＋1999＋1998×2＋1997×3＋1996×4。<20XXXX省小学数学竞赛试题>7．计算<10×12×24×36>÷<12×24×36＋12×36×48＋12×36×72＋24×36×48>。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>8．计算：<1><56789＋67895＋78956＋89567＋95678>÷7。<陈省身小学数学邀请赛试题><2>2003×2001÷111＋2003×73÷37。<陈省身小学数学邀请赛试题>9．计算：<1>1991××<2>20022003×20032002－20022002×20032003。<陈省身小学数学邀请赛试题><3>20042005×20052004－20042004×20052005。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>10．计算2003＋2002－2001－2000＋1999＋1998－1997－1996＋…＋3＋2－1。<陈省身小学数学邀请赛试题>11．计算2004＋2003＋2002＋2001－2000－1999－1998－1997＋…＋12＋11＋10＋9－8－7－6－5。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>12．计算20042－1920×2004＋1924×2000－1928×1996＋1932×1992－…＋2004×1920。<20XXXX省小学数学竞赛试题>第十一讲速算与巧算<三>例1计算666…66×397。<20XXXX省小学数学竞赛试题>2004个6解：观察发现：397很接近400,于是：原式＝666…66×<400－3>＝666…66×400－666…66×32004个62004个62004个6＝2666…66400－1999…998＝2666…66400－2000…00＋22003个62003个92003个62004个0＝264666…66402。2001个6例2计算666…66÷99。<20XXXX省小学数学竞赛试题>2004个6解：试算发现,连续6个6除以99,商6734无余。2004除以6,商334,无余,所以,原式＝673400…6734006734。333组673400例3计算20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：算式中的加数和减数全都是平方数,解决这个问题,要用到"平方差公式"：a2－b2＝<a＋b>×<a－b>这个公式很容易验证。比如：52－42＝<5＋4>×<5－4>,302－202＝<30＋20>×<30－20>。于是：20042＋20032＋20022＋20012＋20002－19992－19982－19972－19962＝<20042－19962>＋<20032－19972>＋<20022－19982>＋<20012－19992>＋20002＝<2004＋1996>×<2004－1996>＋<2003＋1997>×<2003－1997>＋<2002＋1998>×<2002－1998>＋<2001＋1999>×<2001－1999>＋20002＝4000×8＋4000×6＋4000×4＋4000×2＋4000000＝4000×<8＋6＋4＋2>＋4000000＝80000＋4000000＝4080000。例4求99952＝？解：根据平方差公式a2－b2＝<a＋b>×<a－b>可以推出a2＝<a＋b>×<a－b>＋b2。设a＝9995,b＝5,于是：99952＝<9995＋5>×<9995－5>＋52＝10000×9990＋25＝99900000＋25＝99900025。请同学们用这种方法,任意求几个个位上是5的数的平方,再认真观察、分析,看看有什么简单的规律可以遵循。事实上,任意一个个位上是5的数的平方,都等于5前面所有数字组成的数,乘上比这个新组成的数大1的数,然后在得数后面接着写上25。比如752→7×8→56→5625；3052→30×31→930→93025；8952→89×90→8010→801025；1999952→19999×20000→399980000→39998000025。练习十一1．计算：<20XXXX省小学数学竞赛试题><1>555…55×297。2004个5<2>222…22÷33。96个6<3>999…9×999…9＋1999…9的结果末尾有多少个连续的零？100个9100个9100个92．2004×□□□□□＝□6666666□<每个□内只填一个数字>,则五位数□□□□□是多少？<20XXXX省小学数学竞赛试题>3．计算111111×999999＋999999×777777。4．计算1999×1＋1999×2＋1999×3＋…＋1999×1999。5．计算10032＋10022＋10012＋10002－9992－9982－9972。6．将所有的四位数用它的各位数字之和去除,可能得到的最大的商是多少？<20XXXX省小学数学竞赛试题>7．两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数等于415,则被除数是多少？<20XX全国奥赛预赛题>8．写出七个自然数,使它们的和等于它们的积。9．小马在计算两个整数相乘时,错把一个因数个位上的5看成了8,算出的积是5632；小虎错把同一个因数十位上的8看成了6,算出的积是4160。这道题正确的积应该是多少？10.小明在计算一道加法式题时,没有认真审题,把加号当成除号了,结果,除得的商和余数都是18。如果这道题的正确得数是531,那么这两个加数各是多少?11．将1949按"先加12,再减9,接着加6,然后减4"的四步运算顺序,依次不断地重复计算。经过多少步计算,结果恰好是1984,经过多少步计算,结果恰好是2001？12．边计算,边找规律,再按规律计算。12＝112＝1112＝11112＝……111111112＝1111111112＝第十二讲解决问题<三>例1有A、B、C、D四个点,从左向右依次排在一条直线上,以这四个点为端点,可以组成6条线段。已知这6条线段的长度分别是13、21、34、35、48、69<单位：毫米>。那么线段BC的长度是多少毫米？<"《小学生数学报》杯"竞赛题>解：对6条线段的长度进行分析后发现：显然69是最远的两个点的距离,34＝13＋21,48＝13＋35,说明线段13是线段34和48的公有部分,而69＝21＋13＋35,于是可以画出示意图：69211335ABCD3448所以,BC的长度是13。例2青少年科技活动中心工地上,有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场,由两位货车司机小王和小李负责清理、运输。两人同时清理废旧建筑材料需2小时；两人同时清理垃圾需0.5小时；货车将垃圾运送郊区,往返需3小时；货车将废旧建筑材料运送收购站,往返需1小时。小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时？<垃圾与建筑材料均不超过一车,装车时间不计。>解：仔细分析各项工作所需的时间后发现,要想节省时间,就要尽量让两人同时工作。可以这样安排：两人先同时清理垃圾,用0.5小时；然后两人同时清理建筑材料1小时；最后,一人运送垃圾用3小时,同时,另一人继续清理废旧建筑材料2小时,再用1小时运送废旧建筑材料。这样共用0.5＋1＋3＝4.5<小时>。例3甲有一些桌子,乙有一些椅子。如果乙用全部椅子跟甲换相同数量的桌子,那么需要给甲320元；如果乙不补钱,就得少换5张桌子。已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元。乙原来有多少把椅子？解：由题意可知,5张桌子的价钱是320元,所以1张桌子320÷5＝64<元>。再根据3张桌子比5把椅子的价钱少48元,可以求出1把椅子<64×3＋48>÷5＝48<元>。1张桌子比1把椅子贵64－48＝16<元>,乙用全部椅子换回相同数量的桌子,那么需要补给甲320元,说明乙原来有椅子320÷16＝20<把>。例4甲、乙两同时上一幢19层的大楼办事,恰遇电梯停开。甲走到第3层时,乙走到第4层,以这样的速度,甲走到第11层时,乙走到第几层？如果乙走到第19层,甲应该走到第几层？解：甲走到第3层时,走了3－1＝2<层>楼的楼梯,乙走了4－1＝3<层>楼的楼梯,甲走到第11层,走了11－1＝10<层>楼的楼梯,甲走到第11层,走了11－1＝10<层>楼的楼梯,10÷2＝5,所以,这时乙走了3×5＝15<层>楼的楼梯,到了第15＋1＝16<层>。同理,乙走到第19层时,甲走到第2×[<19－1>÷3]＋1＝13<层>。练习十二1.一个粗心的会计,在给货主付款时,把货主开来的发票上应付款多看了一位,使应付款扩大了10倍。几天后,货主将她多汇的75258元如数退回了。应付款是多少元？<"《小学生数学报》杯"竞赛题>2.迪斯尼乐园里,冒失的米老鼠和唐老鸭把小火车面对面开上了同一条铁轨,米老鼠的速度是每秒10米,唐老鸭的速度是每秒6米。由于没有及时刹车,结果两列小火车相撞。假如米老鼠和唐老鸭在相撞前多少秒同时紧急刹车,不仅可以避免两车相撞,两车车头还能保持4米的距离？<紧急刹车后米老鼠和唐老鸭的小火车分别向前滑行30米。>3.李老师为参加数学爱好者冬令营的同学安排了一些间宿舍。营员到来之后,李老师发现,按照原先的计划,每间宿舍住的营员人数不全是同样多。他一计算,如果增加2间宿舍,每间宿舍恰好住6人；如果减少2间宿舍,每间宿舍恰好住9人。参加冬令营的营员共有多少人？<"《小学生学习报》杯"竞赛题>4.广宇建筑工地租用两种货车,将76吨水泥从建材仓库运送到工地。大货车每次可运5吨,每次运费85元；小货车每次可运3吨,每次运费60元。要使运费最节省,应租用大货车、小货车各运多少次？5．小区便利店销售的矿泉水进货时5元钱4瓶,售出时5元钱3瓶。要获利100元,需售出多少瓶？6．有黑、白、红三种颜色的珠子共17颗,已知白珠子的数量是黑珠子的5倍,红珠子有多少颗？7．公园成人票每张10元,儿童票每张5元。20人及20人以上可以买团体票,买团体票时不分成人和儿童,按每人8元收费。15名成人带25名儿童进公园时,至少要花多少钱？8．我国明代的数学名著《算法统宗》中记载有一个"和尚分馒头"的问题：大和尚与小和尚共100名,分配100个馒头,大和尚每人给3个,小和尚每3人给1个。问大、小和尚各有多少人？9．在秋游活动中,四年级的50名同学到公园划船。公园有两种船,一种是大船,每条可坐6人,一种是小船,每船可坐4人。大船每条租金10元,小船每条租金8元。请你设计一种你认为最经济实惠的租船方案。10．摩托车赛全程共281千米,全程划分为若干路段。路段有两种：一种是由一段3千米的上坡路,一段4千米的平路,一段2千米的下坡路和一段4千米的平路组成；另一种是由一段3千米的上坡路,一段2千米的下坡路和一段4千米的平路组成。已知摩托车跑完全程后,共有15段上坡路。问全程中的两种路段各有几段？11．有一批砖,每块长比宽长10厘米,这些砖横着铺可以铺2775厘米,如果竖着铺可以铺1675厘米,这批砖有多少块？12．甲、乙二人比赛爬楼梯,甲跑到第4层时,乙恰好跑到第3层。以这样的速度,甲跑到第28层时,乙跑到第几层？第十三讲图形问题<二>例1数一数,下图中共有多少个长方形？解：数较复杂的图形,一定要尽量避免重复和遗漏,最基本的方法是分类计数。这个图形被分成了9块。其中：<1>单个的长方形有7个；<2>由2部分拼成的长方形有8个；<3>由3部分拼成的长方形有5个；<4>由4部分拼成的长方形有2个；<5>由6部分拼成的长方形有3个,<6>由9部分拼成的长方形有1个。总共7＋8＋5＋2＋3＋1＝26<个>。例2用1平方厘米的红色和白色两种小正方形摆大正方形,摆出的大正方形四边都是红色,内部都是白色的。如果所用的白色正方形比红色正方形多,那么摆出的大正方形的至少是多少平方厘米？解：试算发现,当白色正方形拼成的正方形的边长为5厘米时,有白色正方形5×5＝25<个>,大正方形的每边有5＋2＝7<个>正方形,所以,这时大正方形的面积是7×7＝49<平方厘米>,红色正方形有7×7－25＝24<个>。例3四个同样的长方形和一个正方形拼成一个大正方形,大正方形的面积为100平方厘米,小正方形的面积为36平方厘米,则一个长方形的周长是多少厘米？解：如图,因为大正方形的边长为10厘米,小正方形的边长为6厘米,所以长方形的宽是<10－6>÷2＝2<厘米>,长是10－2＝8<厘米>,周长是<8＋2>×2＝20<厘米>。例4将如图所示的一块地分给5个种植小组,要求每组分得的土地形状和大小都相同,请画图表示。解：分法如图。练习十三1．AOB是三角形纸,OA＝OB,图中的虚线是折痕,至少要折几次,就可以得到8个相同的三角形？ABO2．下图是一个正方体木块。M是AB的中点,N是AD的中点。过M、N、G三点将木块锯成两块,截面是平的,这个截面是几边形？ANDMBCEHFG3．数一数,图中共有多少个正方形？4．数一数,图中共有多少个长方形？5．在图中再画一个三角形,使三角形的总数达到13个。6．一根铁丝恰好可以弯成一个边长10分米的正方形,如果把它弯成长是12分米的长方形,面积将会减少多少平方分米？7．将一张长32厘米、宽16厘米的长方形纸裁去一半,再将剩下的长方形纸裁去一半,这样重复裁下去,直到裁出一张长2厘米、宽1厘米的纸为止,一共裁了多少次？8．剪出四个同样大小的正方形,将它们重新拼合成一个图形,使相邻的正方形都有一条边完全重合,且每个图形经过旋转或翻转都各不相同,这样的图形共有多少种？9．用120个边长是1厘米的正方形,可以摆出多少种面积是120平方厘米的长方形？10．把一个等边三角形分别分成8个和9个形状、大小相同的三角形。11．如图,用3根火柴棍可以摆一个三角形,按这种方式摆下去,当N＝5时,共需要火柴棍多少根？……N＝1N＝2N＝3N＝412．如果下图中每个小正方形的面积都是1,每个图形均由4个小正方形构成,那么只用所给的5个图形中的一种不能拼成面积为16的正方形的是哪一种？<拼合时可以翻转><1><2><3><4><5>第十四讲图形问题<三>例1在正方形纸的内部有96个点,连接这些点和正方形的4个顶点,最多可以得到多少个互不重叠的三角形？解法一：连接正方形内部的某个点与四个顶点可以得到4个三角形,此后每连接某个三角形内部的一个点与这个三角形的三个顶点可以增加2个三角形,所以,最多可以得到4＋2×<100－4－1>＝194<个>三角形。解法二：在正方形的每个顶点处聚集着若干个三角形的角,这些角度数的和是90°×4＝360°。而在正方形内部的每个点也处聚集着若干个三角形,这些角的度数和是360°×96＝34560°,两处所有角的和总共是360°＋34560°＝34920°,每个三角形的内角和是180°,所以,最多可以得到34920°÷180°＝194<个>三角形。解法三：试验得到,当四边形内的点数为1、2、3、4时,相应的三角形的个数如下表：四边形内的点数m1234三角形的个数n46810观察发现,n＝<m＋1>×2。所以,当m＝96时,n＝<96＋1>×2＝194。例2下图是一个底角为60°、上底和腰相等的等腰梯形,请把它分成四个形状和大小都相同的部分。解：从这个梯形的底角是60°并且上底和腰相等,可以先把它分成三个等边三角形如图<1>；<1><2>因为要求把整个图形分成同样的四部分,所以必须再把每个三角形分成四个相同的部分,于是,想到图<2>的分法。例3下图是一个"十字形",要求把它分成形状和大小完全相同的四部分,然后再拼成一个正方形,应该怎样做？解：这个一个对称图形,拼成的正方形也是对称图形,由此想到,可以沿它的对称轴分成形状和大小完全相同的四部分<图1>,再把这四部分拼成一个正方形<图2>。<1><2>例4下图是一个正五边形点阵,中心是1个点的第一层,第二层每边2个点,第三层每边3个点……依次类推,共100层。试求点阵中点的总数。解：观察发现,从中心向外共有5条射线,每条射线上除了中心的那个点以外,各有100－1＝99<个>点,5条射线上共有99×5＋1＝496<个>点。其余的点从第三层开始,每条线段上依次有1、2、3、……、98个,共有<1＋2＋3＋…＋98>×5＝<1＋98>×98÷2×5＝24255<个>,总共有496＋24255＝24751<个>点。练习十四1．一只小海龟在沙滩上爬行,它每爬行30步右转72°,它爬行了600步后,能不能回到原地？它爬行的路线是一个什么图形？2．如图,已知∠4＝90°,那么∠3－∠1＝？14323．如图,已知∠A＝80°,∠1＝∠2,∠3＝∠4,那么∠5＝？4．如图,标有"·"的6个角的和是多少度？BANCPDGFE5．<1>把左下图中的正六边形分成形状、大小相同的8个部分。<2>把右下图分成4个形状、大小都相同的部分。6．把下图分成4个形状、大小都相同的部分。7．把下图分成两块,再拼成一个正方形。8．下图是一个长16、宽9的长方形,请把它分成两块,再拼成一个正方形。9．把下图分成形状、大小相同的4部分,再拼成一个正方形。10．下图是一个堆放铅笔的V形架,如果V形架上一共有210枝铅笔,那么最上层有多少枝铅笔？11．用相同的立方体摆成像下图这样的一堆,如果共摆了10层,那么最下面一层有多少个立方体？12．如图,一个三角形分成36个小三角形,把每个小三角形涂上红色或蓝色,使两个有公共边的小三角形异色,如果红三角形比蓝三角形多,那么多多少个？