自适应数字滤波器

自适应数字滤波器AdaptiveDigitalFilters内容提要自适应滤波器概述数字滤波器自适应处理器的结构自适应的诸多算法自适应原理应用1自适应滤波器概述自适应(Adapt/Adaptation)线性滤波自适应DF概述1.1自适应概念：生物体的某些结构和功能经自然选择发生改变，以更好地适应环境而生存和繁殖。从生物体对环境的自适应推广到人造的自适应系统。1.1自适应自适应系统的特征：能自动适应变化的环境和系统要求；能通过训练、学习某种功能去完成特定的滤波或判决任务；自行设计；经少量训练，就能外推至一个新的性能模型；在有限范围内，能自我修复；时变、非线性系统；系统复杂、分析困难。1.1自适应发展历史1960年代以前1960年，B.Widrow提出自适应滤波的概念；发展很快1.2线性滤波线性滤波：假定输入的有用信号与加性噪声的某些统计特性已知，然后设计线性滤波器，使其输出中的噪声影响最小

影响最小：依据某一统计准则，如误差信号的均方值最小。最佳滤波：滤波器与输入数据的统计特性相匹配。先验知识未知时的解决方法：“猜测试验法”和自适应滤波器1.3自适应DF概述概念：利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。

1.3自适应DF概述最小均方误差（LMS）自适应DF：以均方误差最小为准则，能自动调节单位脉冲响应h(n),以达到最优滤波的时变最佳DF。1.3自适应DF概述算法原理：从某一初始条件出发，在平稳环境下，算法经过若干次迭代，最终收敛于（某种统计意义上的）最佳维纳解。1.3自适应DF概述递归算法要考虑的一些因素RateofconvergenceMisadjustment

TrackingRobustnessComputationrequirementsAlgorithmstructureNumericalproperties

1.3自适应DF概述目的设计自适应DF，可以不必预先知道信号与噪声的自相关函数。

1.3自适应DF概述发展前景1、广泛用于系统模型识别2、通信信道的自适应均衡3、雷达与声纳的波束形成4、消除心电图中的电源干扰5、噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及线性预测等。1.3自适应DF概述目前常见的自适应滤波器递推最小（RLS）滤波器最小均方（LMS）滤波器格型滤波器无限冲激响应（IIR）滤波器2数字滤波器DF的数学模型IIR数字滤波器的特性FIR数字滤波器的特性2.1DF的数学模型线性时不变数字滤波器用常系数线性差分方程来描述：

2.1DF的数学模型递归与非递归DF非递归递归2.1DF的数学模型DF的系统函数2.1DF的数学模型DF的单位取样响应

对于非递归滤波器，除b0=1外，其余bi=0(i=1,2,…,N-1)。若脉冲传递函数H(z)已知，当输入信号x(k)为单位采样脉冲，则此时滤波器的输出为：

2.1DF的数学模型FIR和IIRDFFIRDF:IIRDF:

h(n)是无限长序列2.2IIRDF的特性IIRDF:递归结构x(n)b0b1b2z-1z-1y(n)a1a2z-1z-1bMz-1aN-1aNz-1z-1直接I型x(n)a1a2z-1z-1aN-1aNz-1z-1b0b1b2bMy(n)直接II型x(n)β11a21z-1z-1a11β21β12a22z-1z-1a12β22β1Ma2Mz-1z-1a1Mβ2My(n)…...级联型并联型2.2IIRDF的特性若IIRDF是因果、稳定的，则H(z)是有理函数

2.3FIRDF的特性(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。2.3FIRDF的特性FIRDF:非递归结构1.

横截型结构（直接型）2.级联型结构3.快速卷积型结构4.频率抽样型结构h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)横截型结构级联型结构L点DFTL点DFTL点IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)快速卷积型3自适应处理器的结构3.1自适应滤波器的原理3.2非递归自适应滤波器3.3具有期望响应和误差信号的非递归自适应滤波器及性能函数3.4梯度法(gradientmethods)

3.5误差信号与输入信号正交

3.1自适应滤波器的原理开环自适应系统闭环自适应系统3.1自适应滤波器的原理闭环自适应系统的典型应用自适应预测器(adaptivepredition)3.1自适应滤波器的原理自适应模拟(adaptivemodeling)：前向模拟3.1自适应滤波器的原理自适应干扰对消(adaptiveinterferencecancelling)3.1自适应滤波器的原理自适应阵处理(adaptivearrayprocessing)

3.2非递归自适应滤波器自适应线性组合器(adaptivelinearcombiner)3.2非递归自适应滤波器单输入系统

3.2非递归自适应滤波器多输入系统

列向量矩阵表示3.3具有期望响应和误差信号的非

递归ADF及性能函数误差信号3.3具有期望响应和误差信号的非

递归ADF及性能函数瞬时平方误差若e(k),d(k)和X(k)为平稳随机序列，X(k)和d(k)是不相关的，则e2(k)的期望为将代入，可得3.3具有期望响应和误差信号的非

递归ADF及性能函数输入相关矩阵主对角线是输入分量的均方值，交叉项是输入分量之间的互相关值3.3具有期望响应和误差信号的非

递归ADF及性能函数期望响应与输入分量之间的一组相关值当X(k)和d(k)为平稳时，P和P的元素都是固定的二阶统计量。均方误差3.3具有期望响应和误差信号的非

递归ADF及性能函数当输入分量与期望分量是平稳随机过程时，上式的展开式中，W的元素仅以一次或二次幂出现，均方误差E[e²(k)]是权向量W分量的二次函数。3.3具有期望响应和误差信号的非

递归ADF及性能函数典型的二维均方误差函数超抛物面3.4梯度法(gradientmethods)

权向量搜索性能表面最小值的自适应方法。设则矩阵形式的维纳-霍夫方程3.4梯度法(gradientmethods)

最小均方误差3.5误差信号与输入信号正交当W=Wopt时，误差信号与输入信号向量正交。令W=Wopt时，则当滤波器的冲击响应是最优时，误差信号与输入信号是正交的，即为不相关的。4自适应的诸多算法搜索性能表面的最速下降法最小均方算法(LMS,LeastMeanSquare)其它算法与LMS算法比较4.1搜索性能表面的最速下降法平稳信号自适应理论：自适应信号处理中的性能表面具有不变的统计特性，从性能表面某点出发，向下运动至最小点附近，最后停止在这点。

非平稳信号自适应理论：若非平稳信号有慢变化的统计特性，自适应过程不仅向下运动至最小点，而且当性能表面移动时，还要跟踪它的最小点。4.1搜索性能表面的最速下降法固定性能表面的数学性质梯度搜索法的基本原理最速下降法梯度估值超量均方误差与失调固定性能表面的数学性质要研究性能表面的性质，首先要研究R的特征值和特征向量。

4.1搜索性能表面的最速下降法齐次方程具有非平凡解的充分必要条件为：det(R-λI)=0RQL=λLQL

推广可得固定性能表面的数学性质上式还可写成或ξ是在以w0,w1,…wn-1为相应坐标轴的n+1维空间的超抛物误差表面，在三维误差空间，ξ是一个抛物面。固定性能表面的数学性质椭圆方程固定性能表面的数学性质归纳表征特征向量与特征值几何意义的几何关系：固定性能表面的数学性质梯度搜索法的基本原理当输入信号与期望响应是平稳过程时，自适应线性组合器的均方误差性能表面是权的二次函数。该二次型性能表面的参数是未知的，它的解析表达式得不到。可用在一段时间内，将误差的平方求平均来测量或估计在误差表面上的位置。发展出一系列搜索性能表面并找寻最优权向量的方法和算法。

用梯度估计(gradientestimation)指明性能表面最小值所在的方向。在每一迭代周期让权向量的所有分量发生改变。权向量在性能表面的负梯度方向上变化。

梯度搜索法的基本原理梯度搜索法的基本原理单个权的情况一个权（单变量）的性能表面是一条抛物线。梯度搜索法的基本原理一次导数二次导数问题是寻找最优权wopt。即通过调整权，以使均方误差达到最小，梯度搜索法的基本原理寻优的步骤:第一步：任选w(0)。并测量曲线在此点的斜率。

第二步：求w(1)。第一步完成之后，再选一个w(1)，让它等于初值w(0)加上一个正比于斜率负值的增量。

第三步：求w(2)。由测量在w(1)的斜率，用第二步同样的方法求出下一个新值w(2)。以后各点重复进行，直到求到最优权

wopt

为止。在离散间隔w(0),w(1),…测量性能曲线的斜率所得到的值称为梯度估值。最速下降法（steepestdescent）主要特点：每一步权的调整都在梯度的方向上。搜索二次型表面的张弛过程（relaxationprocess）：

变换到主轴坐标系去求解：上式的解为：最速下降法（steepestdescent）收敛的充分和必要条件：最速下降法（steepestdescent）当选择μ，使其满足：梯度估值

ξmin---最小均方误差；n---样本数；I---单位矩阵。超量均方误差与失调

超量均方误差（excessmeansquareerror）产生：当自适应过程引进噪声，将使稳态权向量解围绕最小点随机变化。这时，ξ的稳态值大于ξmin，产生超量均方误差。定义：均方误差减去最小均方误差后的平均值。

意义：提供了真实的与最优性能的时间平均上差别的量度。超量均方误差与失调

超量均方误差（excessmeansquareerror）近似式：

n---权的个数；ξmin---最小均方误差；P---扰动，估计梯度时引起的ξ的归一化增量；Tmse---自适应时间常数；av---平均。超量均方误差与失调

失调（misadjustment

）产生：量度真实性能与最优性能差别的量。定义：在自适应过程中，超量均方误差与最小均方误差之比。

意义：表征了由于梯度估值噪声引起的自适应系统的性能与最优维纳解性能间的差异。超量均方误差与失调

失调（misadjustment

）近似式：最小均方算法的推导

权向量的收敛性

权向量解的噪声

失调

4.2最小均方算法(LMS,LeastMeanSquare)

最小均方算法的推导多输入（并联）形式非递归自适应滤波器的结构横向滤波器结构形式最小均方算法的推导误差：X(k)——输入样本向量。该系统在自适应过程每次迭代时，其梯度估值为：

最小均方算法的推导原理：把下一时刻的权系数向量W(k+1)等于现时刻的权系数向量W(k)加上一项比例于负的均方误差的梯度估值。权向量的收敛性经过多次迭代后，权向量的期望值E[W(k)]将收敛于维纳最优解。即权向量解的噪声若N(k)表示第k次迭代时梯度估值的噪声向量，则假如采用一个小的自适应增益常数μ，并且过程已收敛到稳态权向量处Wopt附近，则梯度噪声逼近于此时，噪声的协方差为：

假如权向量

W(k)保持在最优权附近，e2(k)与输入信号向量近似不相关，所以上式可改写为：将上式转换到主轴坐标系，令则权向量解的噪声失调定义：在自适应中，超量均方误差与最小均方误差之比。意义：是自适应过程跟踪真正维纳解接近程度的量度，自适应能力代价的量度。

失调正比于自适应增益系数μ，因此失调与自适应速率必须折中考虑。牛顿法LMS算法与最速下降法的比较归一化LMS算法4.3其它算法与LMS算法比较

牛顿法基本思想：通过求解函数的零点（多项式的根）一步就可以达到最佳解。实际牛顿算法的迭代公式：

求函数的零点：离散形式LMS算法与最速下降法的比较最速下降法：采用精确的梯度估值，故当迭代数次趋近于无穷大以后，LMS算法：利用带噪声的梯度估值：因此最终的只能是接近最佳维纳解，产生超量均方误差。

归一化LMS算法梯度估值与X(k)的大小成正比，故提出归一化LMS算法，即两边同时除以。

5自适应原理应用递归自适应滤波器自适应噪声对消自适应陷波滤波器非线性自适应滤波与盲均衡5.1递归自适应滤波器递归自适应滤波器的结构

递归自适应滤波器的LMS算法递归自适应滤波器的结构递归滤波器的结构系统传递函数为：除零点外，还有极点。递归滤波器的结构递归自适应滤波器的结构递归自适应滤波器的结构递归自适应滤波器的结构递归自适应滤波器的特点：具有递归滤波器的优点；

自适应过程中，如果极点移动出单位圆，滤波器将变得不稳定；它们的性能表面一般是非二次型的，还有可能具有局部极小值；

递归自适应滤波器的结构递归自适应滤波器的LMS算法5.2自适应噪声对消自适应对消原理信号分量泄漏到参考输入中产生的影响自适应对消原理定义：对各种确知的以及随机的干扰，用对消的方法抑制干扰，把受污染的信号提取出来，称为噪声对消。原理：

自适应对消原理假定：s、n0和n1是零均值的平稳随机过程，s、n0及n1不相关。则自适应滤波器的输出y为n1的滤波信号。因此，自适应噪声抵消，系统的输出z为自适应对消原理因为所以当E[(n0-y)²]最小时，E[(z-s)²]也最小，即自适应噪声抵消。理想情况：y=n0

，则z=s。自适应滤波器自动调节其脉冲响应，将n1加工成n0，与原始输入信号d中的n0相减，输出信号z中的噪声可完全被抵消，而等于有用信号s

。

极端情况：参考输入与原始输入完全不相关，此时滤波器将“自行关闭”，因而并不增加输出噪声。自适应滤波器能完成上述任务的必要条件：参考输入信号n1必须与被抵消的信号（一般为噪声）n0相关。

使用噪声对消技术比使用噪声过滤技术具有增强信噪比等优越性。

自适应对消原理自适应对消原理单信道噪声对消器的性能评价：输出端的信噪功率密度比输入端信噪功率密度比原始输入噪声功